数学

每日一题力扣 3653. 区间乘法查询后的异或 I 模拟数学位运算 C++ 题解题目链接：力扣 3653. 区间乘法查询后的异或 I示例 1：输入： nums = [1,1,1], queries = [[0,2,1,4]] 输出： 4 解释：唯一的查询 [0, 2, 1, 4] 将下标 0 到下标 2 的每个元素乘以 4。数组从 [1, 1, 1] 变为 [4, 4, 4]。所有元素的异或为 4 ^ 4 ^ 4 = 4。

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【第五章高等数学】定积分数学证明： lim ⁡ a → ∞ a x = ∞ , x > 0 \lim\limits_{a \to \infty}a^x=\infty,x>0 a→∞limax=∞,x>0 令 x 0 → 0 + , ∀ M ， A = M 1 x 0 x0\to 0^+,\forall M，A=M^{\frac 1 {x0}} x0→0+,∀M，A=Mx01 a=A 式，左式子=M。由于 a x 0 a^{x0} ax0是单调递增，a是变量，故a>A时，左式>M。故 x → 0 + 时 x \to 0^+时 x

是数学系的小孩儿

论文CCF是什么意思CCF 是 China Computer Federation 的缩写，中文全称是中国计算机学会，是中国计算机及相关领域最权威的全国性学术团体（国家一级学会），也是国内计算机学界公认的学术评价标杆。

【理论推导】指数族分布的核心性质：对数配分函数的梯度为什么是充分统计量的期望？对于指数族分布，对数配分函数 A ( η ) A(\eta) A(η) 关于自然参数 η \eta η 的梯度，恰好等于该分布下充分统计量 T ( x ) T(x) T(x) 的期望，即 ∇ A ( η ) = E x ∼ q [ T ( x ) ] \nabla A(\eta) = \mathbb{E}_{x \sim q}[T(x)] ∇A(η)=Ex∼q[T(x)] 本文给出这一性质的理论证明。

如何手算圆周率？这篇文章主要想通过简单的计算（两个晚自习的量），不借助计算器，全程手算，达到祖冲之毕生的精度如下：构造等腰 Rt△ABC，使 AB=BC 且 ∠ABC=90°，点 D 在 △ABC 内且有 tan⁡∠BAD=12\tan\angle BAD=\frac{1}{2}tan∠BAD=21 且 ∠BDA=90°，BD 延长线交 AC 于点 E，过 C 作 CF⊥BD 于 F。

邪神与厨二病

Problem L. ZZUPC本来以为是三月末甚至四月初才面试，所以当时学弟找我打校赛我就答应了（我说小概率时间可能会冲突，他说没事还有另一个大爹然后发现是我队友，没绷住）。结果校赛时间定在21号，我20号晚上收到的面试通知，要我24号就面试，没招了。不过不是硬性冲突，就当是给机试练练手，所以我就还是上了。

CKKS 同态加密数学基础推导Cheon-Kim-Kim-Song (CKKS) Scheme - 首个支持近似算术的高效同态加密方案

从信息熵到相对熵的发展过程信息论之父克劳德·香农在1948年提出了信息熵的概念，用来度量一个随机变量的不确定性。想象你要告诉我明天是否下雨。如果我说"明天要么下雨要么不下雨"，这句话的信息量其实很小、几乎为零，因为你本来就知道这两种可能性。但如果我说"明天有87.3%的概率下雨，12.7%的概率不下雨"，这句话的信息量就大得多——因为它揭示了一个更精确的分布。

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【计算几何】和差化积及积化和差计算几何sin ⁡ ( α ± β ) = sin ⁡ α cos ⁡ β ± cos ⁡ α sin ⁡ β \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ正弦和公式 cos ⁡ ( α + β ) = cos ⁡ α cos ⁡ β − sin ⁡ α sin ⁡ β \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta

如何画三角形的外接圆（附几何画板教程）在几何题里，「三角形的外接圆」几乎是必考知识点。但很多人有个问题：原理知道了，真让你画——容易画歪、步骤乱、甚至不知道从哪开始。

《数论探微：进阶版》(Arithmetic Tales: Advanced Edition)最近，我翻译的 Olivier Bordellès 所著的数论教材 Arithmetic Tales Advanced Edition 的中文版《数论探微：进阶版》正式出版了。

AtCoder Beginner Contest 450 G题题解AtCoder Beginner Contest 450 - AtCoderhttps://atcoder.jp/contests/abc450

向往着的青绿色

完全平方数【Letcode279题解】完全平方数这道题目是一道很好的题目，下面写两个题解 DP 和数学的个人理解动态规划是这样的：把 f[i] 用 f[j] (j<i)相关的式子进行表示，那么我们就要想着去找一个比 i 小的 j 来构造 f[i]

从零理解 MoE（Mixture of Experts）混合专家：原理、数学、稀疏性、专家数量影响与手写 PyTorch 实现这篇博客面向已经有一定 Transformer / FFN 基础的读者。我们会从 MoE 的核心思想出发，解释它为什么能在“大参数量”和“可控计算量”之间取得平衡；然后介绍它的数学形式、稀疏路由、负载均衡，以及专家数量对预训练的影响；最后基于一份教学版 PyTorch 代码，逐模块拆解，并给出对应的小例子和完整代码。

乘法逆元的 exgcd 求法对于一个整数 a a a，它的逆元 d d d 等于 a − 1 a^{-1} a−1。显然有 a d = 1 ad=1 ad=1。

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【高等数学】四,不定积分数学定义一：如果再区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即 ∀ x ∈ I \forall x \in I ∀x∈I，都有F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx。那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数。原函数存在定理：连续函数一定存在原函数。证明：令F(a)=C，令 F ( x ) = ( ∫ a x f ( t ) d t ) + C F(x)=(\int_a^xf(t)dt)+C F(x)=(∫axf(t)dt)+C 即 F ( x + Δ ) = F ( x ) +

MT2001 幸运的3给出n个数，可以两两配对（首位相连，比如13 ，78 变成1378 或7813），每个数只能使用一次，最多能有几个三的倍数，没匹配的数不考虑

模意义下及同余的公式整理我们在做同余或模意义下式子的时候，可以把元素都先处理到最简，然后就基本可以用普通的算式性质了。最简的意思是若 a>pa>pa>p，把 a←a mod pa\leftarrow a\bmod pa←amodp。

LeetCode 1622.奇妙序列：懒更新力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/fancy-sequence/

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【巴什博弈线性筛】P8901 [USACO22DEC] Circular Barn S|普及+Farmer John 和他的死对头 Farmer Nhoj 在一个环形牛棚内玩游戏。牛棚内有 N ( 1 ≤ N ≤ 10 5 ) N(1 \le N \le 10^5) N(1≤N≤105) 个房间，第 i i i 个房间初始时内有 a i a_i ai 头奶牛 ( 1 ≤ a i ≤ 5 × 10 6 ) (1 \le a_i \le 5 \times 10^6) (1≤ai≤5×106)。游戏玩法如下：