文章目录
- 前言
- 一、电路的等效变换
- 二、电阻的等效变换
- 三、电源的等效变换
-
- 3.1、理想电压源的串联和并联
- 3.2、理想电流源的串联和并联
- [3.3、 实际电源的两种模型及其等效变换](#3.3、 实际电源的两种模型及其等效变换)
- 四、一端口的输入电阻
前言
本文旨在系统性地介绍电路中电阻电路的等效变换。
一、电路的等效变换
1.1、基本概念
时不变线性无源元件：特性不随时间变化、电压电流关系线性、不能主动产生能量的元件，如理想电阻、电容、电感。
时不变线性电路：由时不变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成的电路。。
电阻电路：仅由电源和线性电阻构成的电路。
分析方法：①欧姆定律和基尔霍夫定律是分析电阻电路的依据；②等效变换的方法。
1.2、二端网络（一端口网络）
任何一个复杂的电路，向外引出两个端口，且从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电路为二端网络（或一端口网络）。
无源一端口：内部没有独立电源，只有电阻、电容、电感等无源元件。
有源一端口：内部含有独立电源。
1.3、二端电路等效的概念
两个二端电路，如果端口具有相同的电压、电流关系（VCR），则称它们是等效电路。
对 A 电路中的电流、电压和功率而言，B 和 C 等效意味着：用 C 替换 B 后，A 电路中的电压、电流、功率保持不变。
明确：
①电路等效变换的条件：两电路具有相同的 VCR；
②电路等效变换的对象：被替换的内电路。等效变换后，未变化的外电路 A 中的电压、电流、功率保持不变（即对外等效，对内不等效）；
③电路等效变换的目的：化简电路，方便计算。
对外等效：当电路中某一部分用其等效电路代替后，未被代替部分的电压和电流保持不变。
二、电阻的等效变换
2.1、电阻的串联和并联
2.1.1、电阻串联
电路特点
①各电阻顺序连接，流过同一电流（KCL）；
②总电压等于各串联电阻的电压之和（KVL）： u = u 1 + ⋯ + u k + ⋯ + u n u = u_1 + \cdots + u_k + \cdots + u_n u=u1+⋯+uk+⋯+un
等效电阻
由 KVL： u = u 1 + u 2 + ⋯ + u n = R 1 i + R 2 i + ⋯ + R n i = ( R 1 + R 2 + ⋯ + R n ) i = R e q i u = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = R_1 i + R_2 i + \cdots + R_n i = (R_1 + R_2 + \cdots + R_n) i = R_{eq} i u=u1+u2+⋯+un=R1i+R2i+⋯+Rni=(R1+R2+⋯+Rn)i=Reqi
所以： R e q = R 1 + ⋯ + R k + ⋯ + R n = ∑ k = 1 n R k R_{eq} = R_1 + \cdots + R_k + \cdots + R_n = \sum_{k=1}^{n} R_k Req=R1+⋯+Rk+⋯+Rn=∑k=1nRk
结论：串联电路的总电阻等于各分电阻之和。 R e q > R k R_{eq} > R_k Req>Rk（等效电阻大于任一分电阻）。
串联电阻的分压
u k = R k i = R k ⋅ u R e q = R k R e q u < u u_k = R_k i = R_k \cdot \frac{u}{R_{eq}} = \frac{R_k}{R_{eq}} u < u uk=Rki=Rk⋅Requ=ReqRku<u
表明：电压与电阻成正比，因此串联电阻电路可作分压电路。
功率
各电阻的功率： p 1 = R 1 i 2 p_1 = R_1 i^2 p1=R1i2， p 2 = R 2 i 2 p_2 = R_2 i^2 p2=R2i2， ... \dots ...， p n = R n i 2 p_n = R_n i^2 pn=Rni2
功率分配： p 1 : p 2 : ⋯ : p n = R 1 : R 2 : ⋯ : R n p_1 : p_2 : \dots : p_n = R_1 : R_2 : \dots : R_n p1:p2:⋯:pn=R1:R2:⋯:Rn
总功率： p = R e q i 2 = ( R 1 + R 2 + ⋯ + R n ) i 2 = R 1 i 2 + R 2 i 2 + ⋯ + R n i 2 = p 1 + p 2 + ⋯ + p n p = R_{eq} i^2 = (R_1 + R_2 + \dots + R_n) i^2 = R_1 i^2 + R_2 i^2 + \dots + R_n i^2 = p_1 + p_2 + \dots + p_n p=Reqi2=(R1+R2+⋯+Rn)i2=R1i2+R2i2+⋯+Rni2=p1+p2+⋯+pn
结论：电阻串联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比；等效电阻消耗的功率等于各串联电阻消耗功率的总和。
2.1.2、电阻并联
电路特点
①各电阻两端为同一电压（KVL）。
②总电流等于流过各并联电阻的电流之和（KCL）： i = i 1 + i 2 + ⋯ + i k + ⋯ + i n i = i_1 + i_2 + \cdots + i_k + \cdots + i_n i=i1+i2+⋯+ik+⋯+in
等效电阻（等效电导）
由 KCL： i = i 1 + i 2 + ⋯ + i k + ⋯ + i n = u R 1 + u R 2 + ⋯ + u R n = u ( 1 R 1 + 1 R 2 + ⋯ + 1 R n ) = u G e q i = i_1 + i_2 + \cdots + i_k + \cdots + i_n = \frac{u}{R_1} + \frac{u}{R_2} + \cdots + \frac{u}{R_n} = u \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n} \right) = u G_{eq} i=i1+i2+⋯+ik+⋯+in=R1u+R2u+⋯+Rnu=u(R11+R21+⋯+Rn1)=uGeq。
所以： G e q = G 1 + G 2 + ⋯ + G n = ∑ k = 1 n G k G_{eq} = G_1 + G_2 + \cdots + G_n = \sum_{k=1}^{n} G_k Geq=G1+G2+⋯+Gn=∑k=1nGk
即： 1 R e q = G e q = 1 R 1 + 1 R 2 + ⋯ + 1 R n = ∑ k = 1 n 1 R k \frac{1}{R_{eq}} = G_{eq} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{R_k} Req1=Geq=R11+R21+⋯+Rn1=∑k=1nRk1
结论：等效电导等于并联的各电导之和。 R e q < R k R_{eq} < R_k Req<Rk（等效电阻小于任一分电阻）。
并联电阻的分流
i k = u R k = u G k = G k G e q i i_k = \frac{u}{R_k} = u G_k = \frac{G_k}{G_{eq}} i ik=Rku=uGk=GeqGki
表明：电流分配与电导成正比。
功率
各电阻的功率： p 1 = G 1 u 2 p_1 = G_1 u^2 p1=G1u2， p 2 = G 2 u 2 p_2 = G_2 u^2 p2=G2u2， ... \dots ...， p n = G n u 2 p_n = G_n u^2 pn=Gnu2
功率分配： p 1 : p 2 : ⋯ : p n = G 1 : G 2 : ⋯ : G n p_1 : p_2 : \dots : p_n = G_1 : G_2 : \dots : G_n p1:p2:⋯:pn=G1:G2:⋯:Gn
总功率 p = G e q u 2 = ( G 1 + G 2 + ⋯ + G n ) u 2 = G 1 u 2 + G 2 u 2 + ⋯ + G n u 2 = p 1 + p 2 + ⋯ + p n p = G_{eq} u^2 = (G_1 + G_2 + \dots + G_n) u^2 = G_1 u^2 + G_2 u^2 + \dots + G_n u^2 = p_1 + p_2 + \dots + p_n p=Gequ2=(G1+G2+⋯+Gn)u2=G1u2+G2u2+⋯+Gnu2=p1+p2+⋯+pn。
结论：电阻并联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比；等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消耗功率的总和。
2.1.3、电阻的串并联（混联）
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，这种连接方式称为电阻的串并联。
求解步骤：
①求出等效电阻或等效电导。
②应用欧姆定律求出总电压或总电流。
③应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压。
注意：等效电阻针对端口而言；端口不同，等效电阻也不同。
2.1.4、桥形结构和惠斯通电桥
当满足 R 1 R 4 = R 2 R 3 R_1 R_4 = R_2 R_3 R1R4=R2R3 时，对角线支路中电流为 0，称电桥处于平衡状态，这一条件也称为电桥的平衡条件。
平衡条件推导：
平衡时， R 5 R_5 R5 中电流为 0，a、b 两点电位相等，所以 U R 1 = U R 2 U_{R1} = U_{R2} UR1=UR2。
由分压公式： U R 1 = R 1 R 1 + R 3 U U_{R1} = \frac{R_1}{R_1 + R_3} U UR1=R1+R3R1U， U R 2 = R 2 R 2 + R 4 U U_{R2} = \frac{R_2}{R_2 + R_4} U UR2=R2+R4R2U
因为 U R 1 = U R 2 U_{R1} = U_{R2} UR1=UR2，所以 R 1 R 1 + R 3 = R 2 R 2 + R 4 \frac{R_1}{R_1 + R_3} = \frac{R_2}{R_2 + R_4} R1+R3R1=R2+R4R2
化简得： R 1 R 4 = R 2 R 3 R_1 R_4 = R_2 R_3 R1R4=R2R3
2.2、电阻的Y形连接和△形连接的等效变换
2.2.1、电阻的△、Y形连接
△形网络：三个电阻首尾相连构成一个三角形，有三个端点 1、2、3。
△形网络的变形π型电路
Y形网络（T型电路、星型）：三个电阻的一端连在一起（中心点），另一端分别引出三个端点 1、2、3。
Y形网络的变形T型电路（星型）
注意：当△形和Y形网络的电阻满足一定关系时，它们能够相互等效。
2.2.2、Δ-Y变换的等效条件
等效条件：两个网络对应端口的电流相等、电压相等。
i 1 Δ = i 1 Y i_{1\Delta} = i_{1Y} i1Δ=i1Y， i 2 Δ = i 2 Y i_{2\Delta} = i_{2Y} i2Δ=i2Y， i 3 Δ = i 3 Y i_{3\Delta} = i_{3Y} i3Δ=i3Y
u 12 Δ = u 12 Y u_{12\Delta} = u_{12Y} u12Δ=u12Y， u 23 Δ = u 23 Y u_{23\Delta} = u_{23Y} u23Δ=u23Y， u 31 Δ = u 31 Y u_{31\Delta} = u_{31Y} u31Δ=u31Y
2.2.3、变换公式
①Δ → Y 的变换公式：
R 1 = R 12 R 31 R 12 + R 23 + R 31 R_1 = \frac{R_{12} R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} R1=R12+R23+R31R12R31
R 2 = R 23 R 12 R 12 + R 23 + R 31 R_2 = \frac{R_{23} R_{12}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} R2=R12+R23+R31R23R12
R 3 = R 31 R 23 R 12 + R 23 + R 31 R_3 = \frac{R_{31} R_{23}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}} R3=R12+R23+R31R31R23
②Y → Δ 的变换公式：
R 12 = R 1 + R 2 + R 1 R 2 R 3 R_{12} = R_1 + R_2 + \frac{R_1 R_2}{R_3} R12=R1+R2+R3R1R2
R 23 = R 2 + R 3 + R 2 R 3 R 1 R_{23} = R_2 + R_3 + \frac{R_2 R_3}{R_1} R23=R2+R3+R1R2R3
R 31 = R 3 + R 1 + R 3 R 1 R 2 R_{31} = R_3 + R_1 + \frac{R_3 R_1}{R_2} R31=R3+R1+R2R3R1
推导过程：
Δ形网络： i 1 Δ = u 12 Δ R 12 − u 31 Δ R 31 i_{1\Delta} = \frac{u_{12\Delta}}{R_{12}} - \frac{u_{31\Delta}}{R_{31}} i1Δ=R12u12Δ−R31u31Δ， i 2 Δ = u 23 Δ R 23 − u 12 Δ R 12 i_{2\Delta} = \frac{u_{23\Delta}}{R_{23}} - \frac{u_{12\Delta}}{R_{12}} i2Δ=R23u23Δ−R12u12Δ， i 3 Δ = u 31 Δ R 31 − u 23 Δ R 23 i_{3\Delta} = \frac{u_{31\Delta}}{R_{31}} - \frac{u_{23\Delta}}{R_{23}} i3Δ=R31u31Δ−R23u23Δ
Y形网络： u 12 Y = R 1 i 1 Y − R 2 i 2 Y u_{12Y} = R_1 i_{1Y} - R_2 i_{2Y} u12Y=R1i1Y−R2i2Y， u 23 Y = R 2 i 2 Y − R 3 i 3 Y u_{23Y} = R_2 i_{2Y} - R_3 i_{3Y} u23Y=R2i2Y−R3i3Y， u 31 Y = R 3 i 3 Y − R 1 i 1 Y u_{31Y} = R_3 i_{3Y} - R_1 i_{1Y} u31Y=R3i3Y−R1i1Y，且 i 1 Y + i 2 Y + i 3 Y = 0 i_{1Y} + i_{2Y} + i_{3Y} = 0 i1Y+i2Y+i3Y=0
令 i 1 Δ = i 1 Y i_{1\Delta} = i_{1Y} i1Δ=i1Y， i 2 Δ = i 2 Y i_{2\Delta} = i_{2Y} i2Δ=i2Y， i 3 Δ = i 3 Y i_{3\Delta} = i_{3Y} i3Δ=i3Y， u 12 Δ = u 12 Y u_{12\Delta} = u_{12Y} u12Δ=u12Y， u 23 Δ = u 23 Y u_{23\Delta} = u_{23Y} u23Δ=u23Y， u 31 Δ = u 31 Y u_{31\Delta} = u_{31Y} u31Δ=u31Y，比较对应系数，即得变换公式。
简记方法
Δ变Y： R Y = Δ 相邻电阻乘积 ∑ R Δ R_Y = \frac{\Delta相邻电阻乘积}{\sum R_\Delta} RY=∑RΔΔ相邻电阻乘积
Y变Δ： G Δ = Y 相邻电导乘积 ∑ G Y G_\Delta = \frac{Y相邻电导乘积}{\sum G_Y} GΔ=∑GYY相邻电导乘积
"相邻"：目标电阻接在哪个（或哪两个）端点上，另一个网络里接在相同端点上的电阻，就是它的相邻电阻。
特例：若三个电阻相等（对称），则有 R Δ = 3 R Y R_\Delta = 3R_Y RΔ=3RY。
口诀：外大内小（Δ形电阻大，Y形电阻小）。
注意
①等效对外部（端口以外）有效，对内不成立。
②等效电路与外部电路无关。
③用于化简电路。
三、电源的等效变换
3.1、理想电压源的串联和并联
①串联
u = u s 1 + u s 2 = ∑ u s k u = u_{s1} + u_{s2} = \sum u_{sk} u=us1+us2=∑usk
注意参考方向，电压源串联时总电压等于各电压源电压的代数和。
②并联
u = u s 1 = u s 2 u = u_{s1} = u_{s2} u=us1=us2
注意：相同电压源才能并联，电源中的电流不确定。
3.1.1、电压源与支路的串、并联等效
①串联等效
u = u s 1 + R 1 i + u s 2 + R 2 i = ( u s 1 + u s 2 ) + ( R 1 + R 2 ) i = u s + R i u = u_{s1} + R_1 i + u_{s2} + R_2 i = (u_{s1} + u_{s2}) + (R_1 + R_2)i = u_s + Ri u=us1+R1i+us2+R2i=(us1+us2)+(R1+R2)i=us+Ri
②并联等效
电压源与任意元件并联时，对外等效为该电压源本身。
3.2、理想电流源的串联和并联
①并联
i = i s 1 + i s 2 + ⋯ + i s n = ∑ i s k i = i_{s1} + i_{s2} + \cdots + i_{sn} = \sum i_{sk} i=is1+is2+⋯+isn=∑isk
②串联
i = i s 1 = i s 2 i = i_{s1} = i_{s2} i=is1=is2
注意：相同的理想电流源才能串联，每个电流源的端电压不能确定。
3.2.1、电流源与支路的串、并联等效
①并联等效
i = i s 1 − u R 1 + i s 2 − u R 2 = i s 1 + i s 2 − ( 1 R 1 + 1 R 2 ) u = i s − u R i = i_{s1} - \frac{u}{R_1} + i_{s2} - \frac{u}{R_2} = i_{s1} + i_{s2} - \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) u = i_s - \frac{u}{R} i=is1−R1u+is2−R2u=is1+is2−(R11+R21)u=is−Ru
②串联等效
电流源与任意元件串联时，对外等效为该电流源本身。
3.3、 实际电源的两种模型及其等效变换
3.3.1、实际电压源
模型：理想电压源 u S u_S uS 与内阻 R S R_S RS 串联。
伏安特性： u = u S − R S i u = u_S - R_S i u=uS−RSi
要求：一个好的电压源要求 R S → 0 R_S \to 0 RS→0。
注意：实际电压源不允许短路。因其内阻小，若短路，电流很大，可能烧毁电源。
3.3.2、实际电流源
模型：理想电流源 i S i_S iS 与内阻 R S R_S RS 并联。
伏安特性： i = i S − u R S i = i_S - \frac{u}{R_S} i=iS−RSu
要求：一个好的电流源要求 R S → ∞ R_S \to \infty RS→∞。
注意：实际电流源不允许开路。因其内阻大，若开路，电压很高，可能烧毁电源。
3.3.3、电压源和电流源的等效变换
实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换。等效是指端口电压、电流在转换过程中保持不变。
等效条件：
i S = u S R S i_S = \frac{u_S}{R_S} iS=RSuS， G S = 1 R S G_S = \frac{1}{R_S} GS=RS1
推导过程：
实际电压源的端口特性： i = u S − u R S = u S R S − u R S i = \frac{u_S - u}{R_S} = \frac{u_S}{R_S} - \frac{u}{R_S} i=RSuS−u=RSuS−RSu
实际电流源的端口特性： i = i S − G S u i = i_S - G_S u i=iS−GSu
比较对应项，得： i S = u S R S i_S = \frac{u_S}{R_S} iS=RSuS， G S = 1 R S G_S = \frac{1}{R_S} GS=RS1
变换关系：
电压源 → 电流源： i S = u S R S i_S = \frac{u_S}{R_S} iS=RSuS， G S = 1 R S G_S = \frac{1}{R_S} GS=RS1
电流源 → 电压源： u S = i S G S u_S = \frac{i_S}{G_S} uS=GSiS， R S = 1 G S R_S = \frac{1}{G_S} RS=GS1
注意：
①方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反。
②等效对外部电路等效，对内部电路是不等效的。
电压源开路， R S R_S RS 上无电流流过；电流源开路， G S G_S GS 上有电流流过。
电压源短路， R S R_S RS 上有电流；电流源短路， G S G_S GS 上无电流。
③理想电压源与理想电流源不能相互转换。
四、一端口的输入电阻
定义
一端口网络的输入电阻： R i n = u i R_{in} = \frac{u}{i} Rin=iu
计算方法
①如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联和 Δ-Y 变换等方法求它的等效电阻。
②对含有受控源和电阻的两端电路，用电压、电流法求输入电阻：在端口加电压源，求得电流；或在端口加电流源，求得电压，然后计算两者的比值，即为输入电阻。
③如果一端口内部含独立源，先把独立源置零（电压源短路，电流源开路），再按上述方法求输入电阻。