PPP-AR 中的参考星选取：数学原理、评价指标与切换处理

适用对象：PPP-AR、PPP-RTK、多系统多频 GNSS 算法开发人员

本文主线：参考星的作用 → 数学基准 → 选择指标 → 工程阈值 → 切换变换 → 部分固定 → 性能评价

1. 结论

PPP-AR 中的参考星，通常是构造星间单差模糊度时选取的枢轴卫星。

它的主要作用是：

消除同一偏差组内的接收机公共相位偏差；
为秩亏相位模型选择模糊度基准；
构造可整数估计的星间单差模糊度；
便于宽巷、窄巷或其他整数模糊度固定。

参考星选择的基本原则是：

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先保证相位弧段和整数基准连续
再比较观测质量与模糊度精度
最后通过滞回策略减少无意义切换

需要先记住三个结论。

1.1 完整 ILS 下，参考星不改变理论信息量

当以下条件同时成立时：

使用完全相同的卫星和信号集合；
使用完整的独立星间单差集合；
正确传播完整协方差；
使用完整 ILS/LAMBDA 搜索；
不进行参考星相关的额外筛选；

不同参考星只是同一整数格的不同基底。

因此：

参考星不会凭空提高或降低完整模糊度模型的理论固定能力。

1.2 工程实现仍会受参考星影响

实际软件常使用：

宽巷逐星舍入；
部分模糊度固定；
对角协方差近似；
高度角排序；
有限搜索节点；
参考星切换时重置状态。

在这些近似条件下，参考星会影响：

固定率；
错误固定风险；
切换频率；
状态连续性；
数值稳定性。

1.3 参考星切换不可避免，但不一定重新收敛

当新旧参考星属于同一连续卫星集合时，可使用整数幺模变换同步转换：

浮点模糊度；
模糊度协方差；
与坐标、大气等状态的交叉协方差；
已固定的整数约束。

因此：

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正常参考星切换
≠
模糊度周跳
≠
重新初始化全部状态

如果切换同时伴随卫星升落、信号变化或产品基准变化，则还需要删除离开状态、初始化新弧段或转换产品基准。

2. 先区分三种"参考"

名称	含义
参考站	RTK 或网络解算中的地面基准站
参考星或枢轴星	构造星间单差时选中的卫星
产品基准	钟差、码偏差和相位偏差产品采用的基准

本文讨论的是第二种。

参考星不能替代：

精密轨道和钟差；
相位偏差产品；
整数候选搜索；
Ratio Test 或 FFRT；
周跳和粗差处理。

3. 所有 PPP-AR 都必须显式选择参考星吗

不一定。

3.1 通常需要显式参考星的模型

使用星间单差宽巷和窄巷模糊度；
使用 FCB/UPD 后固定星间单差模糊度；
DCM 中用参考星建立相位数据基准；
滤波器内部直接保存星间单差模糊度状态。

3.2 可以不长期绑定参考星的模型

使用一致的相位时钟、码偏差和相位 OSB 参数化；
使用整数钟或 IRC 等参数化；
滤波器保存每星信号级浮点模糊度，只在整数搜索时临时构造整数基底；
使用一般整数 S-basis，而不是固定星形基底。

这里的"不显式选参考星"不等于模型没有基准。

秩亏模型仍需通过：

相位钟或接收机偏差参数；
S-basis；
明确的基准约束；

保证模糊度函数可估且具有整数意义。

4. 参考星应在哪个范围内选择

参考星应在"接收机公共相位偏差相同的参数组"内选择。

分组通常与以下因素有关：

卫星系统；
信号或频率；
接收机硬件偏差参数化；
宽巷、窄巷等模糊度层级；
服务端钟差和相位偏差产品定义。

只有同一偏差组内的星间单差，才能直接消除对应的接收机公共偏差。

普通多系统 PPP-AR 通常分别管理：

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GPS参考星
Galileo参考星
BDS参考星
QZSS参考星

GLONASS FDMA 还涉及频间偏差和整数可估性，不能直接照搬 CDMA 星座策略。

跨系统差分只有在以下条件成立时才可使用：

信号频率兼容；
系统间相位偏差已准确标定；
产品基准一致；
跨系统整数可估性已经证明。

5. 参考星选取总体流程

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是
否
是
否
是
否
是
按系统信号和模糊度层建立候选集合
检查硬约束
健康产品信号和相位弧段有效吗
排除候选
计算高度角 C/N0 创新和模糊度方差
计算弧段共同观测和剩余可见时间
计算候选代价或综合得分
当前参考星仍满足保持条件吗
强制选择新参考星
新候选优势超过滞回门限吗
保持当前参考星
优势持续达到保持时间吗

第一部分：参考星的数学作用

6. 为什么需要模糊度基准

设同一偏差组中共有 m 颗卫星，浮点模糊度为：

n^= $N\^1N\^2⋯N\^m$ T\widehat{\mathbf n} = \begin{bmatrix} \widehat N^1 & \widehat N^2 & \cdots & \widehat N^m \end{bmatrix}^{\mathrm T}n = $N 1N 2\dotsN m$ T

在部分 PPP-AR 参数化中，可概念化为：

N^s=Ns+br−bs+εs\widehat N^s = N^s + b_r - b^s + \varepsilon^sN s=Ns+br−bs+εs

式中各项统一以周为单位：

N^s：卫星 s 的整数模糊度；
b_r：当前偏差组内的接收机公共相位偏差；
b^s：卫星相位偏差；
ε^s：浮点模糊度误差。

b_r 只在相同系统、信号和接收机偏差参数组内具有公共性，不能默认对全部星座和频率都相同。

对卫星 i 和参考星 p 作差：

N^i,p=N^i−N^p\widehat N^{i,p} = \widehat N^i - \widehat N^pN i,p=N i−N p

得到：

N^i,p=(Ni−Np)−(bi−bp)+(εi−εp)\boxed{ \widehat N^{i,p} = \left( N^i-N^p \right) - \left( b^i-b^p \right) + \left( \varepsilon^i-\varepsilon^p \right) }N i,p=(Ni−Np)−(bi−bp)+(εi−εp)

接收机公共偏差被消除。

应用与钟差、信号和偏差基准一致的卫星相位偏差后，星间单差模糊度可以恢复整数性。

只有可整数估计且偏差基准正确的模糊度函数，才能进行整数固定。

7. 星间单差矩阵

选择卫星 p 为参考星。

定义长度为 m 的单位向量：

ei\mathbf e_iei

其第 i 个元素为 1，其余为 0。

卫星 i 相对于参考星 p 的单差行向量为：

di,pT=eiT−epT\boxed{ \mathbf d_{i,p}^{\mathrm T} = \mathbf e_i^{\mathrm T} - \mathbf e_p^{\mathrm T} }di,pT=eiT−epT

将所有非参考卫星的行堆叠：

Dp= $d1,pT⋮dp-1,pTdp+1,pT⋮dm,pT$ \boxed{ \mathbf D_p = \begin{bmatrix} \mathbf d_{1,p}^{\mathrm T} \\ \vdots \\ \mathbf d_{p-1,p}^{\mathrm T} \\ \mathbf d_{p+1,p}^{\mathrm T} \\ \vdots \\ \mathbf d_{m,p}^{\mathrm T} \end{bmatrix} }Dp= d1,pT⋮dp−1,pTdp+1,pT⋮dm,pT

矩阵维数为：

Dp∈Z(m−1)×m\mathbf D_p \in \mathbb Z^{ \left( m-1 \right) \times m }Dp∈Z(m−1)×m

并满足：

Dp1m=0\boxed{ \mathbf D_p \mathbf1_m = \mathbf0 }Dp1m=0

其中：

1_m：长度为 m 的全 1 向量；
D_p：以卫星 p 为枢轴的差分矩阵。

星间单差浮点模糊度为：

a^p=Dpn^\boxed{ \widehat{\mathbf a}_p = \mathbf D_p \widehat{\mathbf n} }a p=Dpn

其协方差为：

Qapap=DpQnnDpT\boxed{ \mathbf Q_{a_pa_p} = \mathbf D_p \mathbf Q_{nn} \mathbf D_p^{\mathrm T} }Qapap=DpQnnDpT

8. 单差方差和相关性

单差模糊度为：

api=Ni−Npa_p^i = N^i-N^papi=Ni−Np

其方差为：

Var⁡(api)=qii+qpp−2qip\boxed{ \operatorname{Var} \left( a_p^i \right) = q_{ii} + q_{pp} - 2q_{ip} }Var(api)=qii+qpp−2qip

两个单差的协方差为：

Cov⁡(api,apj)=qij−qip−qpj+qpp\boxed{ \operatorname{Cov} \left( a_p^i, a_p^j \right) = q_{ij} - q_{ip} - q_{pj} + q_{pp} }Cov(api,apj)=qij−qip−qpj+qpp

式中：

q_ii：卫星 i 非差模糊度方差；
q_pp：参考星模糊度方差；
q_ip：卫星 i 与参考星的协方差；
q_ij：卫星 i 和 j 的协方差。

即使非差模糊度相互独立：

qij=qip=qpj=0q_{ij} = q_{ip} = q_{pj} = 0qij=qip=qpj=0

不同单差之间仍有：

Cov⁡(api,apj)=qpp\boxed{ \operatorname{Cov} \left( a_p^i, a_p^j \right) = q_{pp} }Cov(api,apj)=qpp

所以参考星误差会成为全部单差的公共误差源。

星间单差通常高度相关，不能简单按独立观测处理。

9. 参考星质量代价

可以定义加权平均单差方差：

Jvar(p)=∑i≠pwi(qii+qpp−2qip)∑i≠pwi\boxed{ J_{\mathrm{var}} \left( p \right) = \frac{ \displaystyle \sum_{ i\ne p } w_i \left( q_{ii} + q_{pp} - 2q_{ip} \right) }{ \displaystyle \sum_{ i\ne p } w_i } }Jvar(p)=i=p∑wii=p∑wi(qii+qpp−2qip)

其中：

w_i：非参考卫星的重要性权重；
J_var(p)：以卫星 p 为参考时的平均单差方差。

也可定义最大单差方差：

Jmax⁡(p)=max⁡i≠p(qii+qpp−2qip)\boxed{ J_{\max} \left( p \right) = \max_{ i\ne p } \left( q_{ii} + q_{pp} - 2q_{ip} \right) }Jmax(p)=i=pmax(qii+qpp−2qip)

常用选择为：

p=arg⁡min⁡s∈CJvar(s)\boxed{ p = \arg\min_{ s\in\mathcal C } J_{\mathrm{var}} \left( s \right) }p=args∈CminJvar(s)

或者：

p=arg⁡min⁡s∈CJmax⁡(s)\boxed{ p = \arg\min_{ s\in\mathcal C } J_{\max} \left( s \right) }p=args∈CminJmax(s)

该类指标主要适用于：

宽巷逐星舍入；
单个单差独立判断；
部分模糊度固定；
使用对角协方差近似的实现。

10. 完整单差集合的参考星不变性

参考星由 p 切换为 q。

两组独立单差之间存在：

a^q=Tq←pa^p\boxed{ \widehat{\mathbf a}q = \mathbf T{q\leftarrow p} \widehat{\mathbf a}_p }a q=Tq←pa p

并且：

Dq=Tq←pDp\boxed{ \mathbf D_q = \mathbf T_{q\leftarrow p} \mathbf D_p }Dq=Tq←pDp

其中：

Tq←p∈Z(m−1)×(m−1)\mathbf T_{q\leftarrow p} \in \mathbb Z^{ \left( m-1 \right) \times \left( m-1 \right) }Tq←p∈Z(m−1)×(m−1)

为整数幺模矩阵，满足：

∣det⁡(Tq←p)∣=1\boxed{ \left\vert{} \det \left( \mathbf T_{q\leftarrow p} \right) \right\vert{} = 1 }∣det(Tq←p)∣=1

协方差变换为：

Qaqaq=Tq←pQapapTq←pT\boxed{ \mathbf Q_{a_qa_q} = \mathbf T_{q\leftarrow p} \mathbf Q_{a_pa_p} \mathbf T_{q\leftarrow p}^{\mathrm T} }Qaqaq=Tq←pQapapTq←pT

因此：

∣Qaqaq∣=∣Qapap∣\boxed{ \left\vert{} \mathbf Q_{a_qa_q} \right\vert{} = \left\vert{} \mathbf Q_{a_pa_p} \right\vert{} } Qaqaq = Qapap

模糊度精度因子为：

ADOP⁡p=∣Qapap∣12(m−1)\boxed{ \operatorname{ADOP}p = \left\vert{} \mathbf Q{a_pa_p} \right\vert{}^{ \frac{ 1 }{ 2 \left( m-1 \right) } } }ADOPp= Qapap 2(m−1)1

所以：

ADOP⁡q=ADOP⁡p\boxed{ \operatorname{ADOP}_q = \operatorname{ADOP}_p }ADOPq=ADOPp

进一步设整数候选满足：

zq=Tq←pzp\mathbf z_q = \mathbf T_{q\leftarrow p} \mathbf z_pzq=Tq←pzp

旧基准下的 ILS 距离为：

Jp(zp)=(a^p−zp)TQapap−1(a^p−zp)J_p \left( \mathbf z_p \right) = \left( \widehat{\mathbf a}p-\mathbf z_p \right)^{\mathrm T} \mathbf Q{a_pa_p}^{-1} \left( \widehat{\mathbf a}_p-\mathbf z_p \right)Jp(zp)=(a p−zp)TQapap−1(a p−zp)

由于：

Qaqaq−1=Tq←p−TQapap−1Tq←p−1\mathbf Q_{a_qa_q}^{-1} = \mathbf T_{q\leftarrow p}^{-\mathrm T} \mathbf Q_{a_pa_p}^{-1} \mathbf T_{q\leftarrow p}^{-1}Qaqaq−1=Tq←p−TQapap−1Tq←p−1

所以：

Jq(zq)=Jp(zp)\boxed{ J_q \left( \mathbf z_q \right) = J_p \left( \mathbf z_p \right) }Jq(zq)=Jp(zp)

由此可得：

完整 ILS 解不变；
最佳和次优候选距离不变；
ILS 成功率不变；
Ratio Test 统计量不变；
在相同模型强度定义下，FFRT 结论不变。

因此，不能使用完整单差集合的 ADOP、Ratio 或 ILS 成功率直接挑选参考星。

若纯参考星变换后这些指标明显改变，应检查：

协方差传播；
卫星或固定子集是否改变；
候选搜索是否完整；
数值实现是否正确。

11. 图论视角：参考星只是星形树的中心

将每颗卫星看作一个节点，将一个星间单差看作一条边。

m 颗卫星的独立模糊度差只需要：

m−1m-1m−1

条边。

只要这些边构成一棵连通生成树，就形成一组独立整数基底。

以一颗参考星连接全部卫星，是星形生成树；
顺次连接卫星，是链式生成树；
其他连通生成树也可以作为整数基底。

因此：

选择一颗参考星是常用实现方式，但不是唯一数学形式。

对于完整差分集合，只要剩余连续卫星的关系图仍连通，就可以更换生成树并保留公共子空间中的整数信息。

若只固定了部分边，能否保留整数约束还要检查固定约束的秩，不能只看卫星是否可见。

12. 为什么实际结果仍受参考星影响

实际结果受参考星影响，通常是因为：

只使用部分单差；
宽巷采用逐星舍入；
协方差近似为对角阵；
参考星误差被复制到所有单差；
切换时没有变换交叉协方差；
参考星周跳导致所有单差共同跳变；
搜索或固定子集随参考星变化；
切换后重新初始化全部模糊度。

所以工程重点不是寻找理论上唯一的最佳卫星，而是：

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选择稳定可靠的整数基准
+
正确处理基准切换

第二部分：参考星选择指标

13. 先硬筛选，再软排序

13.1 所有候选的硬约束

候选参考星必须满足：

卫星健康；
所需信号完整；
相位弧段连续；
无周跳、失锁和不兼容半周状态；
轨道、钟差和相位偏差有效；
产品基准兼容；
当前历元可参与对应模糊度层的 PPP-AR。

高度角门限应区分新候选和当前参考星：

text 复制代码

新候选
→ 必须高于进入门限

当前参考星
→ 未低于退出门限时可继续保持

通常设置：

Ein>Eout\boxed{ E_{\mathrm{in}} > E_{\mathrm{out}} }Ein>Eout

其中：

E_in：参考星进入门限；
E_out：参考星退出门限。

13.2 软指标

通过硬约束后，再比较：

高度角；
C/N₀；
模糊度方差和协方差；
标准化相位创新；
已连续跟踪时间；
预测剩余可见时间；
与其他卫星的共同弧段；
多路径和 NLOS 风险；
切换代价。

14. 高度角与运行趋势

最简单策略是：

p=arg⁡max⁡s∈CEs\boxed{ p = \arg\max_{ s\in\mathcal C } E_s }p=args∈CmaxEs

其中：

C：候选集合；
E_s：卫星 s 的高度角。

高度角高通常意味着观测质量较好，但还应区分：

升起卫星；
接近最高点的卫星；
正在下降的卫星。

可使用高度角变化率：

E˙s=Es,k−Es,k−1Δtk\boxed{ \dot E_s = \frac{ E_{s,k}-E_{s,k-1} }{ \Delta t_k } }E˙s=ΔtkEs,k−Es,k−1

其中：

Δt_k：历元间隔；
Ė_s：高度角变化率。

在高度角相近时，正在升起且剩余可见时间更长的卫星通常更适合作为新参考星。

15. C/N₀、残差与相位创新

标准化相位创新为：

us=νL,sSL,s\boxed{ u_s = \frac{ \nu_{L,s} }{ \sqrt{ S_{L,s} } } }us=SL,s νL,s

其中：

ν_L,s：候选卫星相位创新；
S_L,s：相位创新方差；
u_s：标准化创新。

可以定义创新评分：

gu(s)=exp⁡(−us22)\boxed{ g_u \left( s \right) = \exp \left( -\frac{ u_s^2 }{ 2 } \right) }gu(s)=exp(−2us2)

C/N₀ 与高度角、天线方向图和信号类型有关，更合理的指标是相对于期望模型的残差：

ΔCs=Cs−C^type(Es,As)\boxed{ \Delta C_s = C_s - \widehat C_{\mathrm{type}} \left( E_s, A_s \right) }ΔCs=Cs−C type(Es,As)

其中：

C_s：候选卫星 C/N₀；
E_s：高度角；
A_s：方位角；
Ĉ_type(E_s,A_s)：针对设备和信号建立的期望 C/N₀；
ΔC_s：信号强度残差。

没有经验模型时，可在相同系统、相同信号和相近高度角的候选中使用中位数作为近似基准。

高 C/N₀ 不代表一定没有多路径，因此还应结合：

相位创新；
码多路径指标；
方位角遮挡图；
NLOS 风险；
卫星姿态。

16. 已跟踪时间、共同弧段和剩余可见时间

定义候选卫星当前连续弧段长度：

Tarc,sT_{\mathrm{arc},s}Tarc,s

定义预测剩余可见时间：

Trem,sT_{\mathrm{rem},s}Trem,s

定义参考星 p 与卫星 i 的共同连续弧段：

Tcomi,pT_{\mathrm{com}}^{i,p}Tcomi,p

可构造饱和评分：

garc(s)=1−exp⁡(−Tarc,sT0)\boxed{ g_{\mathrm{arc}} \left( s \right) = 1 - \exp \left( -\frac{ T_{\mathrm{arc},s} }{ T_0 } \right) }garc(s)=1−exp(−T0Tarc,s)

grem(s)=1−exp⁡(−Trem,sR0)\boxed{ g_{\mathrm{rem}} \left( s \right) = 1 - \exp \left( -\frac{ T_{\mathrm{rem},s} }{ R_0 } \right) }grem(s)=1−exp(−R0Trem,s)

其中：

T₀：弧段成熟时间尺度；
R₀：剩余可见时间尺度。

共同弧段评分可写为：

Jcom(p)=∑i≠pwiTcomi,p∑i≠pwi\boxed{ J_{\mathrm{com}} \left( p \right) = \frac{ \displaystyle \sum_{ i\ne p } w_i T_{\mathrm{com}}^{i,p} }{ \displaystyle \sum_{ i\ne p } w_i } }Jcom(p)=i=p∑wii=p∑wiTcomi,p

"参考星出现时间越长越好"应拆成三个问题：

当前弧段是否已经稳定；
与其他卫星是否长期共同可见；
未来还能保持多长时间。

在稳态运行阶段，剩余可见时间往往比已经过去的弧段长度更能反映未来切换风险。

共同弧段的重要性还取决于软件结构：

若直接平滑星间单差 MW 或单差模糊度，共同弧段十分重要；
若滤波器保存每星独立弧段，参考星切换时可重新构造单差，此时更应关注各卫星自身弧段连续性。

17. 产品与整数基准连续性

参考星必须具有连续、兼容的：

轨道和钟差；
码偏差；
相位偏差；
Signal Integer Indicator；
Wide-Lane Integer Indicator；
Signal Discontinuity Counter；
Provider ID 和 Solution ID。

以下变化本身不一定等于整数基准跳变：

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IOD变化
偏差数值变化
产品版本变化

应判断：

新旧产品是否兼容；
不连续计数器是否变化；
信号整数属性是否保持；
是否存在可验证的产品基准转换。

Provider ID、Solution ID 或产品源变化时，应默认视为潜在不兼容事件。

除非存在已知转换关系或通过独立连续性检验，否则不应直接继承旧固定整数。

18. 宽巷和窄巷是否必须使用同一参考星

不一定。

宽巷参考星更关注：

C/N₀；
码噪声；
码多路径；
MW 平滑弧段；
宽巷偏差连续性。

窄巷参考星更关注：

相位浮点协方差；
相位创新；
大气残差；
窄巷偏差连续性；
整数验证性能。

若宽巷参考星为 p_W，窄巷参考星为 p_N：

aW=DpWNW\mathbf a_W = \mathbf D_{p_W} \mathbf N_WaW=DpWNW

aN=DpNNN\mathbf a_N = \mathbf D_{p_N} \mathbf N_NaN=DpNNN

其中：

N_W：非差宽巷整数向量；
N_N：非差窄巷整数向量；
D_pW、D_pN：各自差分矩阵。

级联固定时，必须把宽巷固定约束正确映射到窄巷参数化，不能仅按相同卫星编号直接拼接整数结果。

工程上常使用同一参考星，以降低基准转换和调试复杂度。

19. 综合评分和分层决策

候选综合评分可写为：

Ss=wEgE+wQgQ+wCgC+wugu+wAgarc+wRgrem+wGgcom−wswIs\boxed{ S_s = w_Eg_E + w_Qg_Q + w_Cg_C + w_ug_u + w_Ag_{\mathrm{arc}} + w_Rg_{\mathrm{rem}} + w_Gg_{\mathrm{com}} - w_{\mathrm{sw}}I_s }Ss=wEgE+wQgQ+wCgC+wugu+wAgarc+wRgrem+wGgcom−wswIs

其中：

g_E：高度角及趋势评分；
g_Q：协方差评分；
g_C：C/N₀ 评分；
g_u：创新评分；
g_arc：当前弧段评分；
g_rem：剩余可见时间评分；
g_com：共同弧段评分；
I_s：切换惩罚；
w_*：评分权重。

切换惩罚为：

Is={0,s=pk−11,s≠pk−1\boxed{ I_s = \begin{cases} 0, & s=p_{k-1} \\ 1, & s\ne p_{k-1} \end{cases} }Is={0,1,s=pk−1s=pk−1

选择结果为：

pk=arg⁡max⁡s∈CkSs\boxed{ p_k = \arg\max_{ s\in\mathcal C_k } S_s }pk=args∈CkmaxSs

评分前应将指标归一化到相近尺度。

相比任意加权求和，更稳健的优先级是：

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硬约束
→ 整数基准连续性
→ 剩余可见时间
→ 观测和模糊度质量
→ 切换代价

第三部分：工程策略和阈值

20. 推荐策略：保持优先、滞回切换

只要当前参考星仍满足：

相位连续；
产品基准兼容；
高度角未低于退出门限；
创新没有持续异常；
剩余可见时间仍可接受；

通常不应仅因为另一颗卫星高度角略高就立即切换。

建议同时使用：

进入门限；
退出门限；
最小驻留时间；
新候选优势门限；
优势持续时间。

21. 可用于初始调参的阈值

以下数值仅用于工程初始测试，不是统一 GNSS 标准。

指标	可试用初值	使用说明
进入候选高度角	`15°～20°`	新参考星候选门限
强制退出高度角	`10°～15°`	应低于进入门限
新弧段最低持续时间	`60～180 s`	最终应结合协方差判断
稳态优选弧段	`≥300 s`	仅为加分项
最低剩余可见时间	`300～600 s`	开阔环境初值
标准化相位创新	优选 `	u
C/N₀ 残差	不建议低于期望值超过 `3～6 dB-Hz`	需按设备和信号标定
新候选评分优势	`10%～20%`	防止小幅优势触发切换
优势保持时间	`30～60 s`	动态环境可缩短
最小参考星驻留时间	`60～120 s`	强制失效除外

比固定时间阈值更可靠的条件包括：

单差模糊度方差；
ILS 成功率；
Ratio Test 或 FFRT；
相位创新；
产品连续性。

22. 什么时候必须立即切换

以下情况应强制停用当前参考星：

周跳或失锁；
不兼容半周状态；
观测中断；
卫星健康或姿态异常；
相位偏差发生不兼容不连续；
所需信号或产品缺失；
高度角低于退出门限；
相位创新持续严重超限；
当前参考星不再满足对应宽巷或窄巷固定条件。

23. 主动预防性切换

参考星切换不可避免，因此应尽量在旧参考星完全失效前主动切换。

主动切换适合：

当前参考星即将落下；
即将进入遮挡区；
剩余可见时间明显不足；
新参考星已具有稳定弧段；
产品切换窗口可以提前预测。

主动切换的优势：

新旧参考星同时有效；
可无损转换整数基准；
更容易保持固定解；
避免被迫重置。

第四部分：参考星切换的矩阵处理

24. 新旧参考星的基本关系

旧参考星为 p，新参考星为 q。

旧单差：

api=Ni−Npa_p^i = N^i-N^papi=Ni−Np

新单差：

aqi=Ni−Nqa_q^i = N^i-N^qaqi=Ni−Nq

对于：

i≠p,qi\ne p,qi=p,q

有：

aqi=api−apq\boxed{ a_q^i = a_p^i - a_p^q }aqi=api−apq

旧参考星相对于新参考星：

aqp=−apq\boxed{ a_q^p = -a_p^q }aqp=−apq

25. 四颗卫星的切换示例

共有四颗卫星，旧参考星为卫星 1：

a1= $N2-N1N3-N1N4-N1$ \mathbf a_1 = \begin{bmatrix} N^2-N^1 \\ N^3-N^1 \\ N^4-N^1 \end{bmatrix}a1= N2−N1N3−N1N4−N1

切换到卫星 3：

a3= $N1-N3N2-N3N4-N3$ \mathbf a_3 = \begin{bmatrix} N^1-N^3 \\ N^2-N^3 \\ N^4-N^3 \end{bmatrix}a3= N1−N3N2−N3N4−N3

则：

a3=T3←1a1\boxed{ \mathbf a_3 = \mathbf T_{3\leftarrow1} \mathbf a_1 }a3=T3←1a1

其中：

T3←1= $0-101-100-11$ \boxed{ \mathbf T_{3\leftarrow1} = \begin{bmatrix} 0&-1&0 \\ 1&-1&0 \\ 0&-1&1 \end{bmatrix} }T3←1= 010−1−1−1001

其行列式为：

det⁡(T3←1)=1\boxed{ \det \left( \mathbf T_{3\leftarrow1} \right) = 1 }det(T3←1)=1

所以该变换保持整数性并且可逆。

26. 状态和协方差同步变换

设旧状态为：

xp= $xrap$ \mathbf x_p = \begin{bmatrix} \mathbf x_r \\ \mathbf a_p \end{bmatrix}xp= $xrap$

其中：

x_r：参考星无关的坐标、钟差和大气状态；
a_p：旧参考星下的单差模糊度。

若只有模糊度坐标发生变化，定义：

G= $I00Tq\leftarrowp$ \boxed{ \mathbf G = \begin{bmatrix} \mathbf I&\mathbf0 \\ \mathbf0&\mathbf T_{q\leftarrow p} \end{bmatrix} }G= $I00Tq\leftarrowp$

新状态为：

xq=Gxp\boxed{ \mathbf x_q = \mathbf G \mathbf x_p }xq=Gxp

新协方差为：

Pq=GPpGT\boxed{ \mathbf P_q = \mathbf G \mathbf P_p \mathbf G^{\mathrm T} }Pq=GPpGT

实数状态与模糊度的交叉协方差变为：

Qra,q=Qra,pTq←pT\boxed{ \mathbf Q_{ra,q} = \mathbf Q_{ra,p} \mathbf T_{q\leftarrow p}^{\mathrm T} }Qra,q=Qra,pTq←pT

若参数化中还包含与参考星绑定的：

相位数据钟；
接收机相位偏差；
基准卫星偏差状态；

则应构造完整状态变换：

xq=Gfullxp\boxed{ \mathbf x_q = \mathbf G_{\mathrm{full}} \mathbf x_p }xq=Gfullxp

Pq=GfullPpGfullT\boxed{ \mathbf P_q = \mathbf G_{\mathrm{full}} \mathbf P_p \mathbf G_{\mathrm{full}}^{\mathrm T} }Pq=GfullPpGfullT

其中：

G_full：包含所有参考相关参数的完整变换矩阵。

不能默认所有 PPP-AR 参数化都适用简单块对角变换。

27. 全部固定时的整数转换

若旧基准下已经固定：

aˇp∈Zm−1\check{\mathbf a}_p \in \mathbb Z^{m-1}aˇp∈Zm−1

则新基准下：

aˇq=Tq←paˇp\boxed{ \check{\mathbf a}q = \mathbf T{q\leftarrow p} \check{\mathbf a}_p }aˇq=Tq←paˇp

由于 T 为整数幺模矩阵：

aˇq∈Zm−1\check{\mathbf a}_q \in \mathbb Z^{m-1}aˇq∈Zm−1

在卫星集合不变且完整固定时，可以直接转换整数，不必重新执行完整整数搜索。

28. 部分固定时不能简单照搬卫星编号

设旧参考星下固定的是一般整数约束：

Fpap=zˇ\boxed{ \mathbf F_p \mathbf a_p = \check{\mathbf z} }Fpap=zˇ

其中：

F_p：满行秩整数约束矩阵；
z_check：已固定整数向量。

因为：

ap=Tq←p−1aq\mathbf a_p = \mathbf T_{q\leftarrow p}^{-1} \mathbf a_qap=Tq←p−1aq

切换后：

Fqaq=zˇ\boxed{ \mathbf F_q \mathbf a_q = \check{\mathbf z} }Fqaq=zˇ

其中：

Fq=FpTq←p−1\boxed{ \mathbf F_q = \mathbf F_p \mathbf T_{q\leftarrow p}^{-1} }Fq=FpTq←p−1

由于 T 为整数幺模矩阵：

Tq←p−1∈Z(m−1)×(m−1)\mathbf T_{q\leftarrow p}^{-1} \in \mathbb Z^{ \left( m-1 \right) \times \left( m-1 \right) }Tq←p−1∈Z(m−1)×(m−1)

所以 F_q 仍是整数矩阵。

需要注意：

旧基准下固定的若干坐标，切换后可能变成多个新单差的线性整数组合，而不再是简单坐标子集。

如果软件只支持"固定模糊度向量中的若干元素"，则切换后可能无法无损保留原部分固定约束。

可选处理：

保存一般线性整数约束；
将约束映射到参考星无关的状态空间；
重新执行部分模糊度选择和整数验证。

29. 一般整数约束的条件更新

设实数状态和待固定模糊度为：

x^\widehat{\mathbf x}x

a^\widehat{\mathbf a}a

其协方差分块为：

QxxQxaQaxQaa\]\\begin{bmatrix} \\mathbf Q_{xx} \& \\mathbf Q_{xa} \\\\ \\mathbf Q_{ax} \& \\mathbf Q_{aa} \\end{bmatrix}\[QxxQaxQxaQaa

给定满行秩整数约束：

Fa=zˇ\mathbf F \mathbf a = \check{\mathbf z}Fa=zˇ

其中：

F：整数约束矩阵；
z_check：已验证并接受的整数约束值。

条件固定解为：

xˇ=x^−QxaFT(FQaaFT)−1(Fa^−zˇ)\boxed{ \check{\mathbf x} = \widehat{\mathbf x} - \mathbf Q_{xa} \mathbf F^{\mathrm T} \left( \mathbf F \mathbf Q_{aa} \mathbf F^{\mathrm T} \right)^{-1} \left( \mathbf F \widehat{\mathbf a} - \check{\mathbf z} \right) }xˇ=x −QxaFT(FQaaFT)−1(Fa −zˇ)

固定后协方差为：

Qxˇxˇ=Qxx−QxaFT(FQaaFT)−1FQax\boxed{ \mathbf Q_{\check x\check x} = \mathbf Q_{xx} - \mathbf Q_{xa} \mathbf F^{\mathrm T} \left( \mathbf F \mathbf Q_{aa} \mathbf F^{\mathrm T} \right)^{-1} \mathbf F \mathbf Q_{ax} }Qxˇxˇ=Qxx−QxaFT(FQaaFT)−1FQax

该形式可以统一处理：

完整固定；
部分固定；
参考星切换后的线性整数约束。

30. 参考星发生周跳时怎样处理

假设历元 k-1 中，卫星 p 是参考星。

历元 k 中：

卫星 p 发生周跳；
卫星 q 和其他卫星保持连续。

推荐流程：

使用历元 k-1 的旧状态，把整数基准转换到卫星 q；
保留所有未发生周跳卫星的连续模糊度；
在历元 k 只为卫星 p 建立新弧段；
使用新的参考星继续解算。

这样可以避免：

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参考星周跳
→ 错误重置全部单差模糊度

前提是新参考星 q 已存在于旧连续卫星集合中。

31. 卫星集合变化不是纯参考星切换

设旧卫星集合和新卫星集合分别为：

S−\mathcal S^{-}S−

S+\mathcal S^{+}S+

公共连续集合为：

C=S−∩S+\boxed{ \mathcal C = \mathcal S^{-} \cap \mathcal S^{+} }C=S−∩S+

若新参考星 q 属于公共集合，可先把旧基准变换到 q，再用选择矩阵：

RC\mathbf R_{\mathcal C}RC

保留公共卫星对应的模糊度：

aC,q=RCTq←pap\boxed{ \mathbf a_{\mathcal C,q} = \mathbf R_{\mathcal C} \mathbf T_{q\leftarrow p} \mathbf a_p }aC,q=RCTq←pap

协方差为：

QC,q=RCTq←pQapapTq←pTRCT\boxed{ \mathbf Q_{\mathcal C,q} = \mathbf R_{\mathcal C} \mathbf T_{q\leftarrow p} \mathbf Q_{a_pa_p} \mathbf T_{q\leftarrow p}^{\mathrm T} \mathbf R_{\mathcal C}^{\mathrm T} }QC,q=RCTq←pQapapTq←pTRCT

其中：

R_C：删除离开卫星对应分量的选择矩阵。

此时：

RCTq←p\mathbf R_{\mathcal C} \mathbf T_{q\leftarrow p}RCTq←p

通常是长方矩阵，不再是幺模方阵，因为模糊度维数已经变化。

处理规则：

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参考星离开
→ 先切换到仍连续的新参考星
→ 再删除离开卫星状态

新卫星升起
→ 建立新相位弧段
→ 初始化新模糊度
→ 不能从旧整数基底凭空推算

32. 什么时候不能无损转换

以下情况不能直接保留完整整数状态：

新参考星不在旧连续集合中；
新参考星也发生周跳；
新旧参考星没有共同连续弧段；
信号或频率组发生变化；
相位偏差产品基准不兼容；
固定子集在新基底下无法被软件表达；
卫星集合变化导致整数约束秩改变。

处理原则：

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能转换的状态继续保留
不能转换的模糊度单独重置
必要时退回部分固定或浮点解

33. 推荐的软件结构：状态层与参考星解耦

更稳健的架构是：

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滤波器
→ 在既定S-basis或相位钟基准下
   保存每星 每信号的参考星无关浮点模糊度和弧段状态

整数固定模块
→ 临时构造星间单差矩阵
→ 选择参考星或其他生成树
→ 执行LAMBDA PAR和整数验证

优点：

参考星切换不直接改变滤波状态；
单颗卫星周跳只重置该卫星；
可灵活更换整数基底；
更容易处理部分固定；
更容易保存一般线性整数约束。

如果所用 DCM 或其他参数化要求参考星建立相位数据基准，则仍需严格执行完整状态变换。

第五部分：如何评价参考星和切换事件

34. 什么叫"最佳参考星"

"最佳"取决于算法目标。

34.1 最稳定参考星

重点最大化：

Trem,sT_{\mathrm{rem},s}Trem,s

或共同弧段，以减少被迫切换。

34.2 最精密参考星

重点最小化：

Jvar(s)J_{\mathrm{var}} \left( s \right)Jvar(s)

以改善单差模糊度质量。

34.3 最可靠参考星

重点考虑：

周跳风险；
创新；
产品连续性；
多路径和 NLOS；
卫星姿态。

34.4 综合最优参考星

通过硬约束、分层优先级和综合评分选择。

不存在脱离 PPP-AR 参数化和固定策略的唯一最佳参考星。

35. 参考星切换事件分类

35.1 正常基准切换

新旧参考星均连续；
状态和整数可精确转换；
固定解保持；
坐标不发生明显跳变。

35.2 主动预防性切换

当前参考星即将不可用；
在共同可见阶段提前切换；
目的是避免被迫重置。

35.3 被迫切换

周跳；
失锁；
产品失效；
卫星健康或姿态异常。

35.4 破坏性切换

无法保留原整数约束；
多个模糊度被重置；
固定解丢失；
发生重新收敛。

36. 切换一致性指标

36.1 纯基准变换误差

若软件同时独立构造了新基准状态和理论变换结果，可定义：

εbasis=a^qdirect−Tq←pa^p\boxed{ \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{basis}} = \widehat{\mathbf a}q^{\mathrm{direct}} - \mathbf T{q\leftarrow p} \widehat{\mathbf a}_p }εbasis=a qdirect−Tq←pa p

其中：

a_q_direct：独立构造的新基准状态；
T a_p：由旧状态变换得到的结果。

理想情况下：

εbasis≈0\boldsymbol{\varepsilon}_{\mathrm{basis}} \approx \mathbf0εbasis≈0

若新状态本身就是由矩阵变换生成，该指标恒为零，不能作为独立质量检验。

36.2 协方差变换误差

εQ=∥Qaqaqdirect−Tq←pQapapTq←pT∥F∥Qaqaqdirect∥F\boxed{ \varepsilon_Q = \frac{ \left\| \mathbf Q_{a_qa_q}^{\mathrm{direct}} - \mathbf T_{q\leftarrow p} \mathbf Q_{a_pa_p} \mathbf T_{q\leftarrow p}^{\mathrm T} \right\|{\mathrm F} }{ \left\| \mathbf Q{a_qa_q}^{\mathrm{direct}} \right\|_{\mathrm F} } }εQ= Qaqaqdirect F Qaqaqdirect−Tq←pQapapTq←pT F

其中：

||·||_F：Frobenius 范数。

36.3 坐标跳变

纯基准变换不会改变实数位置状态。

坐标跳变检验适用于：

切换后进行了新的量测更新；
新旧基准分别独立重建；
卫星集合或产品同时变化。

将两个位置结果传播到同一时刻：

Δrsw=r^after−r^before\boldsymbol{\Delta r}{\mathrm{sw}} = \widehat{\mathbf r}{\mathrm{after}} - \widehat{\mathbf r}_{\mathrm{before}}Δrsw=r after−r before

其协方差为：

QΔr=Qafter+Qbefore−Cafter,before−Cafter,beforeT\boxed{ \mathbf Q_{\Delta r} = \mathbf Q_{\mathrm{after}} + \mathbf Q_{\mathrm{before}} - \mathbf C_{\mathrm{after,before}} - \mathbf C_{\mathrm{after,before}}^{\mathrm T} }QΔr=Qafter+Qbefore−Cafter,before−Cafter,beforeT

其中：

C_after,before：切换前后位置估计的互协方差。

归一化统计量为：

Tsw=ΔrswTQΔr−1Δrsw\boxed{ T_{\mathrm{sw}} = \boldsymbol{\Delta r}{\mathrm{sw}}^{\mathrm T} \mathbf Q{\Delta r}^{-1} \boldsymbol{\Delta r}_{\mathrm{sw}} }Tsw=ΔrswTQΔr−1Δrsw

若无法获得互协方差，应使用长期样本、经验阈值或独立传感器评价，不能把相邻历元简单视为独立。

37. 建议监控的指标

37.1 参考星本身

平均高度角；
高度角变化率；
平均 C/N₀ 残差；
相位创新 RMS；
码多路径指标；
弧段长度；
剩余可见时间预测误差；
产品连续性。

37.2 切换事件

每小时切换次数；
平均驻留时间；
主动切换比例；
被迫切换比例；
无损转换比例；
破坏性切换比例；
切换后固定解保持率；
切换后重新固定时间；
切换前后坐标跳变。

37.3 整数固定性能

宽巷固定率；
窄巷固定率；
Ratio 或 FFRT 通过率；
PAR 子集大小；
错误固定和固定释放次数；
参考星周跳导致的状态重置数。

理想目标不是永不切换，而是：

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少做无意义切换
提前处理可预测切换
被迫切换时尽量保留状态
切换后保持整数和坐标连续

38. 参考星策略怎样做实验评价

建议比较：

每历元选择最高高度角；
最高高度角加滞回；
最小平均单差方差；
最长剩余可见时间；
硬门限加综合评分；
保存参考星无关状态、临时构造整数基底。

控制变量：

相同观测数据；
相同产品；
相同随机模型；
相同整数验证阈值；
相同卫星和信号集合。

若采用完整 ILS、完整协方差和完全相同的卫星集合，各纯参考星策略理论上应给出等价整数结果。

实验差异主要用于暴露：

逐星舍入或 PAR 的近似影响；
参考星质量和切换实现；
协方差近似；
数值和状态管理问题。

评价指标：

首次固定时间；
固定率；
错误固定率；
平均参考星驻留时间；
破坏性切换率；
切换坐标跳变；
状态重置数量；
计算量。

39. 参考星切换处理流程

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是
完整固定
部分固定
是
否
否
否
检测到参考星需要切换
卫星集合是否保持不变
新旧参考星是否连续有效
构造整数幺模变换T
变换浮点模糊度和完整协方差
完整固定还是部分固定
转换固定整数向量
转换一般线性整数约束
检查产品基准和残差连续性
一致性通过吗
保持固定解
释放受影响整数约束
识别失锁或周跳信号
提取新旧集合的公共连续子集
转换公共子集
删除离开状态初始化新弧段
重新执行PAR或浮点解算

第六部分：推荐实现方案

40. 推荐选择器

建议采用两级选择器。

40.1 第一级：硬门限

排除：

周跳、失锁和半周异常；
产品缺失和基准不兼容；
高度角低于进入门限；
信号不完整；
严重创新异常；
预测即将不可用的卫星。

40.2 第二级：排序或评分

综合：

剩余可见时间；
共同弧段；
平均单差方差；
高度角及变化趋势；
C/N₀ 残差；
相位创新；
多路径风险；
切换代价。

41. 推荐伪代码

text 复制代码

输入：
    每星 每信号的观测和弧段状态
    浮点模糊度及完整协方差
    轨道 钟差和相位偏差产品
    当前参考星 current_ref

1. 按系统 信号 偏差组和模糊度层建立候选集合
2. 删除：
       卫星不健康
       产品无效或基准不兼容
       周跳 失锁或半周异常
       新候选高度角低于进入门限
       信号不完整
       创新持续严重异常
3. 对每个候选计算：
       高度角和高度角变化率
       C/N0残差
       相位创新
       平均单差方差
       当前弧段长度
       共同弧段长度
       预测剩余可见时间
       切换代价
4. 若current_ref失效或低于退出门限：
       立即选择最优候选
5. 若current_ref仍有效：
       只有新候选优势超过滞回门限
       且持续达到保持时间
       才主动切换
6. 若滤波器保存参考星无关状态：
       只更新整数固定模块的差分矩阵
7. 若滤波器保存星间单差状态：
       判断是纯基准切换还是卫星集合变化
       纯切换时使用完整状态变换矩阵
       集合变化时转换公共子集
       删除离开状态并初始化新弧段
8. 完整固定时：
       转换整数向量
9. 部分固定时：
       转换一般线性整数约束
       或重新执行PAR
10. 检查产品基准 残差 坐标和固定状态连续性
11. 记录切换类型 原因和质量指标

42. 常见概念混淆

42.1 参考星就是参考站

错误。参考星是星间单差的枢轴卫星。

42.2 所有 PPP-AR 都必须长期显式选择参考星

错误。采用一致偏差产品和参考星无关参数化时，可以只在整数搜索阶段临时构造基底。

42.3 使用相位 OSB 后模型不再需要任何基准

错误。OSB 恢复观测偏差一致性，但秩亏模型仍需相位钟、S-basis 或其他基准参数化。

42.4 最高高度角卫星一定是最佳参考星

错误。还需考虑弧段、剩余可见时间、产品、创新和协方差。

42.5 参考星出现时间越长就绝对越好

错误。过去弧段长有利，但即将落下或质量恶化的卫星仍不适合作参考星。

42.6 参考星改变会改变完整 ILS 的理论信息量

错误。同一完整卫星集合下，参考星改变只是整数幺模基底变换。

42.7 ADOP 最小的卫星就是最佳参考星

错误。完整单差集合的 ADOP 对参考星选择保持不变。

42.8 星间单差彼此独立

错误。参考星误差会使全部单差产生相关性。

42.9 参考星切换一定导致重新收敛

错误。连续参考星之间可以无损转换状态和整数基准。

42.10 参考星切换时只需重算单差数值

错误。还要同步转换协方差、交叉协方差和整数约束。

42.11 部分固定时可以按原卫星编号直接保留固定子集

不一定。切换基准后，原坐标子集可能变成一般线性整数约束。

42.12 参考星发生周跳说明全部卫星发生周跳

错误。参考星周跳会表现为全部星间单差同时跳变。

42.13 参考星切换和卫星升落可用同一个方阵处理

错误。只有卫星集合不变的纯基准切换才是同维幺模变换。

42.14 宽巷和窄巷采用不同参考星时无需额外处理

错误。两层整数约束必须通过明确的差分矩阵保持一致。

42.15 IOD 变化就必须重置模糊度

错误。应检查产品兼容性、整数属性和相位偏差不连续信息。

42.16 当前参考星和新候选应使用同一高度角门限

错误。应采用进入和退出门限形成滞回。

42.17 切换次数越少，算法越好

错误。长期保留低质量参考星可能比合理主动切换更危险。

42.18 参考星选得好就不需要 PAR 和整数验证

错误。参考星选择不能替代 LAMBDA、PAR、Ratio Test 或 FFRT。

43. 总结

PPP-AR 中参考星的本质是：

为星间单差模糊度选择整数基准，而不是选择一颗决定定位精度的主卫星。

参考星选择应优先保证：

相位弧段连续；
产品整数基准连续；
信号完整；
观测质量可靠；
剩余可见时间足够；
与其他卫星具有稳定共同弧段。

然后再比较：

高度角和运行趋势；
C/N₀ 残差；
模糊度方差和协方差；
相位创新；
多路径风险；
切换代价。

参考星出现时间长通常有利，但应将：

text 复制代码

过去已连续跟踪时间

和：

text 复制代码

未来剩余可见时间

分开评价。

参考星切换不可完全避免。

正确处理方法：

尽量在旧参考星失效前主动切换；
卫星集合不变时，用整数幺模变换转换单差模糊度；
同步转换协方差、交叉协方差和参考相关状态；
完整固定时转换整数向量；
部分固定时转换一般线性整数约束；
卫星集合变化时先保留公共子集，再删除离开状态和初始化新弧段；
只重置真正失去连续性的卫星状态；
检查产品基准、残差、整数状态和坐标连续性。

推荐的软件结构是：

text 复制代码

滤波器保存参考星无关的信号级浮点模糊度
+
整数固定模块临时构造参考星基底

这样参考星切换主要是整数坐标系变化，而不是滤波状态的破坏性事件。

参考资料

A. Khodabandeh、P. J. G. Teunissen：Integer Estimability in GNSS Networks。
N. Naciri、S. Bisnath：An Uncombined Triple-Frequency User Implementation of the Decoupled Clock Model for PPP-AR。
J. Geng 等：GNSS Observable-Specific Phase Biases for All-Frequency PPP Ambiguity Resolution。
P. Li、X. Zhang：Precise Point Positioning with Partial Ambiguity Fixing。
P. J. G. Teunissen：The Least-Squares Ambiguity Decorrelation Adjustment。
P. J. G. Teunissen：Integer Aperture GNSS Ambiguity Resolution。
IGS：IGS SSR Format Version 1.0。
D. Psychas：Fast and Reliable Multi-GNSS Precise Point Positioning with Integer Ambiguity Resolution。
W. Chen 等：Reference Satellite Selection Method for GNSS High-Precision Relative Positioning。
A. Khodabandeh、P. J. G. Teunissen：A New GLONASS FDMA Model。
J. Geng 等：Assessing IGS GPS/Galileo/BDS Phase Bias Products with PPP-AR。
P. J. G. Teunissen、O. Montenbruck：Springer Handbook of Global Navigation Satellite Systems。