做 CT 重建，绕不开三个词：Radon 变换、正弦图、FBP。后面的迭代重建、稀疏视角、扩散模型，几乎每篇论文都拿 FBP 当基线。这篇用最少的公式把它们讲清楚，最后给一段可以直接运行的 Python 代码，亲手看一遍"投影 → 正弦图 → 重建"的全过程。
这是「CT 重建从零开始」系列的第一篇。
一、CT 到底测了什么
X 射线穿过物体会衰减。沿一条射线 L，探测器读到的强度满足 Beer--Lambert 定律：
I = I 0 exp ( − ∫ L μ ( x , y ) d l ) I = I_0 \exp\left(-\int_L \mu(x,y)\,dl\right) I=I0exp(−∫Lμ(x,y)dl)
其中 μ \mu μ 是线性衰减系数，也就是我们想重建的图像。两边取对数：
p = − ln I I 0 = ∫ L μ ( x , y ) d l p = -\ln\frac{I}{I_0} = \int_L \mu(x,y)\,dl p=−lnI0I=∫Lμ(x,y)dl
所以 CT 每一个探测器读数，经过对数变换后，就是图像沿一条直线的线积分。重建要回答的问题是：已知大量线积分，反推出图像本身。
二、Radon 变换：把所有线积分排好
用角度 θ \theta θ 和到中心的距离 s s s 描述一条直线，平行束下的投影就是 Radon 变换：
p ( θ , s ) = ∬ f ( x , y ) δ ( x cos θ + y sin θ − s ) d x d y p(\theta, s) = \iint f(x,y)\,\delta(x\cos\theta + y\sin\theta - s)\,dx\,dy p(θ,s)=∬f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ−s)dxdy
固定一个角度 θ \theta θ，扫过所有 s s s，得到一条一维投影；角度从 0° 转到 180°（平行束转半圈就够，另一半是重复的），就得到全部数据。
三、正弦图：为什么叫"正弦"
把 p ( θ , s ) p(\theta, s) p(θ,s) 画成一张二维图，横轴角度、纵轴探测器位置，就是正弦图（sinogram）。
原因很直观：图像里一个点 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0)，在角度 θ \theta θ 下投影到的位置是 s = x 0 cos θ + y 0 sin θ s = x_0\cos\theta + y_0\sin\theta s=x0cosθ+y0sinθ，这正是一条正弦曲线。整幅图像是无数个点叠加，所以正弦图就是无数条正弦曲线叠在一起。离中心越远的点，曲线振幅越大。
四、直接反投影为什么是糊的
最朴素的想法：把每个角度的投影值沿原路"抹"回图像，所有角度叠加起来，叫反投影（backprojection）。
问题在于，中心附近每个角度都会被抹到，越靠近中心叠加得越多。可以证明，直接反投影的结果等于真实图像和 1 / r 1/r 1/r 核做卷积，所以低频被严重放大，图像一片模糊（见下图第三张）。
五、中心切片定理与斜坡滤波
解决方法来自中心切片定理：一个角度投影的一维傅里叶变换，等于图像二维傅里叶变换中，过原点、同一方向的那条切片。
也就是说，转半圈采集投影，相当于在频域里沿放射线采样。放射状采样在中心密、在外围稀，密度正比于 1 / ∣ ω ∣ 1/|\omega| 1/∣ω∣。要补偿这种不均匀，就要给每个频率乘上 ∣ ω ∣ |\omega| ∣ω∣，这就是斜坡滤波器（ramp filter）。
于是 FBP（Filtered Back-Projection，滤波反投影）只有两步：
- 对每个角度的投影做一维斜坡滤波；
- 把滤波后的投影反投影回图像。
斜坡滤波会放大高频，也就会放大噪声。所以实际中常给它乘一个窗函数，比如 Shepp--Logan、Cosine、Hamming、Hann，牺牲一点分辨率换取更低的噪声。
六、代码：30 行跑通 FBP
只依赖 numpy、matplotlib 和 scikit-image（pip install scikit-image matplotlib）：
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage.data import shepp_logan_phantom
from skimage.transform import radon, iradon, rescale
from skimage.metrics import peak_signal_noise_ratio as psnr
img = rescale(shepp_logan_phantom(), 0.64) # 256x256 Shepp-Logan 体模
theta = np.linspace(0., 180., 180, endpoint=False) # 180 个角度，步长 1°
sino = radon(img, theta=theta) # 正弦图：探测器位置 x 角度
bp = iradon(sino, theta=theta, filter_name=None) # 直接反投影（不滤波）
fbp = iradon(sino, theta=theta, filter_name="ramp") # 滤波反投影
sparse = theta[::6] # 只保留 30 个角度
fbp30 = iradon(radon(img, theta=sparse), theta=sparse, filter_name="ramp")
score = lambda x: psnr(img, np.clip(x, 0, 1), data_range=1)
print(f"FBP 180 views: {score(fbp):.2f} dB")
print(f"FBP 30 views: {score(fbp30):.2f} dB")
titles = ["Phantom", "Sinogram", "Backprojection", "FBP 180 views", "FBP 30 views"]
fig, ax = plt.subplots(1, 5, figsize=(17, 3.6))
for a, t, x in zip(ax, titles, [img, sino, bp, fbp, fbp30]):
a.imshow(x, cmap="gray", aspect="auto" if t == "Sinogram" else "equal")
a.set_title(t); a.axis("off")
plt.tight_layout(); plt.show()运行结果（scikit-image 0.26）：
- 180 个角度的 FBP：PSNR 30.91 dB，和原图几乎一样；
- 不滤波的直接反投影：一团模糊，只能看出轮廓；
- 只用 30 个角度：PSNR 掉到 22.14 dB，满图放射状的条纹伪影。
七、换个滤波器会怎样
同样 180 个角度、无噪声数据，换不同窗函数：
| 滤波器 | PSNR (dB) |
|---|---|
| Ramp | 30.91 |
| Shepp--Logan | 29.94 |
| Cosine | 28.19 |
| Hamming | 27.14 |
| Hann | 26.85 |
无噪声时，纯斜坡最好，窗越"软"越模糊。
再模拟一次低剂量。注意体模的灰度只是相对值，直接拿它算正弦图，线积分最大约 66，按 e − 66 e^{-66} e−66 衰减几乎没有光子能到达探测器。所以先把体模缩小 10 倍，让线积分最大约 6.6，回到真实 CT 的量级，再按入射光子数 I 0 = 10 4 I_0 = 10^4 I0=104 加泊松噪声：
python
mu = img / 10 # 缩到真实衰减量级，线积分最大约 6.6
sino_mu = radon(mu, theta=theta)
rng = np.random.default_rng(0) # 固定随机种子，结果可复现
I0 = 1e4 # 入射光子数
counts = rng.poisson(I0 * np.exp(-sino_mu)) # 探测器计数（泊松分布）
sino_noisy = -np.log(np.maximum(counts, 1) / I0)
for f in ["ramp", "shepp-logan"]:
rec = 10 * iradon(sino_noisy, theta=theta, filter_name=f) # 乘回 10
print(f, f"{score(rec):.2f} dB")结果：Ramp 27.66 dB ，Shepp--Logan 27.95 dB，Shepp--Logan 反超了 Ramp。换随机种子，数字会有 0.1 dB 左右的浮动，但排序不变。
这就是窗函数存在的意义：噪声越大，越需要压高频。
八、FBP 的天花板，就是后面所有方向的起点
FBP 快、稳定、可解释，至今仍是临床 CT 的重要基础。但它对数据的要求很高：
- 角度不够（稀疏视角）：条纹伪影，就是上面 30 个角度那张图；
- 剂量太低：噪声被斜坡滤波放大；
- 角度范围不足（有限角）：某些方向的边缘直接丢失；
- 几何不是平行束：实际 CT 多是扇束和锥束，需要扇束 FBP 和 FDK 算法。
这几个问题，分别对应了稀疏视角 CT、低剂量 CT、有限角层析、锥束 CT 几个研究方向。这些方向的代表论文、开源代码和数据集，我整理在了一个开源列表里，可以按方向筛选、支持中文搜索：
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「CT 重建从零开始（二）」会讲迭代重建：把 CT 写成线性方程组 A x = b Ax = b Ax=b，从 ART、SART 到加入全变分（TV）正则，看看它们怎么在 30 个角度下把条纹压下去。
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