1. 题意
给你两个 正 整数 num 和 sum。
如果一个正整数 n 满足以下两个条件，则称其为 好整数 ：
n 的位数 恰好 为 num。
n 的各位数字之和 恰好 为 sum。
一个 好整数 n 的 分数 定义为 n 的各位数字的平方和。
返回一个 字符串 ，表示能获得 最大分数 的 好整数 n。如果有多个可能的整数，返回 最大 的那个。如果不存在这样的整数，返回一个空字符串。
2. 题解
贪心策略，尽可能使用各个数之间的距离远。
在这个题目中就是让9的位数足够多，那么其实就是 ⌊ s u m / 9 ⌋ \lfloor sum/9 \rfloor ⌊sum/9⌋位；
如果sum % 9 != 0 ，那么还需要补一位'0' + sum % 9
剩下的位数用0搞定
2.1 代码
- sol1
cpp
class Solution {
public:
string maxSumOfSquares(int num, int sum) {
// 1 > 9 ?
// 2 > 18 ?
if ( sum > num * 9)
return string("");
string ans{};
int s = sum;
for (int i = 0;i < num; ++i) {
if (s >= 9) {
ans.push_back('9');
s -= 9;
}
else if ( s > 0) {
ans.push_back('0' + s);
s = 0;
}
else {
ans.push_back('0');
}
}
return ans;
}
};- sol2
cpp
class Solution {
public:
string maxSumOfSquares(int num, int sum) {
// 1 > 9 ?
// 2 > 18 ?
if ( sum > num * 9)
return string("");
int cnt_9 = sum / 9;
int lf = sum % 9;
int cnt_0 = num - cnt_9;
if (0 != lf)
cnt_0--;
string ans(cnt_9, '9');
if (0 != lf)
ans.push_back('0' + lf);
ans.append( cnt_0, '0');
return ans;
}
};2.2 正确性证明
这个题目实际上求得是一个最大的序列
s e q = ( a 0 , a 1 , ⋯ , a n ) , a i ∈ { 0 , 1 , ⋯ 9 } seq = (a_0,a_1,\cdots,a_n) ,a_i \in \{ 0,1,\cdots 9\} seq=(a0,a1,⋯,an),ai∈{0,1,⋯9}
且约束为
∑ i = 0 n a i = S \sum_{i=0}^na_i=S i=0∑nai=S
要求平方和的最大值
Q = ∑ i = 0 n a i 2 Q = \sum_{i=0}^{n}a_i^2 Q=i=0∑nai2
我们简单分析下 n = 2 n=2 n=2的情况
Q = x 2 + ( S − x ) 2 = 2 ( x 2 − S x ) + S 2 Q=x^2+(S-x)^2 =2(x^2-Sx) +S^2 Q=x2+(S−x)2=2(x2−Sx)+S2
Q是一个关于x的二次函数，对称轴为 x = S 2 x=\frac{S}{2} x=2S
当 x x x离 S 2 \frac{S}{2} 2S越远，则 Q Q Q越大。
且还需要满足
0 ≤ x ≤ 9 , 0 ≤ S − x ≤ 9 0 \le x \le 9,0 \le S-x \le 9 0≤x≤9,0≤S−x≤9
S ≤ 9 S \le 9 S≤9时，最优为 0 , S 0,S 0,S
S > 9 S > 9 S>9时，最优为 9 , S − 9 9,S-9 9,S−9
如何推广到 n n n维呢？
我们只需要证明：最优序列中不可能存在两个数位都严格在 ( 0 , 9 ) (0,9) (0,9) 内部。
否则只调整这两个数位，就能让平方和变大，矛盾。
我们假设最优的解序列中有一对数 0 < a i ≤ a j < 9 0 < a_i \le a_j <9 0<ai≤aj<9 不满足上面的情况。
那我们可以作以下调整
a i ′ = a i − 1 a j ′ = a j + 1 Δ = a i ′ 2 + a j ′ 2 − a i 2 − a j 2 = 2 ( a j − a i ) + 2 a_i'=a_i-1 \quad a_j'=a_j+1\\ \Delta={a_i'}^2 +{a_j'}^2 -a_i^2-a_j^2=2(a_j-a_i) + 2 ai′=ai−1aj′=aj+1Δ=ai′2+aj′2−ai2−aj2=2(aj−ai)+2
显然 a j ≥ a i a_j\ge a_i aj≥ai,因此调整后的值会变大！这与假设的最优序列矛盾。
因此最优序列中一定不存在一对数满足 0 < a i ≤ a j < 9 0 < a_i \le a_j < 9 0<ai≤aj<9
这等价于最优序列中只存在至多一位数在 ( 0 , 9 ) (0,9) (0,9)中间
那么我们的最优序列一定是形如
9 , ⋯ , 9 , r , 0 , ⋯ 0 9,\cdots ,9,r,0,\cdots 0 9,⋯,9,r,0,⋯0