数论

【算法基础篇】（四十七）乘法逆元终极宝典：从模除困境到三种解法全解析在算法竞赛的模运算场景中，“除法取模” 始终是令人头疼的难题 —— 同余式不满足除法封闭性，直接计算(a÷b)modp会导致结果错误。而乘法逆元正是破解这一困境的 “密钥”，它能将除法转化为乘法，让模运算中的除法操作合法可行。本文将从逆元的定义与核心作用出发，详解费马小定理、扩展欧几里得算法、线性递推三种主流求逆元方法，手把手教你掌握从单逆元求解到批量预处理的全流程，让你在模运算中彻底摆脱除法困扰。下面就让我们正式开始吧！

【算法基础篇】（四十六）同余方程终极攻略：从基础转化到实战破解编辑前言一、同余方程的核心概念：从定义到转化1.1 同余方程的定义关键说明：1.2 同余方程与线性不定方程的转化

【算法基础篇】（四十五）裴蜀定理与扩展欧几里得算法：从不定方程到数论万能钥匙编辑前言一、裴蜀定理：不定方程有解的 “判定准则”1.1 定理的核心表述直观示例验证1.2 定理的重要推论

【算法基础篇】（四十二）数论之欧拉函数深度精讲：从互质到数论应用编辑前言一、欧拉函数的核心概念：什么是 φ(n)？1.1 互质的定义1.2 欧拉函数的定义1.3 欧拉函数的数学表达式

【算法基础篇】（四十三）数论之费马小定理深度解析：从同余性质到乘法逆元编辑前言一、基础铺垫：同余式的核心性质1.1 同余的定义1.2 同余式的关键性质二、费马小定理：模运算的 “除法钥匙”

信息学奥赛一本通 1644：【例 4】佳佳的 Fibonacciybt 1644：【例 4】佳佳的 Fibonacci相关知识见：矩阵加速递推模板题构造转移矩阵已知： T n = F 1 + 2 F 2 + . . . + ( n − 1 ) F n − 1 + n F n T_n=F_1+2F_2+...+(n-1)F_{n-1}+nF_n Tn=F1+2F2+...+(n−1)Fn−1+nFn 所以： T n − 1 = F 1 + . . . + ( n − 1 ) F n − 1 T_{n-1}=F_1+...+(n-1)F_{n-1} Tn−1=F1+..

【算法基础篇】（四十一）数论之约数问题终极攻略：从求单个约数到批量统计编辑前言一、约数的核心概念与性质1.1 约数的定义1.2 约数的核心性质二、求单个整数的所有约数：试除法的优化与实现

【算法基础篇】（四十）数论之算术基本定理深度剖析：从唯一分解到阶乘分解前言一、算术基本定理：数论的 “万能钥匙”1.1 定理的核心内涵1.2 定理的实际意义1.3 一个直观的例子

【算法基础篇】（三十八）数论之最大公约数与最小公倍数 —— 从原理到实战编辑前言一、从概念到本质：什么是约数、倍数、gcd 和 lcm？1.1 约数和倍数的定义1.2 最大公约数（gcd）：所有公约数中的 “老大”

算法基础（数学）—数论题目描述输入三个正整数 x,y,z，求它们的最大公约数（Greatest Common Divisor）g：最大的正整数 g≥1，满足 x,y,z 都是 g 的倍数，即 (xmodg)=(ymodg)=(zmodg)=0。

信息学奥赛一本通 1616：A 的 B 次方ybt 1616：A 的 B 次方相关知识见：洛谷 P1226 【模板】快速幂

信息学奥赛一本通 1618：越狱 | 洛谷 P3197 [HNOI2008] 越狱ybt 1618：越狱洛谷 P3197 [HNOI2008] 越狱当集合本身元素个数很难分析，但全集和补集都很容易求解时，可以先求出全集和补集的元素个数，二者相减就是所求集合元素的个数。例：求从5个小球的排列中选出2个不相邻的小球的情况数。 5个小球中选出2个小球的总方案数是 C 5 2 C_5^2 C52，选出2个相邻小球的情况有4种，那么选出两个不相邻小球的方案数为总方案数减去5个小球中选出2个相邻小球的方案数，即 C 5 2 − 4 = 6 C_5^2-4=6 C52−4=6

洛谷 P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）洛谷 P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）问题：求解线性同余方程组： { x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) ⋮ x ≡ a n ( m o d m n ) \begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{m_2} \\ \vdots \\ x \equiv a_n \pmod{m_n} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)⋮x

信息学奥赛一本通 1640：C Looooopsybt 1640：C Looooops LOJ 10218. 「一本通 6.4 练习 4」C Looooops

理解数学概念——素数(质数)(prime)目录1. 素数(prime)概念2. 素数(prime)词源3. 素数的重要性3.1 在数学领中3.2 在信息技术安全领域中

让我们一起加油好吗

【数论】裴蜀定理与扩展欧几里得算法 (exgcd)裴蜀定理又称贝祖定理，它的内容是：设 d d d 是整数 a , b a,b a,b 的最大公约数，则一定存在整数 x , y x, y x,y，使得 a x + b y = d ax+by=d ax+by=d。

让我们一起加油好吗

【数论】乘法逆元（求逆元的三种方式）对于正整数 a a a 和 p p p，若有 a x ≡ 1 ( m o d p ) ax\equiv1\pmod p ax≡1(modp) 那么把这个同余方程中的 x x x 的解叫做 a a a 模 p p p 的乘法逆元，简称逆元，记作 a − 1 a^{-1} a−1。

我有一些感想……

浅谈 BSGS（Baby-Step Giant-Step 大步小步）算法BSGS（Baby-Step Giant-Step）算法是 Shank 发明的一个用于在 O ( p ) \mathcal O(\sqrt p) O(p ) 时间复杂度内计算离散对数的算法，要求模数为质数。扩展 BSGS 不需要模数为质数。

盼满天繁星

浅记线性同余方程（组）线性同余方程就是形如 \(ax\equiv b\pmod m\) 其中 \(a,b,m\) 是给定的整数。

让我们一起加油好吗

【数论】欧拉定理 && 扩展欧拉定理欧拉定理：若 a , n a,n a,n 均为正整数，且 gcd ⁡ ( a , n ) = 1 \gcd(a,n)=1 gcd(a,n)=1，则 a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n aφ(n)≡1(modn)