仅根据BMI反推身高和体重？还真能做到！只需要简单的数论知识~

引言

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今天在castelu大佬评论区看到这样一条评论：

我们不禁要问：能否仅根据BMI反推身高和体重？答案是肯定的，但有没有更优雅的做法？

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作者：hans774882968以及hans774882968以及hans774882968以及hans77

建模前的约定

我们知道BMI的计算公式：
$$B=wh2\; B=\backslash frac\{w\}\{h^2\}$$ B=h2w

为了方便数学建模，不妨先结合现实生活进行一些约定：

1. 体重的单位是kg，所以精确到1位小数，比如114.5kg
2. BMI使用的身高的单位是米，所以身高精确到3位小数，比如1.919米
3. 有了前两条约定，B显然是有理数，不妨设为 $PQ\; \backslash frac\{P\}\{Q\}$ QP

初步思路

进行上述约定后，凭Hans多年的算法竞赛经验（金（dǎ）牌（tiě）水平 ），一瞬间就想到，约定一个身高上限（因为很难见到3米以上的人类），便能直接枚举范围内所有可能的身高，用公式 $w=Bh2w=Bh^2$ w=Bh2 看何时能得到一位小数的体重即可。

虽然能解决问题，但局限性有点强啊......有没有更好的方法呢？有的。

Hans的想法：质因数分解

回顾BMI的计算公式，令 $W=10w,\; H=1000hW=10w,\backslash \; H=1000h$ W=10w, H=1000h ，则W和H都为正整数，代入BMI公式：
$$PQ=wh2=\; W10\; (H1000)\; 2\; =105WH2\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} W=\; PH2105Q\; (1)\; \backslash frac\{P\}\{Q\}=\backslash frac\{w\}\{h^2\}=\backslash frac\{\backslash frac\{W\}\{10\}\}\{\backslash left(\; \backslash frac\{H\}\{1000\}\; \backslash right)^2\}=10^5\; \backslash frac\{W\}\{H^2\}\; \backslash implies\; W=\backslash frac\{PH^2\}\{10^5Q\}\; \backslash tag\{1\}$$ QP=h2w=(1000H)210W=105H2W⟹W=105QPH2(1)

这里同学们不妨思考一下：为什么不变形为 $H2H^2$ H2 等于xxx，而是这样变形呢？

也就是说，我们希望找到最小的正整数H，使得 $PH2PH^2$ PH2 是 $105Q10^5Q$ 105Q 的倍数，这就是道数论题了。为了方便，不妨设BMI已经是最简分数，即P和Q互素，于是P对倍数关系没有影响，问题转化为：

求最小的正整数H，使得 $H2H^2$ H2 是 $105Q10^5Q$ 105Q 的倍数

这时，等式的分子只剩H，足够纯净，我们便不难想到：考虑 $D=105QD=10^5Q$ D=105Q 的质因数分解
$$D=\; p1\alpha 1\; p2\alpha 2\; \cdots \; pk\alpha k\; D\; =\; p\_1^\{\backslash alpha\_1\}\; p\_2^\{\backslash alpha\_2\}\; \backslash cdots\; p\_k^\{\backslash alpha\_k\}$$ D=p1α1p2α2⋯pkαk

为了让 $H2H^2$ H2 包含 $DD$ D 的所有质因数， $HH$ H 至少要包含 $\lceil \alpha i/2\rceil \; \backslash lceil\; \backslash alpha\_i\; /\; 2\; \backslash rceil$ ⌈αi/2⌉ 个 $pi\; p\_i$ pi ，因此，最小的
$$H=\; \prod i=1k\; pi\; \lceil \alpha i/2\rceil \; H\; =\; \backslash prod\_\{i=1\}^\{k\}\; p\_i^\{\backslash lceil\; \backslash alpha\_i\; /\; 2\; \backslash rceil\}$$ H=i=1∏kpi⌈αi/2⌉

对D质因数分解后立刻就能求出H，进而求出W。数据范围不太大的情况下，直接用试除法对D质因数分解即可，时间复杂度 $O(D)\; O(\backslash sqrt\{\; D\; \})$ O(D ) 。最后，我们把P和Q互素的假设去掉，1式只需稍作修改：
$$W=\; PgH2\; 105Qg\; ,\; g=gcd(P,Q)\; W=\backslash frac\{\backslash frac\{P\}\{g\}H^2\}\{10^5\; \backslash frac\{Q\}\{g\}\},\backslash \; g=gcd(P,Q)$$ W=105gQgPH2, g=gcd(P,Q)

因为 $Pg\; \backslash frac\{P\}\{g\}$ gP 和 $Qg\; \backslash frac\{Q\}\{g\}$ gQ 互素，所以只需要把上面假设的D改成 $D=105Qg\; D=10^5\; \backslash frac\{Q\}\{g\}$ D=105gQ

完整代码：

import math
from fractions import Fraction


def prime_factors(n):
    """对整数 n 进行质因数分解，返回字典 {素数: 幂次}"""
    factors = {}
    while n % 2 == 0:
        factors[2] = factors.get(2, 0) + 1
        n //= 2
    d = 3
    while d * d <= n:
        while (n % d) == 0:
            factors[d] = factors.get(d, 0) + 1
            n //= d
        d += 2
    if n > 1:
        factors[n] = factors.get(n, 0) + 1
    return factors


def find_exact_hw(bmi_value):
    """
    根据精确的有理数 BMI，构造出最小的一组
    身高精确到3位小数、体重精确到1位小数的 (h, w)
    """
    if isinstance(bmi_value, float):
        bmi_frac = Fraction(bmi_value).limit_denominator(10**9)
    else:
        bmi_frac = Fraction(bmi_value)

    P = bmi_frac.numerator
    Q = bmi_frac.denominator

    if P <= 0 or Q <= 0:
        raise ValueError("BMI 必须是正有理数")

    # 1. 计算有效分母 D = 100000 * Q / gcd(P, 100000 * Q)
    denom = 100000 * Q
    g = math.gcd(P, denom)
    D = denom // g

    # 2. 对 D 进行质因数分解
    factors = prime_factors(D)

    # 3. 构造最小的 H，使得 H^2 是 D 的倍数
    H = 1
    for p, alpha in factors.items():
        # 幂次向上取整：ceil(alpha / 2)
        power = (alpha + 1) // 2
        H *= (p ** power)

    # 4. 计算对应的 W = P * H^2 / (100000 * Q)
    # 因为 H 的构造保证了 H^2 是 D 的倍数，这里必定能整除
    W = (P * H * H) // (100000 * Q)

    # 还原为3位小数的身高和1位小数的体重
    h = H / 1000.0
    w = W / 10.0

    return h, w, H, W


if __name__ == "__main__":
    test_cases = [
        25,             # 整数
        18.5,           # 常见 BMI
        "3.14159",      # 字符串输入，避免浮点误差
        Fraction(1, 3),  # 分数 1/3
        Fraction(22, 7),  # 分数 22/7
        Fraction(560000, 29241),  # 56kg 1.71m
        Fraction(565000, 29241),  # 56.5kg 1.71m
        Fraction(65000, 3249),  # 58.5kg 1.71m
        Fraction(30625, 1681),  # 49kg 1.64m
        Fraction(5952000, 104329),  # 595.2kg 3.23m
        Fraction(28625000, 1846881),  # 114.5kg 2.718m
        114.514,
        810.1919,
    ]

    for bmi in test_cases:
        h, w, H, W = find_exact_hw(bmi)
        print(f"目标 BMI: {bmi} | 最小解: h={h:<5}米, w={w:<5}千克 | 验证: {w} / {h}^2 = {w / (h**2):.5f}")

输出：

目标 BMI: 25 | 最小解: h=0.2  米, w=1.0  千克 | 验证: 1.0 / 0.2^2 = 25.00000
目标 BMI: 18.5 | 最小解: h=1.0  米, w=18.5 千克 | 验证: 18.5 / 1.0^2 = 18.50000
目标 BMI: 3.14159 | 最小解: h=100.0米, w=31415.9千克 | 验证: 31415.9 / 100.0^2 = 3.14159
目标 BMI: 1/3 | 最小解: h=3.0  米, w=3.0  千克 | 验证: 3.0 / 3.0^2 = 0.33333
目标 BMI: 22/7 | 最小解: h=3.5  米, w=38.5 千克 | 验证: 38.5 / 3.5^2 = 3.14286
目标 BMI: 560000/29241 | 最小解: h=0.855米, w=14.0 千克 | 验证: 14.0 / 0.855^2 = 19.15119
目标 BMI: 565000/29241 | 最小解: h=1.71 米, w=56.5 千克 | 验证: 56.5 / 1.71^2 = 19.32218
目标 BMI: 65000/3249 | 最小解: h=0.57 米, w=6.5  千克 | 验证: 6.5 / 0.57^2 = 20.00616
目标 BMI: 30625/1681 | 最小解: h=1.64 米, w=49.0 千克 | 验证: 49.0 / 1.64^2 = 18.21832
目标 BMI: 5952000/104329 | 最小解: h=1.615米, w=148.8千克 | 验证: 148.8 / 1.615^2 = 57.05029
目标 BMI: 28625000/1846881 | 最小解: h=2.718米, w=114.5千克 | 验证: 114.5 / 2.718^2 = 15.49910
目标 BMI: 114.514 | 最小解: h=10.0 米, w=11451.4千克 | 验证: 11451.4 / 10.0^2 = 114.51400
目标 BMI: 810.1919 | 最小解: h=100.0米, w=8101919.0千克 | 验证: 8101919.0 / 100.0^2 = 810.19190

最后公布前面思考题的答案：

1. 为什么不变形为 $H2H^2$ H2 等于xxx，而是这样变形呢？因为验证一个分式是完全平方数 虽然可行（同学们不妨动手试试），但相比于验证一个分式是正整数，更为困难