数学

实分析入门（2）-- 减法上一篇文章我们讲了自然数的构造，皮亚诺公理，还有在自然数上封闭的加法和乘法还记得为什么我们不先说减法吗，是因为减法在自然数上不是封闭的，也就是说两个自然数相减减出来的东西可能不是自然数，举个简单的例子 2−52 - 52−5 这个式子，我们都知道答案应该是 −3-3−3，但是 −3-3−3 不是自然数，所以现在只有自然数集的我们是无法讨论减法这个概念的。

哈希与向量：计算机理解现实的两座桥梁——从“怎么算得快”到“怎么更像人”你有没有想过一个问题：计算机是怎么知道“猫”和“狗”是相似的？直觉上，这应该是件很简单的事——猫和狗都是毛茸茸的宠物，都会叫，都有四条腿。

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【高等数学第九章】多元函数微分法及其应用数学当在平面引入直角坐标系后，平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应。我们常把有序实数数组(x,y)与平面上的点P视作等同的。及 R 2 = R × R ( x , y ) ∣ x , y ∈ R \R^2=\R\times \R{(x,y)|x,y\in \R} R2=R×R(x,y)∣x,y∈R 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作 E = ( x , y ) ∣ ( x , y ) 具有性质 P E={(x,y)|(x,y)具有性质P} E=(x,y)∣(x,y

布隆过滤器（Bloom Filter）技术详解布隆过滤器是一种空间效率极高的概率型数据结构，用于判断一个元素是否属于某个集合。它可以给出“一定不存在”的确定结论，以及“可能存在”的概率结论。自1970年由 Burton H. Bloom 提出以来，布隆过滤器在数据库、缓存系统、网络安全、分布式系统等领域得到了广泛应用。本文将从原理、数学模型、工程实现、变体以及应用场景等方面，对布隆过滤器进行系统、专业且全面的介绍。

如何让多个动画“齐步走”？在我们制作数学动画时，经常会遇到多个动作同时发生的情况。比如：坐标轴出现的同时，标签也跟着浮现；或者一个图形变色的同时，它也在移动。

王者荣耀与英雄联盟数值设计对比：穿透、乘算与加算、增伤乘算更厉害，减伤加算更厉害《王者荣耀》和《英雄联盟》同为MOBA游戏，但在伤害计算规则上存在一些关键差异。不少双修玩家会发现，一些在LOL里行得通的出装思路，放到王者里效果完全不同。这背后是两款游戏在数值设计上的不同取向。

数学之美——Reeds-Shepp 曲线与 Dubins 曲线Reeds-Shepp 曲线与 Dubins 曲线是平面内连接指定位姿的两点之间、满足曲率约束的最短路径曲线，在路径规划（Path Planning）领域广泛应用。

如何画圆的切线？几何作图技巧在初中和高中几何里，“圆的切线怎么画”算是非常高频的一类题。平时做题时，很多同学一看到“切线”两个字就有点紧张，觉得步骤多、图还容易画歪。其实只要抓住切线最核心的性质，这类作图题并不难：圆的切线，永远垂直于经过切点的半径。

如何灵活设置公式中各个部分的颜色？在制作数学动画时，我们经常需要突出显示公式中的某一部分。比如勾股定理 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2，我们可能想把 a2a^2a2 标成黄色， b2b^2b2 标成绿色， c2c^2c2 标成红色，以便观众可以直观地理解对应关系。

LeetCode 3783.整数的镜像距离：数学力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/mirror-distance-of-an-integer/

Manim如何在数学公式中完美显示中文？很多刚开始学习 ManimCE 的同学，在兴致勃勃地想要制作中文数学动画时，都会遇到同一个“拦路虎”：一旦在公式里输入中文，程序直接报错，红一片！

扩展欧几里得算法 exgcd 详解这篇文章断断续续码了好几天，尽量把式子和原理解释得很详细，基本把我理解 exgcd 脑内思路的全过程都写下来了。作者参考了此篇文章，但本文加入了更多新手小白所需的解释和细节。

小学数学巧填符号最全攻略｜4 种万能解法 + 例题 + 练习题（1-6 年级通用）今天给大家整理一份小学数学超好玩的题型 —— 巧填符号。很多孩子做这种题只会瞎试，其实掌握方法后，又快又准，还能大幅提升逻辑思维。

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【高等数学第八章】向量代数和空间解析几何数学既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量)，如果位移、速度、加速度、力矩等。以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 A B ⃗ \vec {AB} AB 。在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量)，即只考虑大小和方向，不考虑起点。向量a和向量b相等即a=b，两者大小相等、方向相同。也就是经过平移后完全重合的矢量相等。向量的大小叫向量的模，向量 A B ⃗ \vec{AB} AB 的模记作 ∣ A B ⃗ ∣ |\vec{AB}| ∣AB ∣。模等于1的向量是单

仅用一个二元运算符，就能生成所有初等函数All elementary functions from a single binary operator看不明白，但是这篇论文应该挺有后劲！这篇论文提出了一种革命性的数学构想：仅用一个二元运算符，就能生成所有初等函数‌。它来自波兰数学家 Andrzej Odrzywołek 在 arXiv 上发布的研究，标题为《All elementary functions from a single binary operator》。

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【高等数学第六章】定积分的应用数学比较容易理解，不赘述。有时求和y轴围成的面积更容易。例8：计算由摆线 x = a ( t − sin ⁡ t ) , y = a ( 1 − cos ⁡ t ) x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t) x=a(t−sint),y=a(1−cost)相应于 0 ≤ t ≤ 2 π 0\le t \le 2\pi 0≤t≤2π的一拱直线与直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。解按旋转体体积公式，沿x轴旋转而成的旋转提的体积为： V x = ∫ 0 2 π a π

题解：P11625 [迷宫寻路 Round 3] 迷宫寻路大赛本文同步发布至洛谷吐槽：这个题目和题半毛钱关系都没有思考一下逆序对的性质，不难发现，对于一个区间，固定右端点 r r r，然后对于左端点 l l l，不难发现随着 l l l 的增加，逆序对数量是单调不增的。

每日一题力扣 3653. 区间乘法查询后的异或 I 模拟数学位运算 C++ 题解题目链接：力扣 3653. 区间乘法查询后的异或 I示例 1：输入： nums = [1,1,1], queries = [[0,2,1,4]] 输出： 4 解释：唯一的查询 [0, 2, 1, 4] 将下标 0 到下标 2 的每个元素乘以 4。数组从 [1, 1, 1] 变为 [4, 4, 4]。所有元素的异或为 4 ^ 4 ^ 4 = 4。

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【第五章高等数学】定积分数学证明： lim ⁡ a → ∞ a x = ∞ , x > 0 \lim\limits_{a \to \infty}a^x=\infty,x>0 a→∞limax=∞,x>0 令 x 0 → 0 + , ∀ M ， A = M 1 x 0 x0\to 0^+,\forall M，A=M^{\frac 1 {x0}} x0→0+,∀M，A=Mx01 a=A 式，左式子=M。由于 a x 0 a^{x0} ax0是单调递增，a是变量，故a>A时，左式>M。故 x → 0 + 时 x \to 0^+时 x

是数学系的小孩儿

论文CCF是什么意思CCF 是 China Computer Federation 的缩写，中文全称是中国计算机学会，是中国计算机及相关领域最权威的全国性学术团体（国家一级学会），也是国内计算机学界公认的学术评价标杆。