PMSM 矢量控制（FOC）环路公式推导

M9 PMSM 矢量控制（FOC）环路公式推导

基于 M9_Flux_weakening0x2Eslx 模型，从转速给定 N 开始，逐级推导到 SVPWM 输出与反馈通路。 变量名沿用模型内部原名。

---

0. 电机与控制器参数（InitFcn）

参数	值	含义
Vdc	311 V	母线电压
Rs	0.958 Ω	定子电阻
Ld	5.25 mH	d 轴电感
Lq	12 mH	q 轴电感
flux	0.1827 V·s	永磁磁链
J	0.003 kg·m²	转动惯量
B	0.008 N·m·s/rad	粘滞摩擦
pole	4	极对数
Ts	1e-5 s	控制周期（100 kHz）
Ismax	43.3 A	最大相电流（25√3）

---

1. 转速给定 → 机械角速度 → 电角速度

N_ref  [rpm]                     % 来自 Step / From Workspace
ωm_ref = N_ref · 2π / 60         % 机械角速度 [rad/s]
ωe_ref = ωm_ref · pole            % 电角速度 [rad/s]

模型中 Speed 环的误差 = ωe_ref − ωe_feedback（反馈来自 PMSM 块的 we）。

---

2. 速度环 PI（Speed 子系统）

eω = ωe_ref − ωe                  % 转速误差
Te_raw = Kpw · eω + Kiw · ∫eω dt   % 离散：integ += Kiw·eω·Ts
Te* = sat(Te_raw, −Tmax, +Tmax)    % Saturation 限幅

Kpw、Kiw 在 InitFcn 中定义；Ba 是粘滞摩擦前馈（可选）。 输出 Te* 作为 MTPA 的输入。

---

3. MTPA 最大转矩电流比（MTPA 子系统）

模型用二次多项式拟合 MTPA 曲线（Te 为输入）：

id* = −0.0024 · Te*² + 0.5918 · Te* + 2.7841     % [A]
iq* =  0.0007 · Te*² − 0.3793 · Te* + 0.5537     % [A]

物理意义：IPMSM 凸极效应（Ld<Lq），MTPA 给负 id 弱磁增磁，相同转矩下电流最小。 当 Te* 较小时 id*≈2.78A（小信号偏移），Te* 增大时 id* 变负。

---

4. 弱磁控制（flux weak 子系统）

当转速超过基速，需要减弱永磁磁链以维持电压极限。

4.1 电压反馈（来自 PMSM 输出的 Vs_d、Vs_q）

Us = √(ud² + uq²)                 % 当前 dq 电压幅值

4.2 弱磁 PI 环

eU = Us − Us_max                  % Us_max = Vdc/√3（线性调制区）
id_wk = Kp_wk · eU + Ki_wk · ∫eU dt

4.3 电流参考合成（Switch 切换）

if ωe < ωe_base:
    id_ref = id*_mtpa             % 只走 MTPA
    iq_ref = iq*_mtpa
else:
    id_ref = id*_mtpa + id_wk      % 叠加弱磁负 id
    iq_ref = √(Ismax² − id_ref²)   % 电流极限圆约束
    % 模型中用 max(0, Ismax² − id_ref²) 保护，防止开根号负数

---

5. 电流环 PI（FOC Model 上游）

ed = id_ref − id_fb               % d 轴电流误差
eq = iq_ref − iq_fb               % q 轴电流误差

ud_pi = Kp_id · ed + Ki_id · ∫ed dt
uq_pi = Kp_q · eq + Ki_q · ∫eq dt

电流环带宽远高于速度环（通常 1~2 kHz）。

---

6. 电流前馈解耦（电流前馈子系统）

d-q 轴电压方程含交叉耦合项，用前馈抵消：

yd = ωe · Lq · iq                 % d 轴耦合电压（模型输入 Lq）
yq = ωe · (flux + Ld · id)        % q 轴反电动势 + 电感耦合

最终 dq 电压参考：

ud* = ud_pi − yd                  % 减前馈（抵消 ωe·Lq·iq）
uq* = uq_pi − yq                  % 减前馈（抵消 ωe·(flux+Ld·id)）

物理意义：PMSM 电压方程 ud = Rs・id + Ld・did/dt − ωe・Lq・iq uq = Rs・iq + Lq・diq/dt + ωe・(flux + Ld・id) 前馈把 ωe 项提前补偿，PI 只处理动态误差。

---

7. 反 Park 变换（dq → αβ）

uα = ud* · cosθe − uq* · sinθe
uβ = ud* · sinθe + uq* · cosθe

θe 来自旋变（或观测器 theta_est）。

---

8. SVPWM（FOC Model 子系统）

输入 uα、uβ、Udc，输出三相占空比：

Vref = (2/Vdc) · √(uα² + uβ²)     % 调制比
θs = atan2(uβ, uα)                % 参考矢量角度
sector = floor(θs / (π/3)) + 1     % 扇区 1~6

T1 = (√3 · Ts · Vref) · sin(π/3 − θs_in_sector)
T2 = (√3 · Ts · Vref) · sin(θs_in_sector)
T0 = Ts − T1 − T2                  % 零矢量时间

Tcm1 = (T0/2)
Tcm2 = Tcm1 + T1
Tcm3 = Tcm2 + T2

输出 Tcm1、Tcm2、Tcm3 接 PWM 脉冲发生器（Subsystem），驱动三相逆变器。

---

9. PMSM 电机本体

三相电流 ia、ib、ic 流入 PMSM 块，输出：

• 三相定子电流 is_a、is_b、is_c

• dq 电流 is_d、is_q

• 定子电压 Vs_d、Vs_q

• 转子角速度 ωe（rad/s）

• 电磁转矩 Te（N・m）

• 转子角度 θe（rad）

机械方程：

J · dωm/dt = Te − Tload − B·ωm
dθm/dt = ωm
θe = θm · pole

---

10. 反馈通路：Clark 变换（abc → αβ，幅值不变型）

iα = (2/3) · (ia − ib/2 − ic/2)
iβ = (1/√3) · (ib − ic)

幅值不变型（带 2/3），输入输出幅值相等。

---

11. 反馈通路：Park 变换（αβ → dq）

id_fb = iα · cosθe + iβ · sinθe
iq_fb = −iα · sinθe + iβ · cosθe

与反 Park 互逆。θe 用旋变角度（无感模式下用 theta_est）。

---

12. 环路总览（信号流）

N_ref
  │
  ▼
Speed PI ──→ Te*
  │
  ▼
MTPA ──→ id*, iq*
  │
  ▼
flux weak ──→ id_ref, iq_ref   (叠加弱磁)
  │
  ▼
电流环 PI (id, iq 误差)
  │                    ▲
  │  ud_pi, uq_pi      │ id_fb, iq_fb
  ▼                    │
+ 电流前馈 (yd, yq)    │
  │                    │
  ▼                    │
ud*, uq* ──→ 反 Park ──→ uα, uβ
  │
  ▼
SVPWM ──→ Tcm1/2/3 ──→ 逆变器
  │
  ▼
PMSM 电机本体 ──→ ia, ib, ic, θe, ωe
  │
  ▼
Clark ──→ iα, iβ
  │
  ▼
Park ──→ id_fb, iq_fb  ──→ 回到电流环 PI

---

附：NTSM-SMO 无感模式下的替代信号

旋变信号	无感替代	来源
θe	theta_est	NTSM-SMO 输出
ωe（速度环反馈）	we_est	NTSM-SMO 输出
we（前馈用）	we_est	NTSM-SMO 输出

无感模式下，Clark/Park 反馈通路的 θe 切换到 theta_est，速度环误差 = ωe_ref − we_est。