【技巧】LC 31.下一个排列

文章目录

前言
一、题目
- 1、原题链接
- 2、题目描述
二、个人思路整理
- 1、思路分析
- 2、解题代码
三、知识风暴

前言

本专栏文章为《LeetCode 热题 100》的刷题题解，相关内容如有侵权，立即删除。

一、题目

1、原题链接

31.下一个排列

2、题目描述

二、个人思路整理

1、思路分析

思路关键：

尽量在低位（右侧）调整：越靠右改变，增幅越小。
用"稍大一点"的较小数替换它，并将后面的数字按升序重排，使增幅最小化。

核心步骤：

从后向前寻找第一个相邻升序对 (i, i + 1)，满足 nums[i] < nums[i + 1]
- 此时，区间 [i + 1, n - 1] 必定是一个单调不增（降序）的序列，它已经达到了局部字典序的最大值，无法在内部通过重排变得更大。
- 如果遍历到最左侧都没找到这样的 i（即整个数组降序，如 [3, 2, 1]），说明已经是全局最大，直接跳到步骤 3 进行全数组反转即可。
在降序区间 [i + 1, n - 1] 中从后向前寻找第一个满足 nums[j] > nums[i] 的元素
- 由于该区间是降序的，从后往前找遇到的第一个大于 nums[i] 的元素 nums[j]，就是该区间里刚好大于 nums[i] 的最小值。
- 交换 nums[i] 和 nums[j]。交换后，区间 [i + 1, n - 1] 依然保持严格的单调不增性质。
反转区间 [i + 1, n - 1]
- 为了让新生成的排列尽量小，必须让低位数字按升序排列。
- 因为区间 [i + 1, n - 1] 本身已经是降序排列，直接使用双指针将其就地翻转，即可在 O ( n ) O(n) O(n) 时间内变更为升序。

以数组 [1, 2, 7, 4, 3, 1] 为例：

从后往前看，7 -> 4 -> 3 -> 1 是降序，第一个出现 nums[i] < nums[i+1] 的位置是 2 < 7，所以索引 i = 1（数值为 2）。

从末尾往前在 [7, 4, 3, 1] 中找第一个大于 2 的数，找到 3（索引 j = 4），交换它们，数组变为 [1, 3, 7, 4, 2, 1]。

将索引 i + 1 到末尾的部分 [7, 4, 2, 1] 进行翻转，得到 [1, 2, 4, 7]。

最终结果为 [1, 3, 1, 2, 4, 7]。

2、解题代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    void nextPermutation(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        // 从倒数第二个元素开始向前扫描
        int i = n - 2;

        // 步骤1：从后向前寻找第一个破坏单调不增（降序）的元素 nums[i]
        // 使得 nums[i] < nums[i + 1]
        while (i >= 0 && nums[i] >= nums[i + 1]) {
            i--;
        }

        // 步骤2：如果找到了符合条件的 i（说明当前排列不是完全降序的全局最大排列）
        if (i >= 0) {
            int j = n - 1;
            // 在区间 [i + 1, n - 1] 中从后向前寻找第一个严格大于 nums[i] 的元素
            // 由于该区间本身是降序的，从后往前找到的一个数就是刚好大于 nums[i]
            while (j >= 0 && nums[j] <= nums[i]) {
                j--;
            }
            // 交换 nums[i] 和 nums[j]，交换后 [i + 1, n - 1] 依然保持降序
            swap(nums[i], nums[j]);
        }

        // 步骤3：反转 [i + 1, n - 1] 区间
        // 将原先的降序区间反转为升序区间，从而使低位增幅最小，得到下一个字典序排列
        // 若 i < 0（即原数组整体降序），则整体反转为最小升序排序
        reverse(nums.begin() + i + 1, nums.end());
    }
};

复杂度分析

时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)，至多进行两次线性扫描和一次区间反转。

空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)，纯原地指针交换，符合常数额外空间的要求。

三、知识风暴

字典序（Lexicographical Order） 是本题的核心概念。它本质上是把排列看作字符串，按「从左到右逐位比较」的方式确定大小关系：第一位不同则第一位决定大小，第一位相同则比较第二位，依此类推。本题要求「下一个排列」，就是在字典序意义下找到比当前排列「刚好大一点」的那个排列。

算法核心思想：

字典序的单调性：一个排列的字典序大小，由「第一个不同的位置」决定。越靠右的数字变化，对整体字典序的增幅越小------这正是「尽量在低位调整」这一思路的理论依据。
降序区间的意义 ：从后向前扫描时，一旦遇到 nums[i] < nums[i + 1]，说明 [i + 1, n - 1] 区间已经是降序（即该区间在字典序上已达局部最大）。此时必须进位到 nums[i]，才能得到更大的排列。
与贪心的区别 ：贪心每一步只做当前最优选择、不回溯；而本题的「从后向前找第一个升序对」本质上是一种有策略的贪心------它先锁定增幅最小的进位位置，再在降序区间内选择「刚好大于」的交换对象，从而保证整体增幅最小。

常见对比：字典序 vs 数值大小

字典序 ：按位比较，[1, 2, 10] 的字典序小于 [1, 2, 3]（因为 1 < 3），但数值上 10 > 3。本题的「下一个排列」严格按字典序定义。
数值大小：直接比较整体数值，与字典序在位数相同时结论一致，但本题关注的是排列的字典序关系，而非数值大小。
共同点：两者都依赖「从左到右逐位比较」的规则。区别在于字典序不关心数字的数值大小，只关心每一位的相对顺序。

双指针与原地算法的设计思想：

核心思想 ：在降序区间 [i + 1, n - 1] 中，用双指针从两端向中间交换，即可在 O ( n ) O(n) O(n) 时间内将降序反转为升序，无需额外数组。
与本题的联系 ：交换 nums[i] 与 nums[j] 后，区间 [i + 1, n - 1] 依然保持降序（因为 nums[j] 是区间内刚好大于 nums[i] 的最小值），因此可以直接用双指针反转，无需重新排序。
注意事项 ：若整个数组本身就是降序（如 [3, 2, 1]），说明当前已是全局最大排列，此时直接整体反转即可得到最小排列，完成「循环」回到起点。

使用要点：

边界处理 ：i 从 n - 2 开始向前扫描，避免越界；j 从 n - 1 开始向前寻找，保证找到的是「刚好大于」的元素。
比较符号 ：寻找升序对时用 nums[i] >= nums[i + 1] 跳过相等元素（相等不构成严格升序）；寻找交换对象时用 nums[j] <= nums[i] 跳过，确保严格大于。
反转区间 ：reverse(nums.begin() + i + 1, nums.end()) 统一处理「找到 i」和「整体降序」两种情况，代码简洁。
结果返回 ：本题为原地修改，无需返回值，直接操作 nums 即可。

算法变体与扩展：

上一个排列（Previous Permutation）：与本题对称，改为「从后向前找第一个降序对」并交换「刚好小于」的元素，思路完全一致。
排列的字典序排名（LeetCode 60）：给定排列求其字典序排名，或给定排名求排列，本质是「康托展开」与「逆康托展开」，与本题共享字典序的核心思想。
全排列（LeetCode 46）：回溯法枚举所有排列，与本题的「单步求下一个」形成对比------前者求全集，后者求后继。
第 k 个排列（LeetCode 60） ：在字典序全排列中直接定位第 k 个，可用「阶乘数系统」跳过大量枚举，与本题的字典序规则一脉相承。相关 LeetCode 例题：

46. 全排列（回溯枚举所有排列）
47. 全排列 II（含重复元素，去重回溯）
60. 排列序列（字典序排名 / 第 k 个排列）
31. 下一个排列（本题，原地求后继）