工程数学-理解卷积的含义_线性时不变系统的冲激响应与卷积

1. 什么是 LTI 系统

LTI 是：

Linear：线性
Time Invariant：时不变

即：

Linear Time-Invariant System

线性时不变系统

假设一个系统可以表示为：

O{f(t)}=x(t)\mathcal{O}\{f(t)\}=x(t)O{f(t)}=x(t)

其中：

f(t)f(t)f(t)：输入
x(t)x(t)x(t)：输出
O\mathcal{O}O：系统所进行的运算

2. 什么叫线性

一个系统满足线性，需要满足两个性质：

可加性
齐次性

2.1 可加性

如果：

O{f1(t)}=x1(t)\mathcal{O}\{f_1(t)\}=x_1(t)O{f1(t)}=x1(t)

O{f2(t)}=x2(t)\mathcal{O}\{f_2(t)\}=x_2(t)O{f2(t)}=x2(t)

那么：

O{f1(t)+f2(t)}=x1(t)+x2(t)\mathcal{O}\{f_1(t)+f_2(t)\}=x_1(t)+x_2(t)O{f1(t)+f2(t)}=x1(t)+x2(t)

意思是：

两个输入相加以后送进系统，产生的输出，等于两个输入分别产生的输出再相加。

2.2 齐次性

如果：

O{f(t)}=x(t)\mathcal{O}\{f(t)\}=x(t)O{f(t)}=x(t)

那么：

O{af(t)}=ax(t)\mathcal{O}\{af(t)\}=ax(t)O{af(t)}=ax(t)

也就是说：

输入放大 aaa 倍，输出也放大 aaa 倍。

2.3 叠加原理

把可加性和齐次性结合起来：

O{a1f1(t)+a2f2(t)}=a1x1(t)+a2x2(t)\mathcal{O}\{a_1f_1(t)+a_2f_2(t)\}=a_1x_1(t)+a_2x_2(t)O{a1f1(t)+a2f2(t)}=a1x1(t)+a2x2(t)

这就是：

叠加原理 Superposition Principle

它也是后面卷积能够成立的关键。

只要能够把一个复杂输入拆成很多简单输入，就可以：

分别计算每个简单输入产生的响应；
把所有响应相加；
得到完整输出。

3. 什么叫时不变

假设：

O{f(t)}=x(t)\mathcal{O}\{f(t)\}=x(t)O{f(t)}=x(t)

如果把输入整体延迟 τ\tauτ：

f(t−τ)f(t-\tau)f(t−τ)

那么输出也应该延迟相同时间：

O{f(t−τ)}=x(t−τ)\mathcal{O}\{f(t-\tau)\}=x(t-\tau)O{f(t−τ)}=x(t−τ)

这就是时不变。

简单理解：

系统的规律不会因为输入发生的时间不同而改变。

例如同一个输入：

在 t=0t=0t=0 时输入；
在 t=10t=10t=10 时输入；

产生的响应波形应该完全相同，只是第二个响应整体晚了 101010 秒。

4. 一个典型的 LTI 系统：弹簧-质量-阻尼系统

对于弹簧-质量-阻尼系统：

质量为 mmm
阻尼系数为 ccc
弹簧刚度为 kkk
输入力为 f(t)f(t)f(t)
输出位移为 x(t)x(t)x(t)

系统微分方程为：

mx¨(t)+cx˙(t)+kx(t)=f(t)m\ddot{x}(t)+c\dot{x}(t)+kx(t)=f(t)mx¨(t)+cx˙(t)+kx(t)=f(t)

在零初始条件下进行拉普拉斯变换：

(ms2+cs+k)X(s)=F(s)(ms^2+cs+k)X(s)=F(s)(ms2+cs+k)X(s)=F(s)

因此：

X(s)=1ms2+cs+kF(s)X(s)=\frac{1}{ms^2+cs+k}F(s)X(s)=ms2+cs+k1F(s)

定义传递函数：

H(s)=X(s)F(s)H(s)=\frac{X(s)}{F(s)}H(s)=F(s)X(s)

所以：

H(s)=1ms2+cs+kH(s)=\frac{1}{ms^2+cs+k}H(s)=ms2+cs+k1

于是：

X(s)=F(s)H(s)X(s)=F(s)H(s)X(s)=F(s)H(s)

5. 从拉普拉斯域看卷积

已经知道：

X(s)=F(s)H(s)X(s)=F(s)H(s)X(s)=F(s)H(s)

根据拉普拉斯变换的卷积定理：

L−1{F(s)H(s)}=f(t)∗h(t)\mathcal{L}^{-1}\{F(s)H(s)\}=f(t)*h(t)L−1{F(s)H(s)}=f(t)∗h(t)

所以：

x(t)=f(t)∗h(t)x(t)=f(t)*h(t)x(t)=f(t)∗h(t)

其中：

h(t)=L−1{H(s)}h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}h(t)=L−1{H(s)}

于是得到：

x(t)=f(t)∗h(t)\boxed{x(t)=f(t)*h(t)}x(t)=f(t)∗h(t)

但是只记住这个公式还不够。

真正需要理解的是：

为什么 LTI 系统的输出，可以写成输入与冲激响应的卷积？

下面从时域角度推导。

6. 任意输入可以拆成很多小块

假设有一个连续输入：

f(t)f(t)f(t)

把时间轴切成很多很小的区间，每个区间宽度为：

ΔT\Delta TΔT

时间点分别为：

0,ΔT,2ΔT,3ΔT,⋯0,\Delta T,2\Delta T,3\Delta T,\cdots0,ΔT,2ΔT,3ΔT,⋯

在第 iii 个时间位置：

t=iΔTt=i\Delta Tt=iΔT

函数值近似为：

f(iΔT)f(i\Delta T)f(iΔT)

这一小段可以近似看成一个矩形。

它的：

宽度为 ΔT\Delta TΔT
高度为 f(iΔT)f(i\Delta T)f(iΔT)

因此面积为：

Ai=f(iΔT)ΔTA_i=f(i\Delta T)\Delta TAi=f(iΔT)ΔT

也就是说：

一个连续输入，可以近似拆成很多很窄的小矩形。

7. 从小矩形得到单位冲激

先构造一个宽度为 ΔT\Delta TΔT、高度为 1ΔT\frac{1}{\Delta T}ΔT1 的窄矩形。

它的面积为：

A=1ΔTΔT=1A=\frac{1}{\Delta T}\Delta T=1A=ΔT1ΔT=1

当：

ΔT→0\Delta T\rightarrow0ΔT→0

这个矩形会：

越来越窄；
越来越高；
面积始终保持为 111。

极限情况下：

δΔT(t)→δ(t)\delta_{\Delta T}(t)\rightarrow\delta(t)δΔT(t)→δ(t)

这里的 δ(t)\delta(t)δ(t) 就是狄拉克冲激。

它满足：

δ(t)=0,t≠0\delta(t)=0,\quad t\neq0δ(t)=0,t=0

同时：

∫−∞+∞δ(t) dt=1\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\,dt=1∫−∞+∞δ(t)dt=1

所以单位冲激最重要的特点是：

宽度趋近于 0，高度趋近于无穷，但是面积始终等于 1。

8. 用冲激表示输入的每一个小块

第 iii 个输入小矩形的面积为：

Ai=f(iΔT)ΔTA_i=f(i\Delta T)\Delta TAi=f(iΔT)ΔT

因此这一小块可以表示成一个发生在 iΔTi\Delta TiΔT 时刻的小冲激：

ΔTf(iΔT)δΔT(t−iΔT)\Delta T f(i\Delta T)\delta_{\Delta T}(t-i\Delta T)ΔTf(iΔT)δΔT(t−iΔT)

其中：

δΔT(t−iΔT)\delta_{\Delta T}(t-i\Delta T)δΔT(t−iΔT)

表示这个冲激被移动到了：

t=iΔTt=i\Delta Tt=iΔT

的位置。

于是整个输入可以近似表示为：

f(t)≈∑iΔTf(iΔT)δΔT(t−iΔT)f(t)\approx\sum_i\Delta T f(i\Delta T)\delta_{\Delta T}(t-i\Delta T)f(t)≈i∑ΔTf(iΔT)δΔT(t−iΔT)

这一步非常重要。

它表示：

任意复杂输入，都可以看成很多个发生在不同时刻、大小不同的小冲激的叠加。

9. 系统对单位冲激的响应

现在把：

δΔT(t)\delta_{\Delta T}(t)δΔT(t)

输入系统。

假设输出为：

hΔT(t)h_{\Delta T}(t)hΔT(t)

即：

δΔT(t)⟶hΔT(t)\delta_{\Delta T}(t)\longrightarrow h_{\Delta T}(t)δΔT(t)⟶hΔT(t)

当：

ΔT→0\Delta T\rightarrow0ΔT→0

输入趋近于：

δΔT(t)→δ(t)\delta_{\Delta T}(t)\rightarrow\delta(t)δΔT(t)→δ(t)

对应输出也趋近于：

hΔT(t)→h(t)h_{\Delta T}(t)\rightarrow h(t)hΔT(t)→h(t)

于是最终得到：

δ(t)⟶h(t)\delta(t)\longrightarrow h(t)δ(t)⟶h(t)

这里的 h(t)h(t)h(t) 就叫：

冲激响应 Impulse Response

也就是说：

给系统一个单位冲激，系统产生的输出，就是冲激响应 h(t)h(t)h(t)。

10. 利用时不变性

已经知道：

δΔT(t)⟶hΔT(t)\delta_{\Delta T}(t)\longrightarrow h_{\Delta T}(t)δΔT(t)⟶hΔT(t)

如果把输入延迟 iΔTi\Delta TiΔT：

δΔT(t−iΔT)\delta_{\Delta T}(t-i\Delta T)δΔT(t−iΔT)

由于系统是时不变系统，所以输出也延迟相同时间：

δΔT(t−iΔT)⟶hΔT(t−iΔT)\delta_{\Delta T}(t-i\Delta T)\longrightarrow h_{\Delta T}(t-i\Delta T)δΔT(t−iΔT)⟶hΔT(t−iΔT)

也就是说：

输入什么时候发生，响应波形就整体移动到什么时候。

11. 再利用线性

第 iii 个冲激的大小为：

Ai=ΔTf(iΔT)A_i=\Delta T f(i\Delta T)Ai=ΔTf(iΔT)

因此输入为：

AiδΔT(t−iΔT)A_i\delta_{\Delta T}(t-i\Delta T)AiδΔT(t−iΔT)

由于系统具有线性，所以输出也乘上相同系数：

AiδΔT(t−iΔT)⟶AihΔT(t−iΔT)A_i\delta_{\Delta T}(t-i\Delta T)\longrightarrow A_i h_{\Delta T}(t-i\Delta T)AiδΔT(t−iΔT)⟶AihΔT(t−iΔT)

代入 AiA_iAi：

ΔTf(iΔT)δΔT(t−iΔT)⟶ΔTf(iΔT)hΔT(t−iΔT)\Delta T f(i\Delta T)\delta_{\Delta T}(t-i\Delta T)\longrightarrow\Delta T f(i\Delta T)h_{\Delta T}(t-i\Delta T)ΔTf(iΔT)δΔT(t−iΔT)⟶ΔTf(iΔT)hΔT(t−iΔT)

12. 把所有小冲激的响应加起来

整个输入本来就是很多小冲激的叠加。

由于系统具有线性，所以总输出就是所有响应之和：

x(t)≈∑iΔTf(iΔT)hΔT(t−iΔT)x(t)\approx\sum_i\Delta T f(i\Delta T)h_{\Delta T}(t-i\Delta T)x(t)≈i∑ΔTf(iΔT)hΔT(t−iΔT)

这已经非常接近卷积了。

13. 从求和变成积分

令：

ΔT→0\Delta T\rightarrow0ΔT→0

把：

iΔTi\Delta TiΔT

记作：

τ\tauτ

于是：

iΔT→τi\Delta T\rightarrow\tauiΔT→τ

同时：

ΔT→dτ\Delta T\rightarrow d\tauΔT→dτ

并且：

hΔT(t)→h(t)h_{\Delta T}(t)\rightarrow h(t)hΔT(t)→h(t)

于是原来的求和：

∑iΔTf(iΔT)h(t−iΔT)\sum_i\Delta T f(i\Delta T)h(t-i\Delta T)i∑ΔTf(iΔT)h(t−iΔT)

变成积分：

x(t)=∫−∞+∞f(τ)h(t−τ) dτx(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)h(t-\tau)\,d\taux(t)=∫−∞+∞f(τ)h(t−τ)dτ

于是：

x(t)=f(t)∗h(t)\boxed{x(t)=f(t)*h(t)}x(t)=f(t)∗h(t)

这就是卷积。

14. 因果系统中的卷积

对于实际物理系统，通常是因果系统。

所谓因果系统，就是：

未来的输入不能影响现在的输出。

如果输入从 t=0t=0t=0 开始，那么在当前时刻 ttt，只需要考虑：

0≤τ≤t0\leq\tau\leq t0≤τ≤t

因此：

x(t)=∫0tf(τ)h(t−τ) dτx(t)=\int_0^t f(\tau)h(t-\tau)\,d\taux(t)=∫0tf(τ)h(t−τ)dτ

也就是：

x(t)=∫0tf(τ)h(t−τ) dτ\boxed{x(t)=\int_0^t f(\tau)h(t-\tau)\,d\tau}x(t)=∫0tf(τ)h(t−τ)dτ

15. 卷积到底在算什么

卷积公式为：

x(t)=∫0tf(τ)h(t−τ) dτx(t)=\int_0^t f(\tau)h(t-\tau)\,d\taux(t)=∫0tf(τ)h(t−τ)dτ

假设过去某一个时刻为：

τ\tauτ

当时输入大小为：

f(τ)f(\tau)f(τ)

这一小段输入可以看成一个大小为：

f(τ)dτf(\tau)d\tauf(τ)dτ

的小冲激。

它发生在 τ\tauτ 时刻。

现在我们观察的是 ttt 时刻。

因此，从输入发生到当前时刻已经过去：

t−τt-\taut−τ

这么长时间。

系统在经历 t−τt-\taut−τ 时间后的响应就是：

h(t−τ)h(t-\tau)h(t−τ)

所以这一小段历史输入对当前输出造成的贡献为：

f(τ)h(t−τ)dτf(\tau)h(t-\tau)d\tauf(τ)h(t−τ)dτ

然后把所有历史时刻的贡献全部加起来：

x(t)=∫0tf(τ)h(t−τ) dτx(t)=\int_0^t f(\tau)h(t-\tau)\,d\taux(t)=∫0tf(τ)h(t−τ)dτ

因此：

卷积就是把过去所有输入在当前时刻留下的影响全部加起来。

16. 为什么卷积里面是 h(t−τ)h(t-\tau)h(t−τ)

假设在 t=0t=0t=0 时输入一个冲激：

δ(t)\delta(t)δ(t)

系统响应为：

h(t)h(t)h(t)

如果冲激不是发生在 000 时刻，而是发生在 τ\tauτ 时刻：

δ(t−τ)\delta(t-\tau)δ(t−τ)

因为系统具有时不变性，所以响应也整体延迟 τ\tauτ：

δ(t−τ)⟶h(t−τ)\delta(t-\tau)\longrightarrow h(t-\tau)δ(t−τ)⟶h(t−τ)

其中：

t−τt-\taut−τ

表示：

从输入发生到当前观察时刻 ttt，已经过去了多少时间。

所以 h(t−τ)h(t-\tau)h(t−τ) 的含义就是：

在 τ\tauτ 时刻发生的输入，到当前 ttt 时刻，它产生的响应发展到了什么程度。

17. 一个简单例子

假设系统冲激响应为：

h(t)h(t)h(t)

分别在：

t=0t=0t=0

t=1t=1t=1

t=2t=2t=2

输入三个冲激。

那么它们分别产生：

h(t)h(t)h(t)

h(t−1)h(t-1)h(t−1)

h(t−2)h(t-2)h(t−2)

如果三个冲激大小分别为：

A0,A1,A2A_0,\quad A_1,\quad A_2A0,A1,A2

根据线性叠加：

x(t)=A0h(t)+A1h(t−1)+A2h(t−2)x(t)=A_0h(t)+A_1h(t-1)+A_2h(t-2)x(t)=A0h(t)+A1h(t−1)+A2h(t−2)

如果这样的冲激越来越多，时间间隔越来越小，最终就得到：

x(t)=∫f(τ)h(t−τ) dτx(t)=\int f(\tau)h(t-\tau)\,d\taux(t)=∫f(τ)h(t−τ)dτ

这就是卷积。

18. 为什么冲激响应可以完整描述一个 LTI 系统

任意输入都可以表示成：

f(t)=∫−∞+∞f(τ)δ(t−τ) dτf(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tauf(t)=∫−∞+∞f(τ)δ(t−τ)dτ

也就是说：

任意输入都可以看成无数个平移、缩放后的单位冲激叠加而成。

对于一个 LTI 系统：

δ(t)⟶h(t)\delta(t)\longrightarrow h(t)δ(t)⟶h(t)

由于时不变性：

δ(t−τ)⟶h(t−τ)\delta(t-\tau)\longrightarrow h(t-\tau)δ(t−τ)⟶h(t−τ)

再利用线性：

f(τ)δ(t−τ)dτ⟶f(τ)h(t−τ)dτf(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\longrightarrow f(\tau)h(t-\tau)d\tauf(τ)δ(t−τ)dτ⟶f(τ)h(t−τ)dτ

最后把所有响应叠加：

x(t)=∫−∞+∞f(τ)h(t−τ) dτx(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)h(t-\tau)\,d\taux(t)=∫−∞+∞f(τ)h(t−τ)dτ

所以：

x(t)=f(t)∗h(t)\boxed{x(t)=f(t)*h(t)}x(t)=f(t)∗h(t)

因此：

对于一个 LTI 系统，只要知道冲激响应 h(t)h(t)h(t)，就可以计算任意输入对应的输出。

也可以说：

h(t)h(t)h(t) 完整描述了一个 LTI 系统的动态特性。

19. 冲激响应与传递函数的关系

传递函数定义为：

H(s)=X(s)F(s)H(s)=\frac{X(s)}{F(s)}H(s)=F(s)X(s)

现在给系统输入一个单位冲激：

f(t)=δ(t)f(t)=\delta(t)f(t)=δ(t)

因为：

L{δ(t)}=1\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1L{δ(t)}=1

所以：

F(s)=1F(s)=1F(s)=1

又因为：

X(s)=F(s)H(s)X(s)=F(s)H(s)X(s)=F(s)H(s)

所以：

X(s)=H(s)X(s)=H(s)X(s)=H(s)

而此时系统输出就是冲激响应：

x(t)=h(t)x(t)=h(t)x(t)=h(t)

因此：

H(s)=L{h(t)}\boxed{H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}}H(s)=L{h(t)}

反过来：

h(t)=L−1{H(s)}\boxed{h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}}h(t)=L−1{H(s)}

因此：

传递函数 H(s)H(s)H(s) 和冲激响应 h(t)h(t)h(t) 描述的是同一个系统。

区别只是：

h(t)h(t)h(t)：系统的时域描述
H(s)H(s)H(s)：系统的复频域描述

20. 整条逻辑链

整个卷积推导可以总结为下面几步。

第一步：系统是 LTI 系统

系统具有：

线性
时不变

因此可以使用：

缩放
平移
叠加

第二步：求系统的单位冲激响应

δ(t)⟶h(t)\delta(t)\longrightarrow h(t)δ(t)⟶h(t)

第三步：把任意输入拆成无数个冲激

f(t)=∫f(τ)δ(t−τ) dτf(t)=\int f(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tauf(t)=∫f(τ)δ(t−τ)dτ

第四步：每一个冲激分别产生响应

f(τ)δ(t−τ)dτ⟶f(τ)h(t−τ)dτf(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\longrightarrow f(\tau)h(t-\tau)d\tauf(τ)δ(t−τ)dτ⟶f(τ)h(t−τ)dτ

第五步：把所有响应叠加起来

x(t)=∫f(τ)h(t−τ) dτx(t)=\int f(\tau)h(t-\tau)\,d\taux(t)=∫f(τ)h(t−τ)dτ

所以：

x(t)=f(t)∗h(t)\boxed{x(t)=f(t)*h(t)}x(t)=f(t)∗h(t)

21. 从拉普拉斯角度再看一次

时域中：

x(t)=f(t)∗h(t)x(t)=f(t)*h(t)x(t)=f(t)∗h(t)

经过拉普拉斯变换：

X(s)=F(s)H(s)X(s)=F(s)H(s)X(s)=F(s)H(s)

对应关系如下：

时域	拉普拉斯域
输入 f(t)f(t)f(t)	F(s)F(s)F(s)
冲激响应 h(t)h(t)h(t)	传递函数 H(s)H(s)H(s)
输出 x(t)x(t)x(t)	X(s)X(s)X(s)
卷积 f(t)∗h(t)f(t)*h(t)f(t)∗h(t)	乘法 F(s)H(s)F(s)H(s)F(s)H(s)

因此：

f(t)∗h(t)⟺F(s)H(s)f(t)*h(t)\Longleftrightarrow F(s)H(s)f(t)∗h(t)⟺F(s)H(s)

这就是拉普拉斯变换解决 LTI 系统问题非常方便的原因：

时域中的卷积，在拉普拉斯域中变成了普通乘法。

22. 卷积为什么体现系统的记忆

对于因果系统：

x(t)=∫0tf(τ)h(t−τ) dτx(t)=\int_0^t f(\tau)h(t-\tau)\,d\taux(t)=∫0tf(τ)h(t−τ)dτ

可以发现，当前输出：

x(t)x(t)x(t)

并不仅仅取决于当前输入：

f(t)f(t)f(t)

还取决于过去所有时刻的输入：

f(τ)f(\tau)f(τ)

其中：

0≤τ≤t0\leq\tau\leq t0≤τ≤t

所以：

当前输出，是过去所有输入留下的影响叠加起来的结果。

以弹簧-质量-阻尼系统为例。

即使现在已经撤掉外力，物体仍然可能继续运动，因为：

质量块具有速度；
弹簧储存了势能；
系统还保留着之前输入造成的状态。

这就是系统的记忆性。

而冲激响应 h(t)h(t)h(t) 描述的是：

一个瞬间输入对系统造成的影响，会怎样随着时间演化、振荡和衰减。

23. 一个直观例子：房间混响

假设：

f(t)f(t)f(t)

是人的原始声音。

一个房间可以近似看成一个 LTI 系统。

如果在房间中产生一个极短的声音：

δ(t)\delta(t)δ(t)

房间会产生：

直接声
第一次反射
第二次反射
后续逐渐衰减的混响

这些响应组合起来就是：

h(t)h(t)h(t)

也叫：

Room Impulse Response

当真正的语音 f(t)f(t)f(t) 进入房间以后，最终听到的声音就是：

x(t)=f(t)∗h(t)x(t)=f(t)*h(t)x(t)=f(t)∗h(t)

例如 MATLAB：

matlab 复制代码

IR = audioread('IR.wav');
talk = audioread('talk.wav');

mix = conv(talk, IR);

sound(mix, 44100);

其中：

talk：原始语音
IR：房间冲激响应
mix：经过房间后的声音

本质上就是：

把语音在每一个时刻激发出的房间响应全部叠加起来。

24. 对卷积最重要的直觉

不要只把卷积理解成一个数学公式：

x(t)=∫f(τ)h(t−τ) dτx(t)=\int f(\tau)h(t-\tau)\,d\taux(t)=∫f(τ)h(t−τ)dτ

更应该理解成：

输入在过去的每一个时刻，都相当于激发了一次系统。

过去 τ\tauτ 时刻的输入大小为：

f(τ)f(\tau)f(τ)

它对当前时刻产生的响应为：

f(τ)h(t−τ)f(\tau)h(t-\tau)f(τ)h(t−τ)

然后把所有历史输入产生的响应全部加起来，就得到当前输出：

x(t)x(t)x(t)

所以：

当前输出 = 所有历史输入造成的当前影响之和

25. 最终总结

LTI 系统中为什么会出现卷积，本质上只有三步。

1. 任意输入都可以拆成无数个冲激

f(t)=∫f(τ)δ(t−τ) dτf(t)=\int f(\tau)\delta(t-\tau)\,d\tauf(t)=∫f(τ)δ(t−τ)dτ

2. 系统对每一个冲激的响应都可以确定

δ(t−τ)⟶h(t−τ)\delta(t-\tau)\longrightarrow h(t-\tau)δ(t−τ)⟶h(t−τ)

3. 利用线性把所有响应叠加起来

x(t)=∫f(τ)h(t−τ) dτx(t)=\int f(\tau)h(t-\tau)\,d\taux(t)=∫f(τ)h(t−τ)dτ

所以：

x(t)=f(t)∗h(t)\boxed{x(t)=f(t)*h(t)}x(t)=f(t)∗h(t)

而在拉普拉斯域中：

X(s)=F(s)H(s)\boxed{X(s)=F(s)H(s)}X(s)=F(s)H(s)

同时：

h(t)=L−1{H(s)}\boxed{h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}}h(t)=L−1{H(s)}

因此：

传递函数 H(s)H(s)H(s) 描述系统在复频域中的特性。
冲激响应 h(t)h(t)h(t) 描述同一个系统在时域中的特性。
卷积描述过去各个时刻的输入，如何共同形成当前输出。

卷积的直观理解

对于 LTI 系统，可以把输入看成许多发生在不同时刻的小冲激。

每个小冲激都会引起一次系统响应。由于系统具有时不变性，这些响应只是冲激响应 h(t)h(t)h(t) 在时间上的平移；由于系统具有线性，输入大小又会决定响应的幅值。

因此，当前时刻的输出，就是之前各个时刻输入所产生的响应叠加起来的结果：

x(t)=∫f(τ)h(t−τ) dτx(t)=\int f(\tau)h(t-\tau)\,d\taux(t)=∫f(τ)h(t−τ)dτ

这就是卷积。