数学

切线的魔法：用 SymPy 和 Manim 轻松搞定导数动画大家好，你有没有试过在 Manim 里做导数定义的动画？就是那个经典的场景：画一条曲线，再画一条割线，然后让割线上的一个点无限逼近另一个点，最后变成切线。

几何作图完全指南：从基础构造到三角形、圆与多边形一篇文章把初中到高中几何课会用到的常用作图方法讲清楚——点、线、圆、三角形、多边形，每一类都给出具体步骤和图示。新手照着做，老师备课快速查，AI 时代还能用一句话生成图形。

让数学公式自动推导我们在做数学公式推导的视频时，比如，想展示一个因式分解： x2+2x+1x^2+2x+1x2+2x+1 变成 (x+1)2(x+1)^2(x+1)2 的，或者反过来因式展开，都需要手动计算分解或展开后的结果。

[Java] 展示杨辉三角中数字的奇偶性我看了一个介绍分形和杨辉三角的视频，其中提到了杨辉三角中数字的奇偶性，联想到奇偶性和布尔运算有密切联系，于是写了点代码来展示杨辉三角中数字的奇偶性。

展示杨辉三角中数字的奇偶性上午我看了一个介绍分形和杨辉三角的视频，其中提到了杨辉三角中数字的奇偶性，我联想到奇偶性和布尔运算有密切的联系，于是写了点代码来展示杨辉三角中数字的奇偶性。

告别手动计算，SymPy 初识与 Manim 联动下面是我正在做的一个抛物线演示动画。需求很简单：展示一个二次函数 y=x2−2x−1y = x^2 - 2x - 1y=x2−2x−1 的图像，并在上面标注几个关键点。

手机上怎么画几何图？适合学生的在线几何作图工具（2026）电脑端的几何画板工具一大堆，但真正能在手机上流畅画几何图的工具不多。这篇文章把 2026 年学生最常遇到的三种"手机画几何"场景拆开讲，给出每种场景下最值得用的工具和具体步骤。

LeetCode 2553.分割数组中数字的数位：模拟（maybe+翻转）——java也O(1)力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/separate-the-digits-in-an-array/

大卫小东（Sheldon）

霍尔定理和最大流算法入门霍尔定理和最大流，本质是解决「二分图匹配」的两种思路——前者是"判断能不能匹配"的"理论条件"，后者是"实际算出怎么匹配、能匹配多少"的"算法工具"。读者无需记复杂公式，跟着例子走，就能看懂两者的关联和区别。

闻缺陷则喜何志丹

【高等数学第十二章】无穷级数数学高等数学大约2026年5月20号发布u i = a q i − 1 , 1 ≤ i ≤ n ，令 s n = ∑ i = 1 n u i , q ≠ 0 u_i=aq^{i-1},1 \le i \le n，令s_n=\sum\limits_{i=1}^nu_i,q\neq 0 ui=aqi−1,1≤i≤n，令sn=i=1∑nui,q=0。 q s n − s n = a q n − a → s n = a ( q n − 1 ) q − 1 qs_n-s_n=aq^n-a \to s_n=\f

几何题目自动配图技术详解：从文本到图形的智能化方案在数字化教育内容生产中，几何题配图一直是个棘手的问题。一道简单的三角形题目，人工绘制可能只需要几分钟，但当面对成百上千道题目时，这个过程就变得低效且难以标准化。

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【高等数学十一章】曲线积分与曲面积分数学高等数学大约2026年5月20号发布定义：设L为xOy面内的一条光滑曲线函数，函数f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列 M 1 , M 2 , ⋯ M n − 1 M_1,M_2,\cdots M_{n-1} M1,M2,⋯Mn−1把L分成n个小段。设第i个小段的长度为 Δ σ i \Delta \sigma_i Δσi,又 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)为第i小段上任意一点，作乘积 f ( x i , y i ) Δ σ i ( i = 1 , 2 ,

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【高等数学第十章】重积分数学高等数学大约2026年5月20号发布直径的圆周角等于90度。因为是等边三角形，故两个红色角相等，两个黄色角相等。三角形内角和是180度，故两个红色角+两个黄色角之和是180度。即红色角+绿色角度之和是90度，即圆周角是90度。

QOJ 12255 - 36 Puzzle 题解给定一个 6×66\times 66×6 的网格图，每格分别不重复地填入了一个 1∼361\sim 361∼36 的数字。你每次可以选择一行或一列，对其向上或向下（选择列），向左或向右（选择行）循环位移，使得最终这个网格图是顺排的，即第 iii 行第 jjj 列的数是 (i−1)×n+j(i-1)\times n+j(i−1)×n+j。数据保证有解，构造出一种可行方案。本题题把 1∼361\sim 361∼36 映射到了 a∼z,0∼9\tt{a}\sim\tt{z},\tt{0}\sim{9}a∼z,0

实分析入门（2）-- 减法上一篇文章我们讲了自然数的构造，皮亚诺公理，还有在自然数上封闭的加法和乘法还记得为什么我们不先说减法吗，是因为减法在自然数上不是封闭的，也就是说两个自然数相减减出来的东西可能不是自然数，举个简单的例子 2−52 - 52−5 这个式子，我们都知道答案应该是 −3-3−3，但是 −3-3−3 不是自然数，所以现在只有自然数集的我们是无法讨论减法这个概念的。

哈希与向量：计算机理解现实的两座桥梁——从“怎么算得快”到“怎么更像人”你有没有想过一个问题：计算机是怎么知道“猫”和“狗”是相似的？直觉上，这应该是件很简单的事——猫和狗都是毛茸茸的宠物，都会叫，都有四条腿。

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【高等数学第九章】多元函数微分法及其应用数学当在平面引入直角坐标系后，平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应。我们常把有序实数数组(x,y)与平面上的点P视作等同的。及 R 2 = R × R ( x , y ) ∣ x , y ∈ R \R^2=\R\times \R{(x,y)|x,y\in \R} R2=R×R(x,y)∣x,y∈R 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作 E = ( x , y ) ∣ ( x , y ) 具有性质 P E={(x,y)|(x,y)具有性质P} E=(x,y)∣(x,y

布隆过滤器（Bloom Filter）技术详解布隆过滤器是一种空间效率极高的概率型数据结构，用于判断一个元素是否属于某个集合。它可以给出“一定不存在”的确定结论，以及“可能存在”的概率结论。自1970年由 Burton H. Bloom 提出以来，布隆过滤器在数据库、缓存系统、网络安全、分布式系统等领域得到了广泛应用。本文将从原理、数学模型、工程实现、变体以及应用场景等方面，对布隆过滤器进行系统、专业且全面的介绍。