数论

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【数论】欧拉定理 && 扩展欧拉定理欧拉定理：若 a , n a,n a,n 均为正整数，且 gcd ⁡ ( a , n ) = 1 \gcd(a,n)=1 gcd(a,n)=1，则 a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod n aφ(n)≡1(modn)

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【数论】费马小定理基本定义：设 m m m 是正整数，如果 a ， b a，b a，b 的差 a − b a-b a−b 被 m m m 整除即 a − b = q m a-b=qm a−b=qm，就称 a , b a, \ b a, b 关于模 m m m 同余，或简称同余。记为 a ≡ b ( m o d m ) a\equiv b\pmod m a≡b(modm)

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数论上叠甲：本文的许多定义并不是最官方严谨的，但是其实是本质相同的，不过更偏实用一点。有部分内容我并没有写代码验证过，可能有错，希望发现问题的大佬能及时指出。欢迎转载。但如果是全文转载，请附上原文链接。因为博客园与本地的渲染有细微差别，可能会导致有少量格式错误，但应该不会影响阅读，也欢迎大佬指出。

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【数论】P10580 [蓝桥杯 2024 国 A] gcd 与 lcm|普及+数论：质数、最大公约数、菲蜀定理给定两个数 x , y x,y x,y，求有多少种不同的长度为 n n n 的序列 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) (a_1,a_2,\cdots,a_n) (a1,a2,⋯,an)，其所有元素的最大公约数为 x x x 且最小公倍数为 y y y。

数论——同余问题全家桶3 __int128和同余方程组这块算是补充知识点，但仅作为高精度算法的临时替代，在有的题若使用__int128也会溢出，则只能用高精度算法。

所以遗憾是什么呢？

扩展欧几里得算法【Exgcd】的内容与题目应用exgcd的目的是表示出二元一次不定方程的通解。形式化地，exgcd算法就是输入a，b，c的值，返回一组x，y，满足 a x + b y = c ax+by=c ax+by=c。

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青少年编程与数学 02-016 Python数据结构与算法 17课题、数论算法课题摘要: 数论是数学的一个分支，它研究整数的性质和关系。在计算机科学中，数论算法被广泛应用于密码学、编码理论、计算机安全等领域。

在处理欧拉函数时如何使用逆元在计算欧拉函数时，如果 (n) 是质数，那么 (\phi(n) = n - 1)，这是直接的结果。然而，当 (n) 是合数时，我们需要处理分母中的质因数 (p_i)。

【算法】数论基础——约数个数定理、约数和定理 python需要掌握：唯一分解定理（算术基本定理）约数，即因数，定义为：如果一个整数a可以被另一个整数b整除（即 a mod b = 0),那么b就是a的一个约数。

【算法学习笔记】35：扩展欧几里得算法求解线性同余方程线程同余方程问题是指 a x ≡ b ( m o d m ) ax \equiv b~(mod~m) ax≡b (mod m)，给定 a a a、 b b b和 m m m，找到一个整数 x x x使得该方程成立，即使得 a x m o d m = b ax~mod~m=b ax mod m=b，随便返回任何一个解都可以。

【算法学习笔记】34：扩展欧几里得算法对于任意正整数 a a a、 b b b，一定存在整数系数 x x x， y y y，使得： a x + b y = g c d ( a , b ) ax + by = gcd(a, b) ax+by=gcd(a,b)

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【C++贪心数论】991. 坏了的计算器|1909C++贪心数论：质数、最大公约数、菲蜀定理在显示着数字 startValue 的坏计算器上，我们可以执行以下两种操作：双倍（Double）：将显示屏上的数字乘 2；递减（Decrement）：将显示屏上的数字减 1 。给定两个整数 startValue 和 target 。返回显示数字 target 所需的最小操作数。示例 1：输入：startValue = 2, target = 3 输出：2 解释：先进行双倍运算，然后再进行递减运算 {2 -> 4 -> 3}. 示例 2：输入：start

费马大定理的“费马解法”费马大定理（Fermat’s Last Theorem），被证明之前称为费马猜想，指的是无自然数解。在讨论这些内容之前，先说一下自然数的定义。是因为这个定义上的差异，会造成结果上的大相径庭。

论1+2+3+4+... = -1/12 的不同算法我们熟知自然数全加和，推导过程如下，这个解法并不难，非常容易看懂，但是并不容易真正理解。正负交错和无穷项计算，只需要保持方程的形态，就可以“预知”结果。但是这到底说的是什么意思？比如和的结果相等，这个数值显然等于二分之一，但是若为有限项，则它只能等于0或者等于1，那么有限项和无限项的差别到底是什么？或者说，所谓“无限”，到底是什么意思？

物理学基础精解【56】涉及数学中的同余理论，以下是对其定义、数学原理、公式、计算、例子和例题的详细阐述：一次同余式，亦称线性同余方程，指未知数仅出现一次幂的同余方程。若a，b都是整数，m是正整数，当a≢0 (mod m)时，把ax=b (mod m)称为模m的一元一次同余方程，简称一次同余方程。

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数论知识（取模运算）若 a m o d k = x a mod k=x amodk=x，则满足 a m o d ( 2 ∗ k ) = x a mo d(2*k)=x amod(2∗k)=x，或者 a m o d ( 2 k ) = x + k a mod (2k)=x+k amod(2k)=x+k。

调和级数枚举，LeetCode 1819. 序列中不同最大公约数的数目给你一个由正整数组成的数组 nums 。数字序列的最大公约数定义为序列中所有整数的共有约数中的最大整数。

博弈论（Nim 游戏）若—个游戏满足:可以看出，公平组合游戏不存在平局，而且一定可以结束。问题：给定 n n n 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

【C++算法模板】数论：欧拉筛，线性查找质数的算法

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质因数个数(acwing,蓝桥杯）给定正整数 n，请问有多少个质数是 n 的约数。输入的第一行包含一个整数 n。输出一个整数，表示 n 的质数约数个数。