数论

分组密码基础（二）：Feistel 结构与 DES 的设计思想在上一篇「分组密码基础（一）」中，我们建立了分组密码的基础框架：理解了为什么要分组、轮函数的核心地位，以及 ECB / CBC / CTR 等工作模式如何让定长置换处理任意长度的消息。

流密码基础（四）：相关攻击与 Geffe 生成器在上一篇《流密码基础（三）：非线性布尔函数与组合生成器》中，我们搭建了组合生成器的架构，并梳理了布尔函数的五大密码学性质。但有一个关键问题没有展开：相关攻击究竟是如何攻破组合生成器的？

数论：排列数、组合数、费马小定理、逆元、同余定理排列数 AnmA_n^mAnm（也记作 P(n,m)P(n,m)P(n,m)）表示从 nnn 个不同元素中按顺序取出 mmm 个排成一列的方法数。

LeetCode 3658.奇数和与偶数和的最大公约数：数论 / 数学O(1)力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/gcd-of-odd-and-even-sums/

三角形数三角形数 \(T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}\) 。

【C++ 算法竞赛基础】数论篇：核心公式、经典例题与高频模板#基础算法【约数和倍数】【最大公约数和最小公倍数】最大公约数（Greatest Common Divisor），常缩写为 gcd。一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个。

莫比乌斯反演在算法竞赛（ACM/ICPC, OI）和解析数论中，**狄利克雷卷积（Dirichlet Convolution）和莫比乌斯反演（Möbius Inversion）**是解决GCD（最大公约数）求和、复杂计数问题的两大核心利器。很多人初学时往往死记硬背公式，对其内在的代数结构缺乏直观的感受。

《数论探微：进阶版》(Arithmetic Tales: Advanced Edition)最近，我翻译的 Olivier Bordellès 所著的数论教材 Arithmetic Tales Advanced Edition 的中文版《数论探微：进阶版》正式出版了。

王老师青少年编程

信奥赛C++提高组csp-s之数论基础专题课：中国剩余定理2（编程案例实践1）中国剩余定理（CRT）是数论中的一个重要定理，在信奥赛（NOI系列赛事）中属于必须掌握的模板级别知识。它主要用于求解一元线性同余方程组。

模意义下及同余的公式整理我们在做同余或模意义下式子的时候，可以把元素都先处理到最简，然后就基本可以用普通的算式性质了。最简的意思是若 a>pa>pa>p，把 a←a mod pa\leftarrow a\bmod pa←amodp。

王老师青少年编程

信奥赛C++提高组csp-s之数论基础专题课：欧拉函数和欧拉定理2（编程案例实践）信奥赛C++中的欧拉函数和欧拉定理是数论基础专题中重要内容。上次内容我们了讲解其数学原理，并举数学例子帮大家做了深入理解。本次课我们将讲解编程案例实践。

闻缺陷则喜何志丹

【数论等差数列】P9183 [USACO23OPEN] FEB B|普及+数论：质数、最大公约数、菲蜀定理贝西和埃尔希正在密谋最终推翻他们的主人——农夫约翰！他们通过 N N N 条短信进行计划。他们的对话可以用一个长度为 N N N 的字符串 S S S 来表示。其中 S i S_i Si 是字母 B或 E，这意味着第 i i i 条消息分别由贝西或埃尔希发送的。

再论自然数全加和 - 质数螺旋及其生成程序这个图像被称为质数螺旋，其实是不恰当的。实际上是自然数（包括0）从中心开始，按照螺旋的方式排列，并将其中的质数用白色表示出来，而显示的结果，0和1以及其它合数保持黑色。具体来说，图片的中心点为0，中心点的右下角像素为1，从1开始向上为2，然后是3，然后转向左侧，0的正上方为4，再向前为5，然后转向下方，0的左侧为6，在向下为7，然后转向右方，0的正下方为8，这就完成了从0到8一共9个数的第一个周期。第二个周期从8的右下方开始，然后贴着第一个周期进行环绕，一直到8的下方24，完成第二个周期。所有周期的开始都

再论自然数全加和 - 质数螺旋下面考虑质数螺旋曾经以1开始绘制螺旋图，但是计算质数坐标的时候就出现困难。所以我们用0开始，并把它放在螺旋的中心。

再论自然数全加和-费马大定理的扩展回到问题本身，计算具体的数值，比如要求，假定系数是，显然和不同为整数。再扩展一些，假定，则为有理数（可比数），

再论自然数全加和 - 角度和三角函数的本质为了看懂三角函数的本质，我们把它缺少的虚数单位的幂次回填到函数上，也就是说，收集了所有的偶数次幂，收集了所有的奇数次幂。

再论自然数全加和 - 周期扩展的原理从，右侧表达的是顶层的单位1和底层的周期（）之间的关系，以及哥德巴赫猜想，可以意识到，这个比例中，分子总是1项，分母则从最开始的1项，变成2项，变成4项，变成8项，也就是说，分母的项数符合，

再论自然数全加和 - 质数的全乘积回到整数单位，能够符合作为单位并保证，实际上只有质数，这里的范围修改为，是因为对于1来说这种形式会导致发散。

再论自然数全加和 - 欧拉伽马常数此处具体算一下欧拉伽马常数是怎么得到的。在，中，和之间的1个单位，被平分成份，如果周期是，但这个平分的每一份都取边界值的倒数为结果。而在，

再论自然数全加和 - 欧拉伽马常数5重新定义关于的函数，代换得到，观察这个函数颠倒的图像，图像基本上是对称的，但也是倾斜的。因为当前求出的极值对应的对称轴是倾斜的，所以只能旋转整个函数的图像，而且在旋转之前不知道旋转中心在哪里，所以只能基于原点做全局旋转。观察方程，