数学

线段树维护区间 k 次方和维护一个长度为 \(n\) 的数组，支持以下操作：记 \(S_t = \sum a_i^t\) 表示区间内所有数的 \(t\) 次方和，我们需要维护 \(t = 0,1,\cdots,K\) 的所有 \(S_t\)。

[Python] 模 n 乘法的逆元计算器在 [Python] 扩展欧几里得算法一文中，我们已经接触了扩展欧几里得算法。借助扩展欧几里得算法，我们可以高效地计算模 nn n 乘法的逆元。本文会介绍相关的内容。

[Python] 扩展欧几里得算法在 [Python] 体验用欧几里得算法计算最大公约数的过程一文中，我们用 Python\text{Python} Python 实现了可以高效计算最大公约数的欧几里得算法（ Euclidean Algorithm\text{Euclidean Algorithm} Euclidean Algorithm）。在本文中，我们会探索扩展欧几里得算法（ Extended Euclidean Algorithm\text{Extended Euclidean Algorithm} Extended Euclid

n^5 和 n 的个位数是否总相等？看起来对自然数 nn n 而言， n5≡n(mod10)n^5\equiv n\pmod{10} n5≡n(mod10)，那么这个猜测是否正确呢？

借助 Pygame 探索最大公约数的规律在 [Python] 体验用欧几里得算法计算最大公约数的过程一文中，我们体验了用欧几里得算法计算最大公约数的过程。我觉得那篇文章中，引入欧几里得算法的过程有点生硬，于是想再试试其他方式。

[Python] 体验用欧几里得算法计算最大公约数的过程我们在小学时，学过最大公约数（ Greatest Common Divisor\text{Greatest Common Divisor} Greatest Common Divisor）的知识，但是当时并没有学习比较高效的求最大公约数的方法。使用欧几里得算法（ Euclidean Algorithm\text{Euclidean Algorithm} Euclidean Algorithm），可以高效地计算出自然数的最大公约数（两个自然数不能同时为 00 0）。本文带您体验这一过程。

用 Pygame 实现 15 puzzle在用 Tkinter 实现简单的 15 puzzle 一文中，我们用 Tkinter\text{Tkinter} Tkinter 实现了简单的 15 puzzle\text{15 puzzle} 15 puzzle。我想到如果用 Pygame\text{Pygame} Pygame 应该可以让界面更美观，于是我决定在那篇文章的基础上用 Pygame\text{Pygame} Pygame 来实现 15 puzzle\text{15 puzzle} 15 puzzle。

几何图，现在可以用 API 一句话生成画几何图这件事，比想象中麻烦得多。不只是"打开软件、拖几个点"——你还要保证线段长度比例合适、标注位置不遮挡图形、辅助线看起来自然、导出的图片分辨率够用。如果有十道题要配图，这是一个下午。如果是一个题库，这是一个团队好几个月的工作量。

数学之美：数字革命背后的底层逻辑据说今年高考的数学特别难。网络上有一种观点是，AI已经那么聪明了，人类还需要学数学吗？确实在最近几年，AI已经开始协助数学家研究前沿问题。另一方面，大模型的飞速迭代也让普通人体验到了AI的强大。尤其是最近一年左右的时间里，经常使用AI的人都能明显感受到，这些大模型正在以肉眼可见的速度变得越来越聪明。听不懂话、逻辑不通、产生“幻觉”胡编乱造……这些“硬伤”越来越少了。

f(n)=af(n-1)+b根据一阶线性递推式推导通项公式之前做了一道算法题，根据题意能推导出一个公式： f(n)={1,n=13f(n−1)+2,n≥2 f(n)= \begin{cases} 1, & n=1 \\ 3f(n-1)+2, & n\ge 2 \end{cases} f(n)={1,3f(n−1)+2,n=1n≥2 这里的n是整数。

闻缺陷则喜何志丹

【解析几何丘维声第二章】空间的平面和直线数学参数形式，一个点和两个不平行的两个向量。即： P = P 0 + λ u ⃗ + μ v ⃗ , u ∦ v P=P_0+\lambda\vec u+\mu \vec v,u \nparallel v P=P0+λu +μv ,u∦v 平面的普通方程：Ax+By+cZ+D=0,ABCD不全为0。定理2.1 设平面 π \pi π的方程式(2.3)，则向量 ω ( r , s , t ) \omega(r,s,t) ω(r,s,t)平行于平面 π \pi π的充分必要条件是: A r + B s +

ABC462D 题解link.给定 n n n 个区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]，求有多少个 s , i , j s,i,j s,i,j 满足 [ s , s + d ] [s,s+d] [s,s+d] 被 [ l i , r i ] ∩ [ l j , r j ] [l_i,r_i]\cap [l_j,r_j] [li,ri]∩[lj,rj] 包含，其中 1 ≤ i < j ≤ n 1\le i<j\le n 1≤i<j≤n。

用SymPy自动因式分解：从面积拼图到代数恒等式大家好，今天要解决一个痛点是关于因式分解公式的。直接说问题：用 Manim 展示 x2+5x+6=(x+2)(x+3)x2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) x2+5x+6=(x+2)(x+3) 的“十字相乘”面积模型，你需要先想好怎样把大矩形拆成四块 (x2)、(2x)、(3x)、(6)(x^2)、(2x)、(3x)、(6) (x2)、(2x)、(3x)、(6)，再手动计算每一块的边长和位置。

关于零的一些讨论在微积分发展的早期，曾经有一场关于无穷小是不是零的论战。其中反对微积分的一方提出了尖锐的问题，到底无穷小这个量是不是零。因为在涉及无穷小的计算过程中，作为加数或者减数的时候无穷小量被舍去，而作为除数的时候则被保留，这一点从逻辑的一致性上来说是不可接受的。而正统微积分解答这个问题的方法，是把无穷小作为极限为0的过程来理解。但是说实话，这个理解并不让人满意，直到今天也是一样的。

装不满的克莱因瓶

自动微分的原理：计算图与前向传播目录前言一、什么是自动微分数值微分符号微分二、自动微分的本质三、什么是计算图（Computation Graph）

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【解析几何丘维声第一章】向量代数第二部分数学作用在A点上的力F关于支点O的力矩M的大小为 ∣ M ∣ = ∣ F 2 ∣ ∣ O A ⃗ ∣ = ∣ F ∣ ∣ O A ⃗ ∣ sin ⁡ < F , O A ⃗ > |M|=|F_2||\vec {OA}|=|F||\vec {OA}|\sin<F,\vec {OA}> ∣M∣=∣F2∣∣OA ∣=∣F∣∣OA ∣sin<F,OA >力矩M的方向为：让右手四指从 O A ⃗ 弯向 F （转角小于 180 度），则大拇指指向 M 的方向 \vec{OA}弯向F（转角小于180度），则大拇指指向M

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掌握多头自注意力机制（Multi-Head Self-Attention）——Transformer 强大表达能力的核心来源目录一、前言二、为什么需要多头自注意力（一）单头Attention的问题（二）现实语言关系非常复杂1、语法关系

【初高中数学】

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链式法则如何传递参数误差 —— 深入理解神经网络中的梯度传播目录前言一、神经网络训练到底在做什么二、损失函数如何衡量误差三、为什么需要求导四、链式法则登场五、误差如何传递

用SymPy自动求解追及问题的方程做追及问题动画时，需要根据题意列方程求出相遇时间，再手动计算两个物体在每个时刻的坐标。题意中速度、初始距离、出发时间差这些参数一改变，就得重新手算一遍，整个过程繁琐且易错。