目标：使用区域参考站 ZTD 估值，采用 BLH 三元二次十系数多项式，为 PPP-RTK 用户生成对流层改正及质量信息。
全文约定 ："精度因子"记为 q u q_u qu，特指用户位置 ZTD 产品误差的先验标准差 （m）；终端采用的约束方差为 R T , u = q u 2 R_{T,u}=q_u^2 RT,u=qu2（m²）。这一命名属于本文的产品接口约定，不是统一的 GNSS 标准字段，也不是完整性保护级。
1. 精度因子究竟解决什么问题?
区域 PPP-RTK 服务端要向终端回答两个问题：
- 对流层产品值：用户位置的 ZTD 预计是多少？
- 对流层产品质量：该预测值相对于用户真实 ZTD 有多大不确定度？
固定经验方差忽略了测站几何、站点 ZTD 解算精度、高程跨度、天气和产品时延的变化。方差过小，终端会过度相信模型；方差过大，模型约束的收益减弱，进而影响坐标估计、模糊度固定效率及可靠性 1--3。
必须分清以下四个统计量：
| 名称 | 符号 | 含义 | 能否直接播发为用户约束方差 |
|---|---|---|---|
| 站内拟合残差 | v i v_i vi（m） | 参与拟合测站的观测与拟合之差 | 否 |
| 单位权方差 | σ ^ 0 2 \widehat\sigma_0^2 σ 02（m²） | 给定权阵下残差的总体尺度 | 否 |
| 参数传播方差 | s u 2 s_u^2 su2（m²） | 估计的多项式系数带来的用户预测不确定度 | 仅在模型正确等条件下可直接使用 |
| 产品误差方差 | R p r o d , u R_{\mathrm{prod},u} Rprod,u（m²） | 用户位置产品相对真实 ZTD 的预测误差方差 | 是，但需确认无偏性和校准有效性 |
核心思路：最小二乘给出预测值和模型内部精度；独立的离站预测检验与统计校准，使精度因子尽量反映真实产品误差 2--4。
#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 p{margin:0;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .label text,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .node rect,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .node circle,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .node ellipse,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .node polygon,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .rough-node .label text,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .node .label text,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .image-shape .label,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .rough-node .label,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .node .label,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .image-shape .label,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edgeLabel{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edgeLabel p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .labelBkg{background-color:rgba(232, 232, 232, 0.5);}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .flowchartTitleText{text-anchor:middle;font-size:18px;fill:#333;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 rect.text{fill:none;stroke-width:0;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .icon-shape,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .image-shape{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .icon-shape p,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .image-shape p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);padding:2px;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .icon-shape .label rect,#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .image-shape .label rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .label-icon{display:inline-block;height:1em;overflow:visible;vertical-align:-0.125em;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 .node .label-icon path{fill:currentColor;stroke:revert;stroke-width:revert;}#mermaid-svg-ATTUGdkSvcQhukI0 :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 参考站同历元 ZTD 与质量信息
坐标归一化和数据质控
十系数加权最小二乘
用户 ZTD 预测值
系数协方差和传播方差
留一站预测与独立站验证
估计模型误差并校准方差
用户位置 ZTD 标准差 q
区域产品与历元信息
PPP-RTK 终端构建随机约束
2. GNSS 为什么需要 ZTD 及其约束方差
2.1 从斜路径延迟到天顶延迟
忽略水平梯度时，卫星 s s s 对应的斜路径对流层延迟为
T s = m h ( e s ) Z H D + m w ( e s ) Z W D , Z T D = Z H D + Z W D . T^s=m_h(e^s)\,\mathrm{ZHD}+m_w(e^s)\,\mathrm{ZWD}, \qquad \mathrm{ZTD}=\mathrm{ZHD}+\mathrm{ZWD}. Ts=mh(es)ZHD+mw(es)ZWD,ZTD=ZHD+ZWD.
其中： T s T^s Ts 为斜路径延迟（m）； e s e^s es 为卫星高度角； m h , m w m_h,m_w mh,mw 分别为静力和湿延迟映射函数（无量纲）；ZHD、ZWD、ZTD 分别为天顶静力、天顶湿和天顶总延迟（m）。必要时还须估计水平梯度；单个 ZTD 精度因子不包括映射函数与梯度的所有误差。
2.2 终端把产品当作带方差的伪观测
若终端将 ZTD 作为待估状态，可写成
ℓ T , u = Z ^ u s r v = Z u + ε T , u , R T , u = Var ( ε T , u ) = q u 2 . \ell_{T,u}=\widehat Z_u^{\mathrm{srv}} =Z_u+\varepsilon_{T,u},\qquad R_{T,u}=\operatorname{Var}(\varepsilon_{T,u})=q_u^2. ℓT,u=Z usrv=Zu+εT,u,RT,u=Var(εT,u)=qu2.
其中： u u u 表示用户； ℓ T , u \ell_{T,u} ℓT,u 是伪观测值（m）； Z ^ u s r v \widehat Z_u^{\mathrm{srv}} Z usrv 是服务端提供的 ZTD（m）； Z u Z_u Zu 是终端待估 ZTD（m）； ε T , u \varepsilon_{T,u} εT,u 是产品相对真实 ZTD 的误差（m）； q u q_u qu 是其标准差（m）； R T , u R_{T,u} RT,u 是约束方差（m²）。对独立的单条标量约束，权为 1 / R T , u 1/R_{T,u} 1/RT,u。
若终端估计的是 ZWD 而非 ZTD，需先扣除终端使用的静力先验：
Z W D ^ u s r v = Z ^ u s r v − Z H D u p r i o r . \widehat{\mathrm{ZWD}}_u^{\mathrm{srv}} =\widehat Z_u^{\mathrm{srv}}-\mathrm{ZHD}_u^{\mathrm{prior}}. ZWD usrv=Z usrv−ZHDuprior.
令 ε h , u = Z H D u p r i o r − Z H D u t r u e \varepsilon_{h,u}=\mathrm{ZHD}_u^{\mathrm{prior}}-\mathrm{ZHD}_u^{\mathrm{true}} εh,u=ZHDuprior−ZHDutrue，则
R w , u = R T , u + R h , u − 2 Cov ( ε T , u , ε h , u ) . \boxed{R_{w,u}=R_{T,u}+R_{h,u} -2\operatorname{Cov}(\varepsilon_{T,u},\varepsilon_{h,u})}. Rw,u=RT,u+Rh,u−2Cov(εT,u,εh,u).
其中： Z H D u p r i o r \mathrm{ZHD}u^{\mathrm{prior}} ZHDuprior 和 Z H D u t r u e \mathrm{ZHD}u^{\mathrm{true}} ZHDutrue 为静力先验与真实静力延迟（m）； R h , u = Var ( ε h , u ) R{h,u}=\operatorname{Var}(\varepsilon{h,u}) Rh,u=Var(εh,u) 为静力先验方差（m²）； R w , u R_{w,u} Rw,u 为 ZWD 伪观测方差（m²）。不能不检查 ZHD 误差就直接令 R w , u = q u 2 R_{w,u}=q_u^2 Rw,u=qu2；只有静力误差足够小，或已在所播发质量模型中恰当处理时，才可采用这一近似。
3. BLH 十系数多项式如何拟合 ZTD
3.1 坐标变量和十个基函数
第 i i i 个参考站的大地纬度、经度、椭球高记为 ( B i , L i , H i ) (B_i,L_i,H_i) (Bi,Li,Hi)。为改善数值条件，进行中心化和归一化：
x i = B i − B 0 s B , y i = L i − L 0 s L , z i = H i − H 0 s H . x_i=\frac{B_i-B_0}{s_B},\qquad y_i=\frac{L_i-L_0}{s_L},\qquad z_i=\frac{H_i-H_0}{s_H}. xi=sBBi−B0,yi=sLLi−L0,zi=sHHi−H0.
其中： ( B 0 , L 0 , H 0 ) (B_0,L_0,H_0) (B0,L0,H0) 为建模中心； s B , s L , s H s_B,s_L,s_H sB,sL,sH 为正的坐标尺度，分别采用与分子一致的角度和长度单位； x i , y i , z i x_i,y_i,z_i xi,yi,zi 无量纲。跨越 ± 180 ∘ \pm180^\circ ±180∘ 经线时应处理经度差的周期性；参考坐标框架、椭球高基准与终端必须一致。
十个二次基函数构成列向量
ϕ i = 1 x i y i z i x i 2 y i 2 z i 2 x i y i x i z i y i z i T . \boldsymbol\phi_i= \begin{bmatrix} 1&x_i&y_i&z_i&x_i^2&y_i^2&z_i^2&x_iy_i&x_iz_i&y_iz_i \end{bmatrix}^{\mathsf T}. ϕi=1xiyizixi2yi2zi2xiyixiziyiziT.
区域模型为
Z i = ϕ i T β + η i \boxed{ Z_i=\boldsymbol\phi_i^{\mathsf T}\boldsymbol\beta+\eta_i } Zi=ϕiTβ+ηi
其中： Z i Z_i Zi 为第 i i i 站解算 ZTD（m）； β = ( β 0 , ... , β 9 ) T \boldsymbol\beta=(\beta_0,\ldots,\beta_9)^{\mathsf T} β=(β0,...,β9)T 是十个模型系数列向量（m）； η i \eta_i ηi 是站点 ZTD 观测误差与空间模型失配的合成项（m）。因为坐标已归一化，系数单位均为 m。上标 T \mathsf T T 表示转置。
将 n n n 个参考站堆叠：
Z = A β + η , A = ϕ 1 T ⋮ ϕ n T . \mathbf Z=\mathbf A\boldsymbol\beta+\boldsymbol\eta, \qquad \mathbf A=\begin{bmatrix} \boldsymbol\phi_1^{\mathsf T}\\ \vdots\\ \boldsymbol\phi_n^{\mathsf T} \end{bmatrix}. Z=Aβ+η,A= ϕ1T⋮ϕnT .
其中： Z , η ∈ R n \mathbf Z,\boldsymbol\eta\in\mathbb R^n Z,η∈Rn 分别为 ZTD 与误差列向量； A ∈ R n × 10 \mathbf A\in\mathbb R^{n\times10} A∈Rn×10 为设计矩阵。
可辨识性 ：唯一估计十个系数要求 n ≥ 10 n\ge10 n≥10 且 rank ( A ) = 10 \operatorname{rank}(\mathbf A)=10 rank(A)=10；残差估计单位权方差还要求 n > 10 n>10 n>10。做留一站拟合时，删去任意一站后的矩阵仍必须满秩；若希望每次留一拟合仍有残差自由度，需 n ≥ 12 n\ge12 n≥12。这些只是代数条件，实际应使用明显多于 10 个、分布均衡且具有足够高程跨度的测站。高程集中、站网狭长、用户越界外推都可能导致严重病态。
BLH 二次多项式是经验空间模型，而非对流层折射率定律。当地形起伏大时，优先评估先做物理高程归算、再拟合水平残差的策略；不能指望 H , H 2 H,H^2 H,H2 两项自动刻画全部垂直结构。
3.2 加权最小二乘（WLS）
先采用经典相对权约定：
Cov ( η ) = σ 0 2 Q , P = Q − 1 . \operatorname{Cov}(\boldsymbol\eta)=\sigma_0^2\mathbf Q, \qquad \mathbf P=\mathbf Q^{-1}. Cov(η)=σ02Q,P=Q−1.
其中： σ 0 2 \sigma_0^2 σ02 为待估单位权方差（m²）； Q \mathbf Q Q 为已知、正定、无量纲的协因数矩阵； P \mathbf P P 是相对权矩阵。此统计模型要求所使用的协方差形状足够合理，且不含不可忽略的未校正系统偏差。
令
J ( β ) = ( Z − A β ) T P ( Z − A β ) . J(\boldsymbol\beta) =(\mathbf Z-\mathbf A\boldsymbol\beta)^{\mathsf T} \mathbf P(\mathbf Z-\mathbf A\boldsymbol\beta). J(β)=(Z−Aβ)TP(Z−Aβ).
其中： J J J 为加权残差平方和（m²）。对 β \boldsymbol\beta β 求导并令其为零：
∂ J ∂ β = − 2 A T P ( Z − A β ) = 0. \frac{\partial J}{\partial\boldsymbol\beta} =-2\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf P (\mathbf Z-\mathbf A\boldsymbol\beta)=\mathbf0. ∂β∂J=−2ATP(Z−Aβ)=0.
得到法方程和系数表达式：
A T P A β ^ = A T P Z , \mathbf A^{\mathsf T}\mathbf P\mathbf A\widehat{\boldsymbol\beta} =\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf P\mathbf Z, ATPAβ =ATPZ,
β ^ = ( A T P A ) − 1 A T P Z . \boxed{\widehat{\boldsymbol\beta} =(\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf P\mathbf A)^{-1} \mathbf A^{\mathsf T}\mathbf P\mathbf Z}. β =(ATPA)−1ATPZ.
其中： β ^ \widehat{\boldsymbol\beta} β 为 WLS 拟合系数（m）； 0 \mathbf0 0 为零向量。上式用于推导；实际代码应对白化后的系统使用 QR 或 SVD，避免显式求逆法矩阵。若采用稳健回归或正则化，以下自由度和协方差公式需相应调整。
4. 精度因子的数学依据
4.1 站内残差能给出什么：单位权方差
定义拟合残差 v = Z − A β ^ \mathbf v=\mathbf Z-\mathbf A\widehat{\boldsymbol\beta} v=Z−Aβ ，残差自由度 f = n − 10 f=n-10 f=n−10。令 P 1 / 2 \mathbf P^{1/2} P1/2 为权阵的对称平方根， B = P 1 / 2 A \mathbf B=\mathbf P^{1/2}\mathbf A B=P1/2A，并定义白化空间中的投影矩阵
Π = B ( B T B ) − 1 B T . \boldsymbol\Pi=\mathbf B(\mathbf B^{\mathsf T}\mathbf B)^{-1} \mathbf B^{\mathsf T}. Π=B(BTB)−1BT.
其中： v \mathbf v v 为站内残差向量（m）； f f f 为自由度； B \mathbf B B 为白化设计矩阵； Π \boldsymbol\Pi Π 是秩为 10 的正交投影矩阵。在误差零均值且协方差满足第 3.2 节模型时，白化残差为
P 1 / 2 v = ( I − Π ) P 1 / 2 η . \mathbf P^{1/2}\mathbf v =(\mathbf I-\boldsymbol\Pi)\mathbf P^{1/2}\boldsymbol\eta. P1/2v=(I−Π)P1/2η.
利用 tr ( I − Π ) = n − 10 \operatorname{tr}(\mathbf I-\boldsymbol\Pi)=n-10 tr(I−Π)=n−10，可得
E ( v T P v ) = σ 0 2 ( n − 10 ) , \mathbb E(\mathbf v^{\mathsf T}\mathbf P\mathbf v) =\sigma_0^2(n-10), E(vTPv)=σ02(n−10),
进而得到单位权方差估计：
σ ^ 0 2 = v T P v n − 10 . (1) \boxed{\widehat\sigma_0^2 =\frac{\mathbf v^{\mathsf T}\mathbf P\mathbf v}{n-10}}. \tag{1} σ 02=n−10vTPv.(1)
其中： I \mathbf I I 为单位矩阵； tr \operatorname{tr} tr 表示矩阵迹； E \mathbb E E 表示数学期望； σ ^ 0 2 \widehat\sigma_0^2 σ 02 的单位为 m²。推导并不要求误差正态，但要求协方差模型正确、 A \mathbf A A 满秩及普通未正则化 WLS。站内残差小，不代表站网外或站间未观测位置的预测误差小。
另一种权阵约定 ：若输入的是已标定、具有 m² 单位的物理观测协方差 C Z \mathbf C_Z CZ，则取 W = C Z − 1 \mathbf W=\mathbf C_Z^{-1} W=CZ−1（m⁻²），系数协方差直接按 C Z \mathbf C_Z CZ 传播。此时 v T W v / ( n − 10 ) \mathbf v^{\mathsf T}\mathbf W\mathbf v/(n-10) vTWv/(n−10) 无量纲，主要用于一致性诊断，不能未经论证就拿它再次放大 C Z \mathbf C_Z CZ。若 C Z \mathbf C_Z CZ 只覆盖参考站解算噪声，则其传播结果也只覆盖该部分噪声。对应的参数协方差为
C β , o b s = ( A T C Z − 1 A ) − 1 . \mathbf C_{\beta,\mathrm{obs}}=\left(\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf C_Z^{-1}\mathbf A\right)^{-1}. Cβ,obs=(ATCZ−1A)−1.
其中： C β , o b s \mathbf C_{\beta,\mathrm{obs}} Cβ,obs 是仅传播参考站 ZTD 解算协方差所得的系数协方差（m²），仍不等于含空间失配的完整产品协方差。
4.2 系数协方差：十个参数估得有多稳
定义线性估计算子
K = ( A T P A ) − 1 A T P , β ^ = K Z . \mathbf K=(\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf P\mathbf A)^{-1} \mathbf A^{\mathsf T}\mathbf P, \qquad \widehat{\boldsymbol\beta}=\mathbf K\mathbf Z. K=(ATPA)−1ATP,β =KZ.
其中： K ∈ R 10 × n \mathbf K\in\mathbb R^{10\times n} K∈R10×n 为从站点 ZTD 到系数的线性映射算子。若参考场确实符合该多项式，且误差协方差为 σ 0 2 Q \sigma_0^2\mathbf Q σ02Q，则
β ^ − β = K η , \widehat{\boldsymbol\beta}-\boldsymbol\beta=\mathbf K\boldsymbol\eta, β −β=Kη,
Cov ( β ^ ) = K ( σ 0 2 Q ) K T = σ 0 2 ( A T P A ) − 1 . (2) \begin{aligned} \operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\beta}) &=\mathbf K(\sigma_0^2\mathbf Q)\mathbf K^{\mathsf T}\\ &=\boxed{\sigma_0^2(\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf P\mathbf A)^{-1}}. \end{aligned} \tag{2} Cov(β )=K(σ02Q)KT=σ02(ATPA)−1.(2)
其中： Cov \operatorname{Cov} Cov 为协方差算子； K T \mathbf K^{\mathsf T} KT 为转置。用式（1）的 σ ^ 0 2 \widehat\sigma_0^2 σ 02 代入式（2），得到估计的系数协方差 C ^ β \widehat{\mathbf C}_{\beta} C β（m²）。它表征拟合参数估计不确定度，不自动包含用户处未被模型描述的真实大气变化。
4.3 用户位置的参数传播方差
用户使用相同 的 ( B 0 , L 0 , H 0 , s B , s L , s H ) (B_0,L_0,H_0,s_B,s_L,s_H) (B0,L0,H0,sB,sL,sH) 归一化，生成 ϕ u \boldsymbol\phi_u ϕu。用户产品值为
Z ^ u = ϕ u T β ^ . (3) \boxed{\widehat Z_u=\boldsymbol\phi_u^{\mathsf T}\widehat{\boldsymbol\beta}}. \tag{3} Z u=ϕuTβ .(3)
参数传播方差为
s u 2 = ϕ u T C ^ β ϕ u . (4) \boxed{s_u^2 =\boldsymbol\phi_u^{\mathsf T} \widehat{\mathbf C}_{\beta}\boldsymbol\phi_u}. \tag{4} su2=ϕuTC βϕu.(4)
其中： Z ^ u \widehat Z_u Z u 为用户预测 ZTD（m）； ϕ u \boldsymbol\phi_u ϕu 为用户基函数向量； s u 2 s_u^2 su2 为系数估计误差传播到用户的内部预测方差（m²）。它随用户位置和站网几何变化。
到这一步，最小二乘已经能计算一个"精度量"，但它还不是完整的 PPP-RTK 产品方差。
4.4 为什么还差一步：真实场存在模型失配
把真实大气场、参考站解算误差分开：
Z i t r u e = ϕ i T β + δ i , Z i = Z i t r u e + ν i , Z u t r u e = ϕ u T β + δ u . \begin{aligned} Z_i^{\mathrm{true}}&=\boldsymbol\phi_i^{\mathsf T}\boldsymbol\beta+\delta_i,\\ Z_i&=Z_i^{\mathrm{true}}+\nu_i,\\ Z_u^{\mathrm{true}}&=\boldsymbol\phi_u^{\mathsf T}\boldsymbol\beta+\delta_u. \end{aligned} ZitrueZiZutrue=ϕiTβ+δi,=Zitrue+νi,=ϕuTβ+δu.
其中： Z i t r u e , Z u t r u e Z_i^{\mathrm{true}},Z_u^{\mathrm{true}} Zitrue,Zutrue 为参考站和用户真实 ZTD（m）； δ i , δ u \delta_i,\delta_u δi,δu 为二次多项式未能描述的空间场分量（m）； ν i \nu_i νi 为参考站 ZTD 解算误差（m）。为讨论方差，将大气场在不同历元与天气条件下的变化视作随机过程；若把 δ \delta δ 视为某次历元的固定未知量，它引起的主要是条件偏差，而不是自动产生随机方差。
记 δ = ( δ 1 , ... , δ n ) T \boldsymbol\delta=(\delta_1,\ldots,\delta_n)^{\mathsf T} δ=(δ1,...,δn)T、 ν = ( ν 1 , ... , ν n ) T \boldsymbol\nu=(\nu_1,\ldots,\nu_n)^{\mathsf T} ν=(ν1,...,νn)T 和 a u = K T ϕ u \mathbf a_u=\mathbf K^{\mathsf T}\boldsymbol\phi_u au=KTϕu，由 K A = I 10 \mathbf K\mathbf A=\mathbf I_{10} KA=I10 可得
Z ^ u = a u T Z , \widehat Z_u=\mathbf a_u^{\mathsf T}\mathbf Z, Z u=auTZ,
e u = Z ^ u − Z u t r u e = a u T ν + a u T δ − δ u . (5) \boxed{e_u=\widehat Z_u-Z_u^{\mathrm{true}} =\mathbf a_u^{\mathsf T}\boldsymbol\nu +\mathbf a_u^{\mathsf T}\boldsymbol\delta-\delta_u}. \tag{5} eu=Z u−Zutrue=auTν+auTδ−δu.(5)
其中： a u ∈ R n \mathbf a_u\in\mathbb R^n au∈Rn 是参考站 ZTD 对用户预测的线性影响系数； e u e_u eu 是产品预测误差（m）。式（5）揭示：产品误差同时来自参考站 ZTD 解算噪声 和训练站与用户之间未建模的大气结构差异。
定义 η = ν + δ \boldsymbol\eta=\boldsymbol\nu+\boldsymbol\delta η=ν+δ， C η = Cov ( η ) \mathbf C_{\eta}=\operatorname{Cov}(\boldsymbol\eta) Cη=Cov(η)， c η u = Cov ( η , δ u ) \mathbf c_{\eta u}=\operatorname{Cov}(\boldsymbol\eta,\delta_u) cηu=Cov(η,δu)，严格的方差恒等式为
Var ( e u ) = a u T C η a u + Var ( δ u ) − 2 a u T c η u . (6) \boxed{ \operatorname{Var}(e_u) =\mathbf a_u^{\mathsf T}\mathbf C_{\eta}\mathbf a_u +\operatorname{Var}(\delta_u) -2\mathbf a_u^{\mathsf T}\mathbf c_{\eta u} }. \tag{6} Var(eu)=auTCηau+Var(δu)−2auTcηu.(6)
其中： C η \mathbf C_{\eta} Cη 为参考站合成误差协方差矩阵（m²）； c η u \mathbf c_{\eta u} cηu 为参考站合成误差与用户位置模型失配的交叉协方差向量（m²）。不可无条件把两项方差简单相加，因为训练站与用户的天气结构可能高度相关。
若进一步假设 ν \boldsymbol\nu ν 与全部 δ , δ u \boldsymbol\delta,\delta_u δ,δu 不相关，则式（6）可写成更直观的分解：
Var ( e u ) ⏟ 总产品方差 = a u T C ν a u ⏟ 参考站解算噪声传播 + Var ( a u T δ − δ u ) ⏟ 空间模型失配 . (7) \underbrace{\operatorname{Var}(e_u)}{\text{总产品方差}} =\underbrace{\mathbf a_u^{\mathsf T}\mathbf C{\nu}\mathbf a_u}{\text{参考站解算噪声传播}} +\underbrace{\operatorname{Var}(\mathbf a_u^{\mathsf T}\boldsymbol\delta-\delta_u)}{\text{空间模型失配}}. \tag{7} 总产品方差 Var(eu)=参考站解算噪声传播 auTCνau+空间模型失配 Var(auTδ−δu).(7)
其中： C ν = Cov ( ν ) \mathbf C_{\nu}=\operatorname{Cov}(\boldsymbol\nu) Cν=Cov(ν) 为参考站 ZTD 解算误差协方差矩阵（m²）。式（7）是条件成立时 的物理分解；若已用包含模型失配的 σ ^ 0 2 \widehat\sigma_0^2 σ 02 构造 s u 2 s_u^2 su2，就不能再把整份模型失配方差不加检验地叠加，否则可能重复计算。
此外，若存在非零系统偏差 b u = E ( e u ) b_u=\mathbb E(e_u) bu=E(eu)，则
MSE ( e u ) = Var ( e u ) + b u 2 . (8) \boxed{\operatorname{MSE}(e_u) =\operatorname{Var}(e_u)+b_u^2}. \tag{8} MSE(eu)=Var(eu)+bu2.(8)
其中： MSE \operatorname{MSE} MSE 为均方误差（m²）， b u b_u bu 为产品误差均值（m）。优先修正可识别的系统偏差。在未消除偏差时，RMSE 或 MSE 不能冒充零均值误差的标准差或方差；如工程上以 MSE 构造保守权重，必须说明其含义。
5. 从模型内部精度到可播发的精度因子
5.1 LOOCV：检验"未参与拟合"的测站
站内残差偏向于衡量样本内拟合。留一站交叉验证（LOOCV）则轮流剔除站 i i i，用其他 n − 1 n-1 n−1 站拟合，并预测被剔除站：
r i L O O = Z i − Z ^ − i ( B i , L i , H i ) . (9) r_i^{\mathrm{LOO}}=Z_i-\widehat Z_{-i}(B_i,L_i,H_i). \tag{9} riLOO=Zi−Z −i(Bi,Li,Hi).(9)
其中： r i L O O r_i^{\mathrm{LOO}} riLOO 为留站残差（m）； Z ^ − i \widehat Z_{-i} Z −i 为不使用第 i i i 站时预测的 ZTD（m）。每次重拟合都应检查剩余测站是否满秩、数值是否稳定。
在线性、固定对角权阵、相同基函数且无正则化/稳健重加权的条件下，可使用快捷式：
M = A ( A T P A ) − 1 A T P , r i L O O = v i 1 − M i i . (10) \mathbf M=\mathbf A(\mathbf A^{\mathsf T}\mathbf P\mathbf A)^{-1} \mathbf A^{\mathsf T}\mathbf P, \qquad \boxed{r_i^{\mathrm{LOO}}=\frac{v_i}{1-M_{ii}}}. \tag{10} M=A(ATPA)−1ATP,riLOO=1−Miivi.(10)
其中： M \mathbf M M 为拟合值的帽子矩阵； M i i M_{ii} Mii 为站 i i i 的杠杆度； v i v_i vi 为站内残差。 1 − M i i 1-M_{ii} 1−Mii 过小时预测极不稳定；带相关权阵、鲁棒调整或变化质控流程时，应优先实际重拟合，而非直接套用式（10）。LOOCV 可在线实施的思想与相关质量监测研究相符，但本文下述方差校准式并非该论文的现成公式 4。
5.2 LOOCV 残差为何不直接等于产品误差
定义留一模型相对于留出站真实 ZTD 的预测误差 e − i , i = Z ^ − i − Z i t r u e e_{-i,i}=\widehat Z_{-i}-Z_i^{\mathrm{true}} e−i,i=Z −i−Zitrue，则
r i L O O = ν i − e − i , i , r_i^{\mathrm{LOO}}=\nu_i-e_{-i,i}, riLOO=νi−e−i,i,
Var ( r i L O O ) = Var ( ν i ) + Var ( e − i , i ) − 2 Cov ( ν i , e − i , i ) . (11) \boxed{ \operatorname{Var}(r_i^{\mathrm{LOO}}) =\operatorname{Var}(\nu_i) +\operatorname{Var}(e_{-i,i}) -2\operatorname{Cov}(\nu_i,e_{-i,i})}. \tag{11} Var(riLOO)=Var(νi)+Var(e−i,i)−2Cov(νi,e−i,i).(11)
其中： ν i \nu_i νi 为留出站 ZTD 解算误差（m）， e − i , i e_{-i,i} e−i,i 为留一模型相对该站真实 ZTD 的误差（m）。因此 LOOCV 同时包含验证站噪声 ；同一解算链路的共模产品还可能使两类误差相关。LOOCV 绝对误差（m）、RMSE（m）、标准差（m）、方差（m²）不能混用。Huang 等（2025）4 的具体方法使用留站绝对误差，取邻近留站结果的最大值形成格网质量指标，再插值得到用户位置质量信息；这种指标具有经验包络意味，不是经方差一致性标定的 1 σ 1\sigma 1σ 标准差。
5.3 实时工程方案：预测方差的统计校准
若不足以估计式（6）的完整空间协方差，可采用经验校准后的预测方差，而不是声称它是严格闭式真方差：
- 用跨测站、跨日期的 LOOCV 保存 r i L O O r_i^{\mathrm{LOO}} riLOO、留站参数传播方差 s − i , i 2 s_{-i,i}^2 s−i,i2，以及验证站 ZTD 质量。
- 对具有代表性的区域/天气/高程/站网配置分组；训练集估计残差系统偏差并在适用时先予改正。
- 在验证站噪声与预测误差可近似不相关、噪声方差可信的前提下，用整体样本估计非负参数 k k k、 b 2 b^2 b2。
- 用未参与校准的独立站或独立日期检查方差一致性，再用于实时产品。
设 μ g \mu_g μg 为某校准分组 g g g 的留站残差均值，使用经偏差校正的留站残差，可采用统计目标
E ( r i L O O − μ g ) 2 ≈ k s − i , i 2 + b 2 + σ v a l , i 2 . (12) \mathbb E\!\left(r_i\^{\\mathrm{LOO}}-\\mu_g)\^2\\right \approx k\,s_{-i,i}^2+b^2+\sigma_{\mathrm{val},i}^2. \tag{12} E(riLOO−μg)2≈ks−i,i2+b2+σval,i2.(12)
其中： s − i , i 2 s_{-i,i}^2 s−i,i2 是删站后预测该站的参数传播方差（m²）； σ v a l , i 2 \sigma_{\mathrm{val},i}^2 σval,i2 为验证站自身 ZTD 解算误差方差（m²）； k ≥ 0 k\ge0 k≥0 为方差倍率（无量纲）； b 2 ≥ 0 b^2\ge0 b2≥0 为经过整体校准所需的附加方差 （m²），不是直接把全部站内残差方差再叠加一次； μ g \mu_g μg 是该分组留站残差的平均偏差（m）。 b b b 是附加标准差（m）。
使用式（12）前，应检查 μ g \mu_g μg 的修正是否确实应用于最终 ZTD 产品；若不作偏差修正，就不能把中心化后的方差当作完整零均值产品误差。站间或历元间相关时，应采用相关性修正或更保守的经验标定，不能强行逐点以 r i 2 − σ v a l , i 2 r_i^2-\sigma_{\mathrm{val},i}^2 ri2−σval,i2 开平方。
对采用全站拟合的新用户，一个简洁的工程播发模型为
R p r o d , u ( τ ) = max σ min 2 , k s u 2 + b 2 + σ a g e , u 2 ( τ ) , q u ( τ ) = R p r o d , u ( τ ) . (13) \boxed{ R_{\mathrm{prod},u}(\tau)=\max\!\left \\sigma_{\\min}\^2, \\;k\\,s_u\^2+b\^2+\\sigma_{\\mathrm{age},u}\^2(\\tau) \\right,\qquad q_u(\tau)=\sqrt{R_{\mathrm{prod},u}(\tau)}. } \tag{13} Rprod,u(τ)=maxσmin2,ksu2+b2+σage,u2(τ),qu(τ)=Rprod,u(τ) .(13)
其中： τ \tau τ 为产品使用时相对于建模历元的延迟（s）； σ a g e , u 2 ( τ ) \sigma_{\mathrm{age},u}^2(\tau) σage,u2(τ) 为尚未在历史校准样本中吸收 的新增时延误差方差（m²）； σ min \sigma_{\min} σmin 是经验证的最小产品标准差下限（m）； R p r o d , u R_{\mathrm{prod},u} Rprod,u 为校准后的产品方差（m²）； q u q_u qu 为拟播发的标准差（m）。
式（13）的定位 ：它是可实施的、必须经过离站检验的经验方差模型。 k s u 2 + b 2 k s_u^2+b^2 ksu2+b2 作为整体校准；二者不能被无条件解释为严格独立的两种物理方差 。留一法训练模型使用 n − 1 n-1 n−1 站、实际产品使用 n n n 站，也须在独立全站网测试中检查该迁移是否有效。若 k , b 2 k,b^2 k,b2 已包含产品时延，不再重复叠加相同时延方差；越出服务区、站网病态或质量异常，应提高方差或标记不可用。
#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct p{margin:0;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .label text,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .node rect,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .node circle,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .node ellipse,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .node polygon,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .rough-node .label text,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .node .label text,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .image-shape .label,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .rough-node .label,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .node .label,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .image-shape .label,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edgeLabel{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edgeLabel p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .labelBkg{background-color:rgba(232, 232, 232, 0.5);}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .flowchartTitleText{text-anchor:middle;font-size:18px;fill:#333;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct rect.text{fill:none;stroke-width:0;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .icon-shape,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .image-shape{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .icon-shape p,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .image-shape p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);padding:2px;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .icon-shape .label rect,#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .image-shape .label rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .label-icon{display:inline-block;height:1em;overflow:visible;vertical-align:-0.125em;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct .node .label-icon path{fill:currentColor;stroke:revert;stroke-width:revert;}#mermaid-svg-edt74pEGAwUd1sct :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 否
是
十系数拟合并计算 s²
逐站留一预测
统计预测残差和验证站噪声
分组校准 k 与 b²
独立站和跨日期验证
偏差与覆盖率合理吗
改进模型 分区或降级
实时输出用户标准差 q
终端使用约束方差 q²
6. 如何检验播发的精度因子可信
对独立验证集，设第 j j j 个样本的误差 e j = Z ^ j − Z j t r u t h e_j=\widehat Z_j-Z_j^{\mathrm{truth}} ej=Z j−Zjtruth（m），播发标准差为 q j q_j qj（m），样本数为 N v N_v Nv：
| 指标 | 公式 | 用途 |
|---|---|---|
| 平均偏差 | e ‾ = 1 N v ∑ j e j \overline e=\frac1{N_v}\sum_j e_j e=Nv1∑jej | 检查系统性高估或低估 |
| RMSE | 1 N v ∑ j e j 2 \sqrt{\frac1{N_v}\sum_j e_j^2} Nv1∑jej2 | 衡量总体预测误差 |
| 标准化误差 | ζ j = e j / q j \zeta_j=e_j/q_j ζj=ej/qj | 检查误差相对宣称标准差的大小 |
| 标准化误差均方 | 1 N v ∑ j ζ j 2 \frac1{N_v}\sum_j\zeta_j^2 Nv1∑jζj2 | 无偏、方差匹配且验证真值近似无误差时，应接近 1 |
| 约 95% 覆盖率 | $\frac1{N_v}\sum_j\mathbf1( | e_j |
其中： 1 ( ⋅ ) \mathbf1(\cdot) 1(⋅) 为指示函数（条件成立取 1，否则取 0）； ζ j \zeta_j ζj 无量纲； N v N_v Nv 为样本数。若"真值"站自身有不可忽略的 ZTD 估计误差，应以产品误差与验证误差之差的完整协方差归一化 ，不能只用 q j q_j qj。相邻历元不等于独立样本，覆盖率置信度应考虑时间相关性。
验证时至少区分站网内部/边缘/外推 、不同高程差与站点密度 、平稳天气/强天气变化 、不同产品时延，并开展相同观测条件下 PPP-RTK 的 A/B 对比：固定经验方差与动态精度因子，分别评估收敛速度、定位精度及模糊度误固定风险。
一个经统计校准的 1 σ 1\sigma 1σ 标准差不是完整性保证。若产品需要明确失效概率或完整性风险，还必须建立偏差上界、尾部分布和故障检测机制，不能把 q u q_u qu 直接当作保护级。
7. 服务端播发与用户端实现细节
7.1 服务端的最低实施要求
| 环节 | 实现要点 |
|---|---|
| ZTD 输入 | 同历元、同参考框架、单位统一；排除未收敛、粗差及不可靠固定结果；尽可能提供每站误差信息 |
| 几何检查 | 多于 10 站且满秩；优先足够冗余，计算病态指标与区域边界 |
| 数值求解 | BLH 归一化；QR/SVD；保存模型中心、尺度、系数和有效历元 |
| 产品精度 | 算理论传播方差；结合离站/独立站结果校准并监测质量异常 |
| 产品协议 | 明确产品是 ZTD 还是 ZWD、 q q q 的单位和统计含义、基准历元、有效期、服务区及状态标志 |
| 回退 | 外推、站数不足、矩阵病态、强天气异常或时延过大时保守增大方差或停止服务 |
若播发的是格网节点质量，用户端插值后的方差一般不能由节点标准差简单插值得到。对仅由节点误差线性组合而成的部分，有
Var ( ∑ j = 1 g w j ϵ j ) = w T C g w . \operatorname{Var}\!\left(\sum_{j=1}^{g} w_j\epsilon_j\right) =\mathbf w^{\mathsf T}\mathbf C_g\mathbf w. Var(j=1∑gwjϵj)=wTCgw.
其中： g g g 为参与插值的节点数； w j w_j wj 为插值权重； ϵ j \epsilon_j ϵj 为节点误差（m）； w \mathbf w w 为权重列向量； C g \mathbf C_g Cg 为节点误差协方差矩阵（m²）。最终用户产品还可能有格网节点之间的空间表示误差，须额外建模或校准，不能只传播节点噪声。
7.2 质量因子应该按什么空间粒度播发
一个区域模型不一定只对应一个精度数字。产品接口至少有三种选择：
| 播发方式 | 计算方式 | 代价与限制 |
|---|---|---|
| 区域统一 q r e g q_{\mathrm{reg}} qreg | 在整个有效服务区内对经验证的误差采用保守代表值 | 结构简单，但不能反映站网中心与边缘差异；必须在整个服务区验证 |
| 格网质量 q g q_g qg | 服务端给每个格网节点质量信息 | 更精细，但用户处格网插值及相关性需另行标定 |
| 位置相关 q u q_u qu | 按式（13）对用户坐标实时计算 | 信息更充分；若只广播十系数，须另行提供必要的质量模型参数/数据以便终端复现 |
其中： q r e g q_{\mathrm{reg}} qreg 为全区域标准差， q g q_g qg 为格网节点标准差， q u q_u qu 为用户位置标准差，单位均为 m。如果协议只允许播发一个精度因子，不能把站网中心得到的较小 q q q 默认代表整个服务区；应依据分区、外部验证和异常工况选择适用范围及保守取值。离开产品有效区域时，该数值不再有同等统计保证。
7.3 终端如何使用产品
- 终端估计 ZTD： R T = q u 2 R_T=q_u^2 RT=qu2；以 Z ^ u s r v \widehat Z_u^{\mathrm{srv}} Z usrv 作为该状态的伪观测。
- 终端估计 ZWD：先扣 ZHD 先验，再按第 2.2 节计算 R w , u R_{w,u} Rw,u。
- 由同一 ZWD 不确定度影响多颗卫星时，其斜路径误差具有相关性：
Cov ( Δ T s , Δ T t ) = m w ( e s ) m w ( e t ) R w , u . \operatorname{Cov}(\Delta T^s,\Delta T^t) =m_w(e^s)m_w(e^t)\,R_{w,u}. Cov(ΔTs,ΔTt)=mw(es)mw(et)Rw,u.
其中： Δ T s , Δ T t \Delta T^s,\Delta T^t ΔTs,ΔTt 是卫星 s , t s,t s,t 由公共湿延迟状态带来的斜路径误差（m）； m w ( e s ) , m w ( e t ) m_w(e^s),m_w(e^t) mw(es),mw(et) 是对应湿延迟映射函数。不要把公共 ZTD/ZWD 产品当作每颗卫星都独立的新约束；更合理的做法通常是对同一天顶状态施加一次约束。
如果连续滤波历元重复使用高度相关的同一产品，需处理时间相关性或采取经过验证的保守约束策略，否则滤波协方差可能虚假缩小。若用户端定位与服务端改正共享观测或其他信息，严格处理还应考虑二者的交叉协方差。
8. 数值示例
假设某用户位置经过历史校准，得到：理论参数传播标准差 s u = 4 s_u=4 su=4 mm，方差倍率 k = 1.5 k=1.5 k=1.5，附加标准差 b = 10 b=10 b=10 mm，新增时延标准差 σ a g e , u = 5 \sigma_{\mathrm{age},u}=5 σage,u=5 mm，且校准下限未起作用。
R p r o d , u = 1.5 × ( 0.004 ) 2 + ( 0.010 ) 2 + ( 0.005 ) 2 = 1.49 × 10 − 4 m 2 , q u = R p r o d , u ≈ 0.0122 m . \begin{aligned} R_{\mathrm{prod},u} &=1.5\times(0.004)^2+(0.010)^2+(0.005)^2\\ &=1.49\times10^{-4}\ \mathrm{m}^2,\\ q_u&=\sqrt{R_{\mathrm{prod},u}}\approx0.0122\ \mathrm m. \end{aligned} Rprod,uqu=1.5×(0.004)2+(0.010)2+(0.005)2=1.49×10−4 m2,=Rprod,u ≈0.0122 m.
其中： R p r o d , u R_{\mathrm{prod},u} Rprod,u 为产品约束方差， q u q_u qu 为标准差。因此服务端播发约 12.2 mm 的 ZTD 精度因子，终端使用约 1.49 × 10 − 4 1.49\times10^{-4} 1.49×10−4 m² 的 ZTD 约束方差。所有输入数字均为说明计算方法的假设值，不能据此认定实际 PPP-RTK 的通用产品精度。
9. 工程实现顺序
- 基线版本 ：十系数 WLS + QR/SVD + 站网几何检查；输出 Z ^ u \widehat Z_u Z u、 σ ^ 0 2 \widehat\sigma_0^2 σ 02 和 s u 2 s_u^2 su2。
- 质量监测：LOOCV + 独立站验证，记录预测残差、站点误差、位置、高程及天气场景。
- 方差校准 ：建立并独立检验 k , b 2 k,b^2 k,b2 与时效性模型；必要时分区、按天气或站网条件分类。
- 终端联调：核实 ZTD/ZWD 定义、单位、先验静力延迟、不重复计权与相关性处理。
- 业务验收：对比固定经验方差与动态精度因子的 PPP-RTK 收敛、定位精度和固定可靠性。
归纳 ：十系数最小二乘解决"产品值怎么算 "，系数协方差解决"模型参数估计有多稳 "，离站误差与独立验证解决"用户能给产品多大权重"。
10. 参考文献
1 Teunissen, P. J. G., & Khodabandeh, A. (2015). Review and principles of PPP-RTK methods . Journal of Geodesy , 89(3), 217--240. DOI: 10.1007/s00190-014-0771-3. PPP-RTK 观测模型与改正产品的基础理论。
2 Li, Y., Li, B., & Gao, Y. (2015). Improved PPP Ambiguity Resolution Considering the Stochastic Characteristics of Atmospheric Corrections from Regional Networks . Sensors , 15(12), 29893--29909. DOI: 10.3390/s151229772. 研究区域大气改正的随机特性及其对 PPP 模糊度固定的影响。
3 Wang, S., Li, B., Tu, R., Lu, X., & Zhang, Z. (2022). Uncertainty estimation of atmospheric corrections in large-scale reference networks for PPP-RTK . Measurement , 190, 110744. DOI: 10.1016/j.measurement.2022.110744. 区分误差传播与插值模型系统偏差，研究大气改正不确定度。
4 Huang, J., Li, X., Li, X., Han, J., Liang, D., & Zhang, W. (2025). Quality monitoring of grid-based atmospheric corrections in GNSS PPP-RTK service using leave-one-out cross-validation . Satellite Navigation , 6, Article 25. DOI: 10.1186/s43020-025-00178-5. 利用 LOOCV 进行格网大气改正质量监测，通过留站绝对误差、局部最大值与空间插值形成用户质量信息；不能未经统计校准就将其解释为 1 σ 1\sigma 1σ。
本文的十系数推导遵循一般线性最小二乘及随机误差传播原理。式（12）--（13）的 k , b 2 k,b^2 k,b2 校准是为区域 ZTD 产品提出的工程实现示例，不应误认为参考文献 4 的原式或行业统一标准。