NC229023 题解：二分答案求解“最大化最小值“问题

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一、题目描述

二、普通解题思路

[2.1 基本流程](#2.1 基本流程)

[2.2 check 函数的判断条件](#2.2 check 函数的判断条件)

[2.3 为什么是 <= m 而不是 == m？](#2.3 为什么是 <= m 而不是 == m？)

[2.4 普通解法代码](#2.4 普通解法代码)

三、二分解题思路

[3.1 为什么可以用二分？](#3.1 为什么可以用二分？)

[3.2 二分边界与收缩逻辑](#3.2 二分边界与收缩逻辑)

[3.3 二分模板](#3.3 二分模板)

[3.4 二分解法完整代码](#3.4 二分解法完整代码)

四、示例模拟

题目链接：分组

一、题目描述

dd 当上了宣传委员，开始组织迎新晚会。已知班里有 n 个同学，每个同学有且仅有一个擅长的声部。要把同学们分成恰好 m 组，为了不搞砸节目，每一组里的同学都必须擅长同一个声部（不同组可以是同一声部）。但她不希望出现任何一组的人过多，否则可能导致场地分配不协调。

也就是说，她希望人数最多的小组的人尽可能少 。如果无法顺利安排，请输出 -1。

输入格式：

第一行两个数 n, m（1 ≤ m ≤ n ≤ 100000）

接下来一行 n 个数 a[i]，表示第 i 个学生擅长的声部

输出格式：

输出一个数，表示人数最多的小组的人数；无法安排输出 -1

示例：

复制代码

输入：
5 3
2 2 3 3 3

输出：
2

二、普通解题思路

2.1 基本流程

先把 n 名学生和 m 组读入
每名学生放入 map 表中（key = 声部编号，value = 该声部人数）
找出 map 表中最多的人数 hmax
判断无解： 如果 map.size() > m，说明声部种类数超过了组数，绝对不能分成 m 组，输出 -1
从 1 到 hmax 枚举每组最多人数 i，用 check(i) 判断是否可行

2.2 check 函数的判断条件

java 复制代码

public static boolean check(int x) {
    int g = 0;
    for(int a : map.values()) {
        g += a / x + (a % x == 0 ? 0 : 1);  // 向上取整 ceil(a/x)
    }
    return g <= m;
}

2.3 为什么是 `<= m` 而不是 `== m`？

我们选取好的每组最多人数 x，在 check 函数中，当 g < m 时，我们可以把其他组的人数再分出来一些。因为我们要找的是最大值的最小值 ，这样分下来的组数中，人数最多的人也是最少的，所以此处用 <= m。

核心原因： 组数只能"往上拆"（一个声部可拆成更多组），不能"往下合"。所以最少组数 ≤ m 时，总能拆到恰好 m 组；反之则做不到。

情况	最少组数 g	能否凑成恰好 m 组
`g < m`	有富余	✅ 拆分补足
`g == m`	刚好	✅ 不用拆
`g > m`	超了	❌ 无法减少

2.4 普通解法代码

java 复制代码

import java.util.*;

public class Main {
    
    public static int m, n;
    public static Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
    
    public static boolean check(int x) {
        int g = 0;
        for(int a : map.values()) {
            g += a / x + (a % x == 0 ? 0 : 1);
        }
        return g <= m;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt();
        m = in.nextInt();
        
        int hmax = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            int x = in.nextInt();
            map.put(x, map.getOrDefault(x, 0) + 1);
            hmax = Math.max(hmax, map.get(x));
        }
        
        if(map.size() > m) {
            System.out.println("-1");
        } else {
            for(int i = 1; i <= hmax; i++) {
                if(check(i)) {
                    System.out.println(i);
                    break;
                }
            }
        }
    }
}

三、二分解题思路

3.1 为什么可以用二分？

我们在找"组数中最大值"的时候，是从小到大来找的，具有单调性：

若容量 x 可行，那么更大的 x 一定也可行
若容量 x 不可行，那么更小的 x 一定不可行

这时候就可以使用二分查找来优化。

3.2 二分边界与收缩逻辑

定义 left = 1, right = hmax
当 check(mid) 为 true 时，说明此时的 mid（每组最多人数）可以组成 m 组，那么我们可以让 mid 变小 看看是否还能符合题意 → right = mid
当 check(mid) 为 false 时，说明组成不了 m 组，那么就让 left = mid + 1，尝试每组上限人数增多 是否能够组成 m 组

3.3 二分模板

java 复制代码

int left = 1, right = hmax;
while(left < right) {
    int mid = (left + right) / 2;
    if(check(mid)) right = mid;      // mid 可行，尝试更小
    else left = mid + 1;             // mid 不可行，必须增大
}
System.out.println(left);

3.4 二分解法完整代码

java 复制代码

import java.util.*;

public class Main {
    
    public static int m, n;
    public static Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
    
    public static boolean check(int x) {
        int g = 0;
        for(int a : map.values()) {
            g += a / x + (a % x == 0 ? 0 : 1);
        }
        return g <= m;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt();
        m = in.nextInt();
        
        int hmax = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            int x = in.nextInt();
            map.put(x, map.getOrDefault(x, 0) + 1);
            hmax = Math.max(hmax, map.get(x));
        }
        
        if(map.size() > m) {
            System.out.println("-1");
        } else {
            int left = 1, right = hmax;
            while(left < right) {
                int mid = (left + right) / 2;
                if(check(mid)) right = mid;
                else left = mid + 1;
            }
            System.out.println(left);
        }
    }
}

四、示例模拟

输入：

java 复制代码

5 3
2 2 3 3 3

处理过程：

声部 2：2 人
声部 3：3 人
声部种类数 k = 2 ≤ m = 3，不输出 -1
hmax = 3

二分过程：

left	right	mid	check(mid) 计算	结果	操作
1	3	2	`ceil(2/2)+ceil(3/2)=1+2=3 ≤ 3`	✅	`right = 2`
1	2	1	`ceil(2/1)+ceil(3/1)=2+3=5 > 3`	❌	`left = 2`
2	2	-	结束	-	输出 2

输出： 2 ✅

NC229023 题解：二分答案求解“最大化最小值“问题

题目链接： 分组

一、题目描述

二、普通解题思路

2.1 基本流程

2.2 check 函数的判断条件

2.3 为什么是 <= m 而不是 == m？

2.4 普通解法代码

三、二分解题思路

3.1 为什么可以用二分？

3.2 二分边界与收缩逻辑

3.3 二分模板

3.4 二分解法完整代码

四、示例模拟

题目链接：分组

2.3 为什么是 `<= m` 而不是 `== m`？