《OpenFOAM 源码深度剖析》系列-第 9 章 有限体积离散框架：`fvMatrix`、`fvSchemes` 与 `fvSolution`

第 9 章　有限体积离散框架：fvMatrix、fvSchemes 与 fvSolution

前面八章铺垫了所有基础设施：字典、注册表、RTS、基元、场、网格、边界条件。本章进入 OpenFOAM 的"心脏"------把连续偏微分方程离散成线性方程组 。核心是三个类：fvMatrix（离散后的稀疏矩阵）、fvSchemes（离散格式配置）、fvSolution（线性求解配置）。理解了本章，你就能看懂任意一个求解器里的 fvVectorMatrix UEqn(...) 到底在做什么。

9.1 宏观图景：从 PDE 到线性方程

OpenFOAM 求解一个输运方程（以动量方程为例）时，走的是这样一条路径：

连续 PDE
   │  用有限体积法在网格上离散（空间: 面通量; 时间: ddt）
   ▼
fvMatrix<Type>          ← fvm:: 隐式算子组装（对角 + 上/下三角 + 边界系数 + 源项）
   │  映射为通用稀疏格式
   ▼
lduMatrix              ← 与网格无关的"下-对角-上"稀疏矩阵
   │  RTS 选择求解器
   ▼
PCG / PBiCGStab / GAMG  ← 迭代求解（第 11 章）
   │
   ▼
新的场值

关键设计是：fvMatrix 直接继承自 lduMatrix （见 9.4），因此从有限体积离散到线性代数求解之间没有额外的转换层------离散器直接产出求解器能吃的矩阵。这是 OpenFOAM "一体化"设计的一个缩影。

9.2 fvSchemes / schemesLookup：离散格式的配置中心

9.2.1 目录表

schemesLookup.H（src/OpenFOAM/matrices/schemes/，第 30--45 行）用一张表列出了 fvSchemes 字典的所有条目类别：

Description
    Selector class for finite area/finite volume differencing schemes.

    The file will contain these types of entries:
      ddtSchemes      | ddt                                | dict | no   | none
      d2dt2Schemes    | d2dt2 (currently only finite-area) | dict | no   | none
      interpolationSchemes | interpolation              | dict | no   | linear
      divSchemes      | div                                | dict | yes  | -
      gradSchemes     | grad                               | dict | yes  | -
      lnGradSchemes   | line-normal grad (finite-area)    | dict | no   | corrected
      snGradSchemes   | surface-normal grad               | dict | no   | corrected
      laplacianSchemes| laplacian                          | dict | yes  | -
      fluxRequired    |                                    | dict | no   | -

这张表就是 fvSchemes 字典的"语法规范"。要点：

条目	含义	是否有默认
ddtSchemes	时间导数格式（Euler/backward/CrankNicolson...）	无默认
interpolationSchemes	面插值格式	默认 linear
divSchemes	对流通量/散度格式	必需
gradSchemes	梯度格式	必需
snGradSchemes	面法向梯度格式	默认 corrected
laplacianSchemes	拉普拉斯格式	必需
fluxRequired	需要通量的场（如 p）	无

fvSchemes 只是 schemesLookup 的一个薄壳（fvSchemes.H 第 58--61 行 class fvSchemes : public schemesLookup），后者才是真正持有 IOdictionary 并做"按名查格式、否则取默认"的地方。内部把每个类别封装成 lookupDetail（schemesLookup.H 第 87--128 行），持有 name_、dict_、default_（一个 ITstream 默认 token 流），并提供 lookup(name)"取具名格式或默认"。

9.2.2 运行期可改

schemesLookup.H 第 52--55 行有个重要说明：

Note
    The schemes data are treated as \c READ_MODIFIED even if the
    requested \p readOption is nominally MUST_READ or READ_IF_PRESENT.
    This allows run-time modifications to behave as expected.

离散格式字典总是按 READ_MODIFIED 处理 ------即使你以 MUST_READ 打开。这样运行期改 fvSchemes 就能生效。fvSolution 同理（solution.H 第 66--68 行）。这解释了"为什么改松弛因子/换差分格式不用重启程序"。

9.2.3 为什么 fvMesh 要继承 fvSchemes

fvSchemes.H 第 32--33 行：

    fvMesh is derived from fvSchemes so that all fields have access to the
    fvSchemes from the mesh reference they hold.

因为每个 GeometricField 都持有 mesh 引用，而 mesh 继承自 fvSchemes------于是任何场都能直接 mesh.schemes().ddt(...) 拿到自己的时间格式 ，无需全局查找。fvSolution 同理。这就是第 8 章 fvMesh 多重继承的深层动机。

9.3 fvSolution / solution：求解器与松弛配置

solution.H（src/OpenFOAM/matrices/solution/，第 30--64 行）说明了 fvSolution 字典的结构：

    \par solvers { }
    A sub-dictionary listing of linear solver settings. For example,
    solvers
    {
        p
        {
            solver          PCG;
            preconditioner  DIC;
            tolerance       1e-06;
            relTol          0.05;
        }
    }
    ...
    PIMPLE
    {
        nOuterCorrectors 2;
        nCorrectors     1;
        nNonOrthogonalCorrectors 0;
    }

solution 类的私有数据（solution.H 第 93--130 行）精确对应字典内容：

class solution : public IOdictionary
{
    dictionary cache_;                          // 待缓存临时字段
    bool caching_;                              // 缓存开关
    dictionary fieldRelaxDict_;                 // 场的松弛因子
    mutable HashPtrTable<Function1<scalar>> fieldRelaxCache_;
    dictionary eqnRelaxDict_;                   // 方程的松弛因子
    mutable HashPtrTable<Function1<scalar>> eqnRelaxCache_;
    autoPtr<Function1<scalar>> fieldRelaxDefault_;
    autoPtr<Function1<scalar>> eqnRelaxDefault_;
    dictionary solvers_;                        // 各场的线性求解器设置
};

三类配置：

1. solvers_ ：每个场（p、U、k...）一套线性求解器设置（solver/preconditioner/tolerance/relTol/maxIter）。第 11 章会看到它如何驱动 RTS 选择 PCG/PBiCGStab/GAMG。
2. 松弛因子 ：分"场的松弛"（fieldRelaxDict_）与"方程（矩阵）的松弛"（eqnRelaxDict_，对应 fvMatrix::relax()），且支持 Function1（时间相关的松弛）。
3. cache_ ：cacheTemporaryObjects，即第 3 章提到的临时对象缓存------把某些中间量算一次缓存起来复用。

注意它还持有 HashPtrTable<Function1<scalar>> 缓存：松弛因子可以是时间的函数（Function1），解析一次后缓存复用。

9.4 fvMatrix<Type>：离散后的方程矩阵

9.4.1 类结构与数据

fvMatrix.H（src/finiteVolume/fvMatrices/fvMatrix/，第 118--177 行）：

template<class Type>
class fvMatrix
:
    public refCount,
    public lduMatrix
{
public:
    typedef GeometricField<Type, fvPatchField, volMesh> psiFieldType;
    typedef GeometricField<Type, fvsPatchField, surfaceMesh> faceFluxFieldType;

private:
    const psiFieldType& psi_;                                  // 被求解的场（引用）
    PtrList<fvMatrix<Type>> subMatrices_;                      // 组装用的子矩阵
    bool useImplicit_;                                         // 是否用隐式组装
    word lduAssemblyName_;                                     // ldu 组装名
    label nMatrix_;                                            // 叠加的矩阵数量
    dimensionSet dimensions_;                                  // 维度

    Field<Type> source_;                                       // 源项（右端）
    FieldField<Field, Type> internalCoeffs_;                   // 边界的"内部"系数
    FieldField<Field, Type> boundaryCoeffs_;                   // 边界的"源"系数
    mutable std::unique_ptr<faceFluxFieldType> faceFluxCorrectionPtr_;  // 非正交修正通量
};

逐项解读（这是理解 OpenFOAM 离散的关键）：

• psi_ ：被求解的场，以 const 引用持有 （注释说明"求解时才转为非 const"）。这避免了拷贝，也解释了为什么 UEqn.solve() 必须用 const_cast 去改 psi_。
• 继承 lduMatrix ：fvMatrix 就是 一个 LDU 稀疏矩阵。它继承的三组系数（diag/upper/lower，见 9.4.2）来自 lduMatrix。
• source_：离散方程的右端项（显式部分）。
• internalCoeffs_ / boundaryCoeffs_ ：边界条件的贡献 ，类型是 FieldField<Field, Type>（第 5 章的"场的场"------每个 patch 一个 Field）。这正是第 8 章 fvPatchField::valueInternalCoeffs() 等函数的返回值去处。
• faceFluxCorrectionPtr_ ：非正交修正通量。非正交网格上，拉普拉斯/梯度需要一次"修正"迭代，这个指针缓存修正量（见第 10 章）。
• subMatrices_ / useImplicit_ / nMatrix_ / lduAssemblyName_：支撑"隐式组装"与"矩阵叠加"，是新版为性能和灵活性引入的机制。

9.4.2 存储格式：为什么叫 "LDU"

lduMatrix 用三个数组存储整个稀疏矩阵（第 11 章会深入，此处先建立直觉）：

数组	长度	含义
diag_	nCells	对角元素（每个单元自己的系数）
upper_	nInternalFaces	上三角元素（面 owner→neighbour 的系数）
lower_	nInternalFaces	下三角元素（面 neighbour→owner 的系数）

为什么有限体积矩阵天然适配 LDU？ 因为离散方程的耦合只发生在"共享一个面的相邻单元"之间：

A_P φ_P  +  Σ_{内部面 f} (a_f φ_N)  =  b_P

每个内部面正好对应矩阵里的一对 off-diagonal 元素（一上一下）。面的 owner 单元对应"行"，neighbour 对应"列"。因此矩阵的非零结构完全由网格拓扑决定 ，upper_/lower_ 的长度恰好等于内部面数。这就是 OpenFOAM 能用如此紧凑的存储（3 个数组）表达任意多面体网格上离散矩阵的原因。

9.4.3 fvm:: 与 fvc::：隐式 vs 显式

离散算子分为两个命名空间（src/finiteVolume/finiteVolume/fvm/ 与 fvc/）：

• fvm::（finite volume method，隐式） ：返回 tmp<fvMatrix<Type>>。算子把未知量 φ 留在矩阵里（对角/上下三角），组装成一个待解方程 。 例如 fvm::ddt(rho, U)、fvm::div(phi, U)、fvm::laplacian(mu, U)。
• fvc::（finite volume calculus，显式） ：返回 tmp<GeometricField<...>>。算子对已知场 求值，得到一个算好的场 。 例如 fvc::grad(p)、fvc::div(phi)、fvc::laplacian(nu, U)、fvc::interpolate(rho)。

fvm:: 与 fvc:: 的 fvmSup.H 还提供 Su（显式源）与 Sp（隐式源），用于给方程添加源项（第 54--119 行：Su 返回 tmp<fvMatrix<Type>>，Sp 同理）。

典型用法（动量方程，来自求解器）：

fvVectorMatrix UEqn
(
    fvm::ddt(rho, U) + fvm::div(phi, U)
  + turbulence->divDevReff(U)
);
UEqn.relax();
solve(UEqn == -fvc::grad(p));

读法：fvm:: 的部分构成矩阵（未知量 U），fvc:: 的部分构成已知的源（-∇p）。 solve(UEqn == ...) 里 == 的作用是把显式项挪到右端并求解。

9.4.4 边界如何"加进"矩阵

fvMatrix 的受保护方法（fvMatrix.H 第 186--242 行）里有一组关键函数：

//- Add patch contribution to internal field
template<class Type2> void addToInternalField(...) const;
template<class Type2> void subtractFromInternalField(...) const;

// Matrix completion functionality
void addBoundaryDiag(scalarField& diag, const direction cmpt) const;
void addCmptAvBoundaryDiag(scalarField& diag) const;
void addBoundarySource(...);

流程是：

1. 离散内部面时，写入 diag_/upper_/lower_（来自 lduMatrix）；
2. 遍历边界面 时，调用每个 patch 的 valueInternalCoeffs/valueBoundaryCoeffs/gradientInternalCoeffs/gradientBoundaryCoeffs（第 8 章）；
3. 把这些返回的 Field 累加到 internalCoeffs_/boundaryCoeffs_；
4. addBoundaryDiag() 把"内部系数"加到 diag_；addBoundarySource() 把"边界系数（源）"加到 source_。

这就是"边界条件进入线性方程组"的完整机制。 也正因如此，fvMatrix 必须先知道求解的场（psi_）------因为边界条件需要 psi_ 的 patch 信息。

9.5 求解流程：solve()

9.5.1 分流：segregated vs coupled

fvMatrixSolve.C 第 60--107 行的 solveSegregatedOrCoupled()：

template<class Type>
Foam::SolverPerformance<Type> Foam::fvMatrix<Type>::solveSegregatedOrCoupled
(
    const dictionary& solverControls
)
{
    ...
    // Do not solve if maxIter == 0
    if (solverControls.getOrDefault<label>("maxIter", -1) == 0)
    {
        return SolverPerformance<Type>();
    }

    word type(solverControls.getOrDefault<word>("type", "segregated"));

    if (type == "segregated")
    {
        return solveSegregated(solverControls);
    }
    else if (type == "coupled")
    {
        return solveCoupled(solverControls);
    }
    ...
}

• segregated（分离式）：每个场（p、U、k...）各自求解，是传统 SIMPLE/PISO 方式。
• coupled（耦合式）：多个场联立求解（用于强耦合场景）。

求解器参数从 solverControls（即 fvSolution 里该场的子字典）读取：maxIter、solver、preconditioner、tol、relTol 等。

9.5.2 从 fvMatrix 到 lduMatrix::solver

solveSegregated() 内部会把 fvMatrix（作为 lduMatrix）交给一个由 RTS 选择的 lduMatrix::solver（第 4 章的 symMatrix/asymMatrix 表）。选择依据是字典里的 solver 名字（PCG/PBiCGStab/GAMG/smoothSolver）。

因为 fvMatrix 就是 lduMatrix，这个转换是"零成本"的------没有把有限体积矩阵翻译成通用稀疏矩阵的开销。这正是 9.1 图中"没有额外转换层"的含义。

9.5.3 松弛与压力参考

• 松弛 ：UEqn.relax() 依据 fvSolution 的 relaxationFactors（场松弛与方程松弛）缩放对角与源项，抑制迭代震荡。
• 压力参考 ：setComponentReference()（fvMatrixSolve.C 第 36--57 行）在封闭域求解压力时，把某个单元/分量的系数与源项做个偏置，消除"压力只定到常数"的奇异性：

internalCoeffs_[patchi][facei].component(cmpt) +=
    diag()[psi_.mesh().boundary()[patchi].faceCells()[facei]];
boundaryCoeffs_[patchi][facei].component(cmpt) +=
    diag()[psi_.mesh().boundary()[patchi].faceCells()[facei]] * value;

9.5.4 隐式组装 lduPrimitiveMeshAssembly

fvMatrix 里有 useImplicit_ 与 lduAssemblyName_，指向 src/finiteVolume/lduPrimitiveMeshAssembly/。这是把"边界的伪矩阵系数"以更快的方式装配进 LDU 矩阵的机制，用于减少边界处理的重复开销。它仍遵循"网格拓扑 → LDU 结构"的基本框架，只是装配路径更优化。

9.6 小结：三层配置 + 一个矩阵

本章可浓缩为一句口诀：

fvSchemes 决定"怎么离散"，fvSolution 决定"怎么求解"，fvMatrix 装下"离散后的方程"，它本身就是 lduMatrix，直接喂给求解器。

在脑子里建立这条链，再看任意求解器代码，就会非常顺：

solve(fvm::ddt(rho, U) + fvm::div(phi, U) + turbulence->divDevReff(U)
      ==
      -fvc::grad(p));

• fvm::ddt/div/... 按 fvSchemes 选格式、组装 fvMatrix；
• == 把 fvc::grad(p) 挪成源项；
• solve() 按 fvSolution 选求解器（RTS）迭代求解；
• 边界项经由 patch 的四个 coeffs 函数进入矩阵。

下一章深入这两端的细节：离散算子（ddt/grad/div/laplacian）与插值格式。

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本章要点回顾

• 路径：PDE →（有限体积离散）fvMatrix →（继承）lduMatrix →（RTS）Krylov/GAMG 求解器。
• fvSchemes（= schemesLookup）管理 ddtSchemes/divSchemes/gradSchemes/laplacianSchemes/interpolationSchemes/snGradSchemes/fluxRequired；格式字典按 READ_MODIFIED 处理，支持运行期改。
• fvSolution（= solution）管理 solvers{}、场/方程的松弛因子 （支持 Function1）与 cacheTemporaryObjects。
• fvMatrix<Type> 继承 refCount + lduMatrix，数据含 psi_（引用）、source_、internalCoeffs_/boundaryCoeffs_（边界贡献）、faceFluxCorrectionPtr_（非正交修正）。
• LDU 存储（diag/upper/lower）天然匹配有限体积的"面耦合"，矩阵非零结构由网格拓扑唯一决定。
• fvm:: 返回 tmp<fvMatrix<Type>>（隐式、进矩阵），fvc:: 返回 tmp<GeometricField<...>>（显式、算好值）；Su/Sp 加源项。
• 边界经 patch 的 coeffs 函数进入 diag/source；求解走 solveSegregatedOrCoupled → lduMatrix::solver（RTS），并支持松弛与压力参考。