痛苦系列 | DSP-03 跨越单位圆：Z变换与零极点分析

文中代码及相关仿真脚本均可在 BlogCode 中获取，本篇代码集中于 DSP/dsp03 目录下。

痛苦系列 DSP 专栏：抛弃死记硬背与纯符号堆砌，从工程中的真实痛点切入，剖析直觉误区，由第一性原理推导数学工具与物理边界，并结合 Python 仿真验证。

前言

在《痛苦系列 01》与《02》中，我们讨论了连续信号的时域离散化，以及借助 DTFT 和 DFT 将时域波形转换到频域进行分析的方法。

在前面的讨论中，我们主要分析有限长序列，以及能够满足常规傅里叶变换收敛条件的序列。对于离散时间序列，绝对可和条件：

$∑n=−∞∞ ∣x$ $n$ ∣<∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x $n$ | < \infty ∑n=−∞∞∣x $n$ ∣<∞

是保证 DTFT 绝对收敛且频谱连续的充分条件，但并非 DTFT 在所有数学意义下存在的必要条件（例如有限能量序列可以在均方意义下定义 DTFT，某些周期信号也可以借助 Dirac 冲激广义函数进行描述）。

本篇为了清晰地讨论级数收敛与系统稳定性，重点关注 Z 变换的绝对收敛域（ROC）。在离散系统分析中，信号或系统的冲激响应并不总是衰减的。例如一个包含正反馈的二阶系统，或者一个指数增长的序列：

$x$ $n$ =2nu $n$ (n=0,1,2,... )x $n$ = 2^n u $n$ \quad (n = 0, 1, 2, \dots) x $n$ =2nu $n$ (n=0,1,2,...)

如果直接将其代入常规的 DTFT 级数：

$X(ejω)= ∑n=0∞ 2ne−jωn= ∑n=0∞ (2e−jω)nX(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n e^{-j\omega n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(2 e^{-j\omega}\right)^n$ X(ejω)=∑n=0∞2ne−jωn=∑n=0∞(2e−jω)n

由于公比的模长大于 1，级数求和必然发散。此时，仅在单位圆（ $∣e−jω∣=1|e^{-j\omega}| = 1$ ∣e−jω∣=1）上评估的常规傅里叶级数便失去了计算意义。

为了统一分析发散、临界以及稳定的各类离散序列，并深入探究系统的稳定性边界，我们需要将分析范围从一维的单位圆拓展到整个二维复平面。这就是引入 Z 变换（Z-Transform） 的核心原因。

本篇阅读导图：

从 DTFT 到 Z 变换 ：引入衰减因子与复变量 $zz$ z 的定义。

收敛域（ROC）的作用：为什么代数表达式必须配合 ROC 才能唯一确定时域系统？

收敛域的几何形态：从等比数列求和推导因果外域、反因果内域及系统稳定性条件。

零极点与频率响应：借助复平面曲面模型理解极点与零点对幅频特性的塑造。

极点分布与时域响应：部分分式展开的物理意义，以及极点坐标对时域波形形态的控制。

仿真设计与差分方程：以 50Hz 陷波器为例，探讨极点取舍的工程代价，并推导差分方程进行代码验证。

一、从 DTFT 到 Z 变换：衰减因子与复变量 z

对于指数发散的序列 $x$ $n$ =2nu $n$ x $n$ = 2^n u $n$ x $n$ =2nu $n$ ，直接求和会导致发散。一个直接的数学处理思路是：人为给序列乘以一个指数衰减因子 $r−nr^{-n}$ r−n（其中 $r>0r > 0$ r>0），强行将其压制为收敛序列。

设原始序列每步放大 2 倍，我们选取 $r=3r = 3$ r=3（即衰减项 $3−n3^{-n}$ 3−n），则加权后的序列变为：

$x$ $n$ ⋅r−n=2n⋅3−n= (23) n x $n$ \cdot r^{-n} = 2^n \cdot 3^{-n} = \left(\frac{2}{3}\right)^n x $n$ ⋅r−n=2n⋅3−n=(32)n

由于公比模长小于 1，随着 $nn$ n 的增大，加权后的序列迅速衰减趋向于 0。

仿真对比：衰减因子对发散信号的压制 左图是指数增长的序列 $x$ $n$ =1.2nx $n$ = 1.2^n x $n$ =1.2n；中图是直接求和时的数值发散；右图是在乘以衰减因子 $r−nr^{-n}$ r−n（取 $r=1.5r = 1.5$ r=1.5）后，序列被有效压制并顺利收敛。

对加权后的收敛序列重新进行傅里叶变换：

$X= ∑n=−∞∞ (x$ $n$ r−n)e−jωn= ∑n=−∞∞ x $n$ (rejω)−n X = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left( x $n$ r^{-n} \right) e^{-j\omega n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x $n$ \left( r e^{j\omega} \right)^{-n} X=∑n=−∞∞(x $n$ r−n)e−jωn=∑n=−∞∞x $n$ (rejω)−n

将括号内的复数项 $rejωr e^{j\omega}$ rejω 统一定义为复变量 $zz$ z：

$z=rejωz = r e^{j\omega}$ z=rejω

由此便得到了 Z 变换的定义式：

$X(z)= ∑n=−∞∞ x$ $n$ z−nX(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x $n$ z^{-n} X(z)=∑n=−∞∞x $n$ z−n

作者按： $zz$ z 是复平面上的一个点。其模长 $∣z∣=r|z| = r$ ∣z∣=r 代表径向缩放尺度（衰减/增长率），辐角 $∠z=ω\angle z = \omega$ ∠z=ω 代表角频率。当 $r=1r = 1$ r=1（即点落在单位圆上）时，Z 变换退化为 DTFT。因此，DTFT 只是 Z 变换在单位圆上的一个特例切片。

二、为什么必须关注收敛域（ROC）

在实际计算中，容易产生一种误区：认为只要通过公式代数化简得到了 $X(z)X(z)$ X(z) 的分式表达式，就完全确定了系统。

我们来看一组对比示例。

代数式完全相同的两个不同信号

分别求以下两个时域信号的 Z 变换：

信号 A（因果序列） ： $x1$ $n$ =(0.5)nu $n$ =1,;0.5,;0.25,;... x_1 $n$ = (0.5)^n u $n$ = {1, ; 0.5, ; 0.25, ; \dots} x1 $n$ =(0.5)nu $n$ =1,;0.5,;0.25,;...
信号 B（反因果序列） ： $x2$ $n$ =−(0.5)nu $-n-1$ =...,;−4,;−2,;0 x_2 $n$ = -(0.5)^n u $-n-1$ = {\dots, ; -4, ; -2, ; 0} x2 $n$ =−(0.5)nu $-n-1$ =...,;−4,;−2,;0

1. 求解信号 A：

代入定义式：

$X1(z)= ∑n=0∞ (0.5)nz−n= ∑n=0∞ (0.5z) n X_1(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (0.5)^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{0.5}{z}\right)^n$ X1(z)=∑n=0∞(0.5)nz−n=∑n=0∞(z0.5)n

这是一个公比为 $q=0.5z q = \frac{0.5}{z}$ q=z0.5 的等比数列。该级数收敛的充要条件为公比模长小于 1：

$∣q∣= ∣0.5z∣ <1 ⟹ ∣z∣>0.5 |q| = \left|\frac{0.5}{z}\right| < 1 \implies |z| > 0.5$ ∣q∣= z0.5 <1⟹∣z∣>0.5

在收敛区域内求和，结果为：

$X1(z)= 11−0.5z−1 = zz−0.5 (收敛域：∣z∣>0.5) X_1(z) = \frac{1}{1 - 0.5 z^{-1}} = \frac{z}{z - 0.5} \quad (\text{收敛域：}|z| > 0.5)$ X1(z)=1−0.5z−11=z−0.5z(收敛域：∣z∣>0.5)

2. 求解信号 B：

代入定义式：

$X2(z)= ∑n=−∞−1 −(0.5)nz−n X_2(z) = \sum_{n=-\infty}^{-1} -(0.5)^n z^{-n}$ X2(z)=∑n=−∞−1−(0.5)nz−n

令 $m=−nm = -n$ m=−n（ $mm$ m 从 $11$ 1 到 $∞\infty$ ∞）：

$X2(z)=− ∑m=1∞ (0.5)−mzm=− ∑m=1∞ (2z)m X_2(z) = -\sum_{m=1}^{\infty} (0.5)^{-m} z^m = -\sum_{m=1}^{\infty} (2z)^m$ X2(z)=−∑m=1∞(0.5)−mzm=−∑m=1∞(2z)m

该等比数列的公比为 $q=2zq = 2z$ q=2z。级数收敛的充要条件同样是模长小于 1：

$∣2z∣<1 ⟹ ∣z∣<0.5|2z| < 1 \implies |z| < 0.5$ ∣2z∣<1⟹∣z∣<0.5

在收敛区域内求和，利用等比数列首项为 $2z2z$ 2z 的求和公式：

$X2(z)=− 2z1−2z = 2z2z−1 = zz−0.5 (收敛域：∣z∣<0.5) X_2(z) = - \frac{2z}{1 - 2z} = \frac{2z}{2z - 1} = \frac{z}{z - 0.5} \quad (\text{收敛域：}|z| < 0.5)$ X2(z)=−1−2z2z=2z−12z=z−0.5z(收敛域：∣z∣<0.5)

若改写为负幂次形式，即 $11−0.5z−1 \frac{1}{1 - 0.5 z^{-1}}$ 1−0.5z−11。但需要注意，反因果序列的收敛域 $∣z∣<0.5|z| < 0.5$ ∣z∣<0.5 包含了原点 $z=0z=0$ z=0。级数在 $z=0z=0$ z=0 处直接求和的值为 $00$ 0，采用正幂次形式 $zz−0.5 \frac{z}{z - 0.5}$ z−0.5z 在 $z=0z=0$ z=0 处取值为 $00$ 0，两相吻合；而负幂次形式在 $z=0z=0$ z=0 处则会出现形式上的未定义。

对比计算结果：

$X1(z)= zz−0.5 (∣z∣>0.5)与X2(z)= zz−0.5 (∣z∣<0.5) X_1(z) = \frac{z}{z - 0.5} \quad (|z| > 0.5) \quad \text{与} \quad X_2(z) = \frac{z}{z - 0.5} \quad (|z| < 0.5)$ X1(z)=z−0.5z(∣z∣>0.5)与X2(z)=z−0.5z(∣z∣<0.5)

两者的有理函数代数表达式完全一致，但对应的时域序列一个因果且衰减，另一个反因果且发散。

作者按：脱离了收敛域（ROC），单独的 Z 变换代数表达式是不完备的。代数式描述了极点的位置，而 ROC 则决定了时域信号是向未来延展还是向过去延展，二者共同确定了系统的因果性与稳定性。

三、收敛域的几何形态与稳定性条件

收敛域在复平面上的几何形状并非随机产生，而是直接由等比级数公比模长小于 1 的条件决定：

因果序列（右边序列， $n≥0n \ge 0$ n≥0）：
- 展开项中含 $z−nz^{-n}$ z−n，即 $zz$ z 位于分母；
- 公比形式为 $q∝1z q \propto \frac{1}{z}$ q∝z1；
- 为使 $∣q∣<1|q| < 1$ ∣q∣<1，要求分母模长足够大，即 $∣z∣>R|z| > R$ ∣z∣>R；
- 收敛域表现为某个圆盘向外的开阔区域。
反因果序列（左边序列， $n<0n < 0$ n<0）：
- 展开项中含 $z∣n∣z^{|n|}$ z∣n∣，即 $zz$ z 位于分子；
- 公比形式为 $q∝zq \propto z$ q∝z；
- 为使 $∣q∣<1|q| < 1$ ∣q∣<1，要求分子模长足够小，即 $∣z∣<R|z| < R$ ∣z∣<R；
- 收敛域表现为某个圆盘向内的区域。
双边序列：
- 同时包含正负时间项，收敛域一般为内外极点之间的圆环区域 $R1<∣z∣<R2 R_1 < |z| < R_2$ R1<∣z∣<R2（边界可能根据信号具体情况退化）。

系统 BIBO 稳定的充要条件

线性时不变系统（LTI）满足 BIBO（有界输入有界输出）稳定的充要条件是：其冲激响应绝对可和：

$∑n=−∞∞ ∣h$ $n$ ∣<∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h $n$ | < \infty ∑n=−∞∞∣h $n$ ∣<∞

由于在单位圆上（ $∣z∣=1|z| = 1$ ∣z∣=1），有 $∣z−n∣=1|z^{-n}| = 1$ ∣z−n∣=1，因此单位圆上的 Z 变换级数绝对收敛，当且仅当冲激响应绝对可和。

由此可得，LTI 系统满足 BIBO 稳定的充要条件是其系统函数的收敛域完整包含单位圆：

$z:∣z∣=1⊆ROCH(z) {z : |z| = 1} \subseteq \text{ROC}{H(z)}$ z:∣z∣=1⊆ROCH(z)

对于因果有理系统 ，由于其收敛域是从最外侧极点向外延伸的开阔区域，这一条件又等价于：其全部未被消去的极点严格位于单位圆内部（ $∣pk∣<1 |p_k| < 1$ ∣pk∣<1）。

仿真对比：不同系统的收敛域划分 左图：因果稳定系统，极点在圆内，ROC 包含单位圆并向外发散；中图：反因果系统，ROC 向内收缩且未包含单位圆；右图：双边系统，ROC 位于两圆之间。

四、零极点与系统频率响应

将离散系统的传递函数写为零极点形式：

$H(z)= B(z)A(z) = b0(z−z1)(z−z2)...(z−zM) (z−p1)(z−p2)...(z−pN) H(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{b_0 (z - z_1)(z - z_2)\dots(z - z_M)}{(z - p_1)(z - p_2)\dots(z - p_N)}$ H(z)=A(z)B(z)=(z−p1)(z−p2)...(z−pN)b0(z−z1)(z−z2)...(z−zM)

分子为 0 的根 $zk z_k$ zk 称为零点（Zeros）；
分母为 0 的根 $pk p_k$ pk 称为极点（Poles）。

1. 复平面上的曲面模型

为了直观理解零极点如何塑造系统的频响特性，我们可以将复平面上的模值 $∣H(z)∣|H(z)|$ ∣H(z)∣ 视作一张受零极点约束的三维曲面：

极点：分母趋向于 0，使曲面向上隆起形成高耸的山峰。极点靠近单位圆时，会在对应频率处产生明显的谐振或通带放大；
零点：分子为 0，使曲面高度降为零。零点落在单位圆上时，会将对应频率的响应完全压低至零（陷波）；
频率响应（DTFT） ：正是沿着单位圆周 $∣z∣=1|z| = 1$ ∣z∣=1 截取的一圈曲面高度变化。

三维曲面：复平面零极点曲面与单位圆截面频响 图中山峰由极点顶起，青色粗线为沿单位圆截取的频率响应曲线。

2. 零点与极点的相互影响

零极点对频率响应的作用可以用复数矢量的几何距离来解释。对于单位圆上的任意一点 $ejωe^{j\omega}$ ejω：

$∣H(ejω)∣=∣b0∣ ∏k=1M ∣ejω−zk∣ ∏k=1N ∣ejω−pk∣ |H(e^{j\omega})| = |b_0| \frac{\prod_{k=1}^M |e^{j\omega} - z_k|}{\prod_{k=1}^N |e^{j\omega} - p_k|}$ ∣H(ejω)∣=∣b0∣∏k=1N∣ejω−pk∣∏k=1M∣ejω−zk∣

即该频率点的响应幅度，等于该点到所有零点的距离连乘，除以到所有极点的距离连乘。

当零点与极点具有相同或相近的辐角、但模长不同时，它们会共同塑造该频率附近的响应形态：

仿真对比：零点对极点共振峰的抑制 左图为纯极点系统的频响尖峰；右图为在同角度引入零点后，零点将对应频率处的幅度压低为 0，消除了共振。

零点位于单位圆上时，会将对应数字角频率处的响应压低为 0；而靠近该零点的极点，则有助于收窄陷波宽度，使远离陷波中心的频率响应更快地回升平坦。

需要澄清的是：只有当零点与极点位于完全相同的复数位置时，才构成严格的代数极零相消。零点与极点仅处于同一角度但模长不同，并不发生代数约分，而是通过几何距离的比值变化共同影响频带特性。

五、极点分布与时域冲激响应

极点不仅在频域上塑造了滤波器的幅频形状，在时域上，它更直接决定了系统冲激响应 $h$ $n$ h $n$ h $n$ 的衰减与振荡特性。

1. 逆 Z 变换与并联基本项

严格的逆 Z 变换通过复平面上的闭合围线积分定义：

$h$ $n$ = 12πj ∮CH(z)zn−1dzh $n$ = \frac{1}{2\pi j} \oint_C H(z) z^{n-1} dz h $n$ =2πj1∮CH(z)zn−1dz

其中积分路径位于 $H(z)H(z)$ H(z) 的收敛域内，并按逆时针方向围绕原点积分。

在实际分析中，更通用且直观的方法是部分分式展开（Partial Fraction Expansion）。对于极点互异、且分子阶数小于分母阶数的严格真分式有理系统，传递函数可以拆解为若干一阶分式之和：

$H(z)= ∑k=1N Ak 1−pkz−1 H(z) = \sum_{k=1}^N \frac{A_k}{1 - p_k z^{-1}}$ H(z)=∑k=1N1−pkz−1Ak

（若系统包含直接通路项，还需增加常数项 $DD$ D；若存在重极点，则需引入更高阶的分式项）。

这一展开说明：极点互异的有理系统，其时域冲激响应可以看作多个一阶基本子系统（单极点模态）响应的线性叠加。对单个因果子系统求逆变换得到：

$1 1−pkz−1 ⟷ 因果 pknu$ $n$ \frac{1}{1 - p_k z^{-1}} \quad \stackrel{\text{因果}}{\longleftrightarrow} \quad p_k^n u $n$ 1−pkz−11⟷因果pknu $n$

因此，每个极点 $pk p_k$ pk 的位置分别决定了一个独立模态的时域表现。

2. 极点位置与时域波形对应关系

设极点坐标为 $p=rpe jωp p = r_p e^{j\omega_p}$ p=rpejωp：

极点位置	几何特征	时域响应的典型形态（因果系统）	系统特性
$0<p<10 < p < 1$ 0<p<1	实轴右侧，圆内	$pnu$ $n$ p^n u $n$ pnu $n$ ，单调指数衰减	衰减模态
$−1<p<0-1 < p < 0$ −1<p<0	实轴左侧，圆内	$pnu$ $n$ p^n u $n$ pnu $n$ ，正负交替且幅值衰减	交替衰减模态
$p=re ±jω0 ,r<1p = r e^{\pm j\omega_0}, r < 1$ p=re±jω0,r<1	复平面上下共轭，圆内	$rncos⁡(ω0n+ϕ)u$ $n$ r^n \cos(\omega_0 n + \phi) u $n$ rncos(ω0n+ϕ)u $n$ ，带指数包络的振荡	阻尼振荡模态
$p=e ±jω0 p = e^{\pm j\omega_0}$ p=e±jω0	单位圆边界 $	p	= 1$	等幅持续振荡	不满足 BIBO 稳定
**$	p	> 1$**	单位圆外侧 $	p	> 1$	指数增长；复极点还会伴随振荡	发散不稳定

注：表中 $ϕ\phi$ ϕ 为相位常数，波形的具体幅值与相位由零点分布和激励条件决定。特别需要区分的是：单位圆上的单极点虽能产生有界的等幅持续振荡，但其冲激响应不满足绝对可和条件，且在受到同频正弦波输入时输出会线性增长发散，因此严格来说不满足 BIBO 稳定性。
仿真对比：极点位置变化对应的时域响应 左图（ $r=0.95r=0.95$ r=0.95，圆内）：能量自然衰减收敛；中图（ $r=1.0r=1.0$ r=1.0，圆上）：等幅持续振荡；右图（ $r=1.05r=1.05$ r=1.05，圆外）：幅值迅速发散溢出。

六、仿真设计：50Hz 陷波器与差分方程实现

在尚未系统展开 FIR 与 IIR 滤波理论之前，我们通过一个 50Hz 陷波器的极简设计，来演示前面讨论的零极点几何关系是如何直接转化为工程代码的。这不仅是一次"复平面图纸到硬件实现"的演练，更展示了 Z 变换如何回答"时域差分方程系数从何而来"的核心问题。

设计设定

假定系统采样率为 $fs=1000 Hz f_s = 1000\text{ Hz}$ fs=1000 Hz。我们希望滤除信号中存在的 50Hz 干扰，同时尽量保证其他频率信号的幅值不受影响。

1. 计算目标角频率

采样率 $fs=1000 Hz f_s = 1000\text{ Hz}$ fs=1000 Hz 对应角频率 $2π2\pi$ 2π。因此 50Hz 对应的数字角频率为：

$ω0=2π f0fs =2π501000=0.1π rad/sample \omega_0 = 2\pi \frac{f_0}{f_s} = 2\pi \frac{50}{1000} = 0.1\pi\text{ rad/sample}$ ω0=2πfsf0=2π100050=0.1π rad/sample

2. 放置零点以形成陷波点

为了在 50Hz 处实现完全抑制，在单位圆对应的角度上配置一对共轭零点（模长为 1，角度为 $±0.1π\pm 0.1\pi$ ±0.1π）：

$z1=ej0.1π,z2=e−j0.1π z_1 = e^{j 0.1\pi}, \quad z_2 = e^{-j 0.1\pi}$ z1=ej0.1π,z2=e−j0.1π

分子多项式展开为：

$B(z)=(1−z1z−1)(1−z2z−1)=1−2cos⁡(0.1π)z−1+z−2B(z) = (1 - z_1 z^{-1})(1 - z_2 z^{-1}) = 1 - 2\cos(0.1\pi)z^{-1} + z^{-2}$ B(z)=(1−z1z−1)(1−z2z−1)=1−2cos(0.1π)z−1+z−2

3. 放置极点以收窄阻带

若只使用这一对零点，零点引起的衰减会波及较宽的邻近频带。

为了收窄陷波宽度，在完全相同的角度方向、略微靠内的位置（取半径 $r=0.95r = 0.95$ r=0.95）放置一对共轭极点：

$p1=0.95ej0.1π,p2=0.95e−j0.1π p_1 = 0.95 e^{j 0.1\pi}, \quad p_2 = 0.95 e^{-j 0.1\pi}$ p1=0.95ej0.1π,p2=0.95e−j0.1π

分母多项式展开为：

$A(z)=(1−p1z−1)(1−p2z−1)=1−2(0.95)cos⁡(0.1π)z−1+0.952z−2A(z) = (1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1}) = 1 - 2(0.95)\cos(0.1\pi)z^{-1} + 0.95^2 z^{-2}$ A(z)=(1−p1z−1)(1−p2z−1)=1−2(0.95)cos(0.1π)z−1+0.952z−2

在偏离 50Hz 的频带上，极点与零点距离接近，幅值相互抵消，使得通带响应迅速恢复平坦。

4. 极点参数的工程取舍：频带宽度与时域代价

在这里，可能会产生一个实际追问：为什么极点半径选 $r=0.95r = 0.95$ r=0.95？如果为了让陷波凹槽更窄、更陡峭，直接选 $r=0.999r = 0.999$ r=0.999 是否更好？

在实际工程设计中，极点位置的选择是一个典型的综合权衡（Trade-off）：

频域陡度 vs 时域瞬态振铃（Ringing） ：极点模长 $rr$ r 越逼近 1，陷波凹槽确实越狭窄，对 50Hz 以外信号的误伤越小；但根据前文的模态分析，冲激响应衰减速度由 $rnr^n$ rn 决定。若取 $r=0.999r = 0.999$ r=0.999，系统冲激响应衰减极慢。一旦输入信号中混入脉冲或台阶阶跃扰动，时域会拖出长达数百甚至上千个采样点的高频振荡（振铃），系统需要很长时间才能恢复平稳；
定点硬件截断与极点外漂（有限字长效应） ：在 PC 端的双精度浮点环境下， $r=0.999r = 0.999$ r=0.999 是稳定的；但在许多基于 16 位定点 DSP 或低成本微控制器的嵌入式系统中，多项式系数必须定点截断。极点如果紧贴着单位圆、缺乏足够的安全裕量（Safety Margin） ，极微小的量化舍入误差就可能将极点踢出单位圆（ $∣p∣≥1|p| \ge 1$ ∣p∣≥1），导致硬件系统一通电就自激震荡或输出顶死满轨。

工程中选择 $r=0.95r = 0.95$ r=0.95，正是频域过渡带宽度、时域收敛速度与硬件数值安全三者权衡折中的结果。

5. 差分方程推导与时延实现

得到系统函数后，需要将其转化为可在代码中递推执行的差分方程。

传递函数表示为：

$H(z)= Y(z)X(z) = 1+b1z−1+b2z−2 1+a1z−1+a2z−2 H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}$ H(z)=X(z)Y(z)=1+a1z−1+a2z−21+b1z−1+b2z−2

其中 $z−1z^{-1}$ z−1 对应时域中的单步时延操作（ $z−1X(z)↔x$ $n-1$ z^{-1} X(z) \leftrightarrow x $n-1$ z−1X(z)↔x $n-1$ ）。交叉相乘后移项整理：

$y$ $n$ =x $n$ +b1x $n-1$ +b2x $n-2$ −a1y $n-1$ −a2y $n-2$ y $n$ = x $n$ + b_1 x $n-1$ + b_2 x $n-2$ - a_1 y $n-1$ - a_2 y $n-2$ y $n$ =x $n$ +b1x $n-1$ +b2x $n-2$ −a1y $n-1$ −a2y $n-2$

多项式系数分别为：

$b1=−2cos⁡(0.1π) b_1 = -2\cos(0.1\pi)$ b1=−2cos(0.1π)
$b2=1 b_2 = 1$ b2=1
$a1=−2×0.95cos⁡(0.1π) a_1 = -2 \times 0.95 \cos(0.1\pi)$ a1=−2×0.95cos(0.1π)
$a2=0.952 a_2 = 0.95^2$ a2=0.952

这就是 scipy.signal.lfilter(b, a, x) 在内部递推执行的标准差分方程形式。

6. 直流增益归一化考量

代入直流处（ $ω=0\omega = 0$ ω=0，即 $z=1z = 1$ z=1）计算当前系统的幅度响应：

$H(1)= B(1)A(1) = 2−2cos⁡(0.1π)1−2(0.95)cos⁡(0.1π)+0.952 ≈1.02507H(1) = \frac{B(1)}{A(1)} = \frac{2 - 2\cos(0.1\pi)}{1 - 2(0.95)\cos(0.1\pi) + 0.95^2} \approx 1.02507$ H(1)=A(1)B(1)=1−2(0.95)cos(0.1π)+0.9522−2cos(0.1π)≈1.02507

计算可得 $20 log⁡10 ∣H(1)∣≈0.215 dB 20\log_{10}|H(1)| \approx 0.215\text{ dB}$ 20log10∣H(1)∣≈0.215 dB，直流增益存在微小的抬升。若需要使直流增益精确归一化为 1（0 dB），可在输入端添加缩放因子：

$G= 1H(1) = A(1)B(1) ≈0.97554 G = \frac{1}{H(1)} = \frac{A(1)}{B(1)} \approx 0.97554$ G=H(1)1=B(1)A(1)≈0.97554

这一校正保证了直流增益严格为 0 dB，避免滤波后信号整体幅度发生系统性放大。

仿真对比：50Hz 陷波器零极点布局、频响与滤波效果 左图为零极点复平面布局；中图为系统频响曲线，在 50Hz 处呈现明显的凹陷；右图为时域仿真，合成波形经过滤波后滤除了 50Hz 干扰成分。

七、总结

Z 变换通过引入径向缩放因子，将原本局限于单位圆的傅里叶分析拓展到了整个复平面。

收敛域（ROC） 是连接代数多项式与时域物理系统的桥梁，界定了系统的因果性与稳定性；
极点决定了系统的固有模态与稳定性边界，极点全部落在单位圆内是因果系统 BIBO 稳定的充要条件；
零极点分布 直观反映了系统在各频段的响应特征，通过合理配置零极点的几何位置，可以直接推导出对应的时域差分方程。

Z 变换与傅里叶变换的工程分工

在实际工程中，很多初学者容易混淆 Z 变换与傅里叶变换的使用场景。其实二者有着清晰的分工：

运行期（Runtime）看 FFT：FFT 吃进实时数据流、吐出离散频谱，直接用于波形监测、特征识别与频域滤波；
设计期（Design Time）看 Z 变换 ：在工程代码跑起来的时候，硬件几乎不会去计算连续复变函数 $X(z)X(z)$ X(z)。Z 变换的真正角色，是工程师在写代码之前，用来把频域滤波意图翻译成时域差分方程系数、并在部署前验算系统稳定边界与量化容错的"离线审查图纸"。

在下一篇中，我们将进一步讨论数字滤波器的具体设计方法，聚焦于 FIR 滤波器中的线性相位特性与窗函数的选择权衡。

附录：本篇仿真代码

本篇涉及的仿真脚本可在代码仓库中获取：DSP/dsp03/pain_series_03_demo.py。

bash 复制代码

# 依赖安装
pip install numpy matplotlib scipy

# 运行仿真实验
python DSP/dsp03/pain_series_03_demo.py