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LeetCode 3658.奇数和与偶数和的最大公约数：数论 / 数学O(1)力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/gcd-of-odd-and-even-sums/

用 AI 生成一道几何题配图：三角形四心作图案例老师准备几何课件时，最耗时间的往往不是写题目，而是画一张足够清楚的演示动图。举个例子，比如“三角形四心”这类内容。它不是只画一个三角形就结束，而是要同时处理多组构造关系：

教育 SaaS 产品如何低成本集成 AI 几何图形能力？开发者选型实录如果你在做在线练习、智能批改、AI 出题或教案生成类的教育 SaaS 产品，早晚会遇到这个问题：几何图从哪来？

[Python] 借助图形化界面探索模n运算的规律进行模 nn n 运算时，会有一些规律。如果我们能通过图形化界面来展示模 nn n 运算的结果，应该更容易发现这些规律。本文只关心 nn n 是质数的情况。

费马小定理您是否注意过以下规律？这些规律的背后是否有更深层的原因呢？我们能否证明这些规律？本文对此进行探讨。我们可以用较小的质数 pp p 进行一些试验。我想通过 Python\text{Python} Python 代码来自动生成下图展示的这种表格 ⬇️

公理化数学化学｜48小时确权终稿（完整投产包）作者：乖乖数学

算术基本定理小学时，我们学习过如何对正整数进行质因数分解，但是没有严格证明所有正整数的质因数分解的结果都是唯一的（如果不考虑质因数的顺序）。本文会介绍算术基本定理 ( The Fundamental Theorem of Arithmetic\text{The Fundamental Theorem of Arithmetic} The Fundamental Theorem of Arithmetic)

[Python] 基于欧几里得算法，实现分数约分计算器在 [Python] 体验用欧几里得算法计算最大公约数的过程一文中，我们已经了解了如何通过欧几里得算法（ Euclidean Algorithm\text{Euclidean Algorithm} Euclidean Algorithm）来计算两个自然数的最大公约数（这个自然数不能同时为 00 0）。欧几里得算法可以用于分数约分。本文会先提供基于命令行的可以进行分数约分的程序，在此基础上，再提供基于 Pygame\text{Pygame} Pygame 的可以对分数进行约分的程序。

线段树维护区间 k 次方和维护一个长度为 \(n\) 的数组，支持以下操作：记 \(S_t = \sum a_i^t\) 表示区间内所有数的 \(t\) 次方和，我们需要维护 \(t = 0,1,\cdots,K\) 的所有 \(S_t\)。

[Python] 模 n 乘法的逆元计算器在 [Python] 扩展欧几里得算法一文中，我们已经接触了扩展欧几里得算法。借助扩展欧几里得算法，我们可以高效地计算模 nn n 乘法的逆元。本文会介绍相关的内容。

[Python] 扩展欧几里得算法在 [Python] 体验用欧几里得算法计算最大公约数的过程一文中，我们用 Python\text{Python} Python 实现了可以高效计算最大公约数的欧几里得算法（ Euclidean Algorithm\text{Euclidean Algorithm} Euclidean Algorithm）。在本文中，我们会探索扩展欧几里得算法（ Extended Euclidean Algorithm\text{Extended Euclidean Algorithm} Extended Euclid

n^5 和 n 的个位数是否总相等？看起来对自然数 nn n 而言， n5≡n(mod10)n^5\equiv n\pmod{10} n5≡n(mod10)，那么这个猜测是否正确呢？

借助 Pygame 探索最大公约数的规律在 [Python] 体验用欧几里得算法计算最大公约数的过程一文中，我们体验了用欧几里得算法计算最大公约数的过程。我觉得那篇文章中，引入欧几里得算法的过程有点生硬，于是想再试试其他方式。

[Python] 体验用欧几里得算法计算最大公约数的过程我们在小学时，学过最大公约数（ Greatest Common Divisor\text{Greatest Common Divisor} Greatest Common Divisor）的知识，但是当时并没有学习比较高效的求最大公约数的方法。使用欧几里得算法（ Euclidean Algorithm\text{Euclidean Algorithm} Euclidean Algorithm），可以高效地计算出自然数的最大公约数（两个自然数不能同时为 00 0）。本文带您体验这一过程。

用 Pygame 实现 15 puzzle在用 Tkinter 实现简单的 15 puzzle 一文中，我们用 Tkinter\text{Tkinter} Tkinter 实现了简单的 15 puzzle\text{15 puzzle} 15 puzzle。我想到如果用 Pygame\text{Pygame} Pygame 应该可以让界面更美观，于是我决定在那篇文章的基础上用 Pygame\text{Pygame} Pygame 来实现 15 puzzle\text{15 puzzle} 15 puzzle。

几何图，现在可以用 API 一句话生成画几何图这件事，比想象中麻烦得多。不只是"打开软件、拖几个点"——你还要保证线段长度比例合适、标注位置不遮挡图形、辅助线看起来自然、导出的图片分辨率够用。如果有十道题要配图，这是一个下午。如果是一个题库，这是一个团队好几个月的工作量。

数学之美：数字革命背后的底层逻辑据说今年高考的数学特别难。网络上有一种观点是，AI已经那么聪明了，人类还需要学数学吗？确实在最近几年，AI已经开始协助数学家研究前沿问题。另一方面，大模型的飞速迭代也让普通人体验到了AI的强大。尤其是最近一年左右的时间里，经常使用AI的人都能明显感受到，这些大模型正在以肉眼可见的速度变得越来越聪明。听不懂话、逻辑不通、产生“幻觉”胡编乱造……这些“硬伤”越来越少了。

f(n)=af(n-1)+b根据一阶线性递推式推导通项公式之前做了一道算法题，根据题意能推导出一个公式： f(n)={1,n=13f(n−1)+2,n≥2 f(n)= \begin{cases} 1, & n=1 \\ 3f(n-1)+2, & n\ge 2 \end{cases} f(n)={1,3f(n−1)+2,n=1n≥2 这里的n是整数。

闻缺陷则喜何志丹

【解析几何丘维声第二章】空间的平面和直线数学参数形式，一个点和两个不平行的两个向量。即： P = P 0 + λ u ⃗ + μ v ⃗ , u ∦ v P=P_0+\lambda\vec u+\mu \vec v,u \nparallel v P=P0+λu +μv ,u∦v 平面的普通方程：Ax+By+cZ+D=0,ABCD不全为0。定理2.1 设平面 π \pi π的方程式(2.3)，则向量 ω ( r , s , t ) \omega(r,s,t) ω(r,s,t)平行于平面 π \pi π的充分必要条件是: A r + B s +

ABC462D 题解link.给定 n n n 个区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]，求有多少个 s , i , j s,i,j s,i,j 满足 [ s , s + d ] [s,s+d] [s,s+d] 被 [ l i , r i ] ∩ [ l j , r j ] [l_i,r_i]\cap [l_j,r_j] [li,ri]∩[lj,rj] 包含，其中 1 ≤ i < j ≤ n 1\le i<j\le n 1≤i<j≤n。