路径优化数学建模
- 基本假设：起点固定，不考虑回程，重量时间体积硬约束，经停点停留时间，开放式路径，时效约束，不拆单
- min车辆数、min车辆数+里程数、min总成本【用到两阶段：跨区成本最低，放小车辆数-》里程短】
- 每个客户点服务一次
- 决策变量：xijk yik：客户被车k服务 zk：车k被使用一次 uik：车k访问i时累计重量
- 多目标：第一目标车辆数【sum(zk)】最小，第二目标里程最短（sum(dij * xijk)）->minF=a * F1+b * F2, a>>b【数学规划里，决策变量可只出现在约束中，不出现在目标函数里】
- 约束：
- 每个客户必须且仅被服务一次：sum(yik)=1；
- 车辆使用与路径起终点约束：sumx0jk=zk；
- 车辆容量约束：车辆k服务总重量不超过车辆最大载重 sum(qi * yik)<=Qzk;
- 车辆运营时间约束：tij* xijk + si* yik<=Tmax；
- 路径连续性约束(车k服务客户i，则它有一条进入i的路和一条离开i的路)：sum(xijk)=yik, sum(xjik)=yik.
- 子回路消除约束（重要）：给每个送货点排个先后顺序，必须一路往前走，不许绕圈圈，不会在半路打转【防止车辆不去别的点，也不回起点】uik-ujk+M* xijk<=M-1 qi<=uik<=Q
【MTZ和DFJ区别】：MTZ多项式规模但LP松弛弱，DFJ指数规模但LP松弛紧
建模技巧：两个约束"至少满足一个"怎么建模？ML和OR怎么结合？
大M法+二进制变量。如 a* x<=b1+M(1-y);c* x<=b2+M* y；扩展：至少满足k个约束，Ai* x<=bi+M(1-yi), sumyi>=k
ML预测+OR优化：需求预测，库存优化；ML加速OR：ML学习OR启发式，如学习分支策略，学习割平面；OR优化ML：OR调ML超参数，贝叶斯优化调参；端到端学习优化：ML直接输出决策。
路径优化的三类不同解法
- 精确算法：分支定界、分支割平面、列生成、分支定价、动态规划
- 启发式算法：节约算法、扫描算法、最近邻算法
- 元启发式算法：禁忌算法、模拟退火、遗传算法、大邻域搜索、自适应大邻域搜索
启发式算法【具体问题的经验规则】：针对某个问题，用经验规则快速找到一个能用的解，即快速找个解。通常一次构造，不迭代，容易陷入局部最优；典型算法：节约算法，最近邻，扫描，贪心
元启发式算法【通用搜索框架】：用一个通用框架，反复改进解，努力跳出局部最优，找更好的解，即不断折腾，把解越改越好。一定迭代，反复改进，合理时间内找近优解。典型算法：模拟退火，禁忌搜索，遗传算法，ALNS
启发式是元启发式的起点和零件，元启发式是启发式的升级和指挥。启发式是找一个能用的解，元启发式是不断折腾，把解越改越好。
混合策略：先用启发式快速构造初始解，再用gurobi做局部精确优化，大规模用ALNS小规模用gurobi。
精确算法
分支定界【branch and bound】（枚举+剪枝；精确但慢，上界（贪心可行，兜底）+下界（松弛后分支对比上界），松弛、分支、剪枝）；
分支割平面【branch and cut】（分支+割平面；先割，割不动再分）；
列生成【column generation】（主问题+定价子问题）；
Branch and price【分支定价】(列生成+分支定界)；
动态规划（状态转移；两个条件：大问题拆成小问题，小问题答案能重复；适合背包问题，最短路径，资源分配）
分支定界：先找兜底定上界，放松规矩定下界，下界若比上界差，这一枝子全砍掉，找到更好压上界，越找越省油
分支定界过程：1）先解松弛，得到下界（理论最乐观）；2）分支，找可行解，把上界从正无穷降下来；3）继续分支，把下界提上去；4）上下界越来越近，最后相等或差距够小，问题收敛。总结：分支既可能降低上界，也可能提升下界【找到更好的可行解，降低上界；子问题更松弛，提升下界。找到整数可行解，就用它更新上界；如果解出来还是分数，但目标值比父节点更接近整数最优，则这个子问题下界会提升，带动全局下界提升】。
分支的节点选择：1）深度优先【一条路走到底，适合找可行解】；2）广度优先【一层层看，内存爆炸】；3）最佳优先【看哪个下界最好，最小化问题下界最小，适用于证明最优优先】；4）最优估计【不止看下界，还看最有希望；结合下界和估计，更聪明，缺点是估计函数难设计】；5）混合策略（前期深度，中期最佳优先，后期最优估计）
分支割平面：放松以后出假解，半趟半路都不行，加条规矩切掉它，真方案不能切掉，先割再分更聪明，下界变紧算的快，这个就叫割平面，分支割平面一起来。-》分支定界+割平面，割平面负责切掉假答案，分支定界负责分情况找真答案
列生成：定义主问题，构建对偶问题，定价子问题（min reduced cost），分支【避免枚举所有列】注意，列生成只求解线性松弛，若要求整数解，则需结合分支定界，即branch and price（列生成+分支定界->分支定价）
列生成的循环：初始RMP->解RMP【restricted master problem】->得到赏金（对偶问题）->定价子问题：找新路线（标签算法或启发式定价，搜索新路线，使得"成本-赏金之和"最小）->加列（加进菜单）->重新解RMP->赏金更新->再找新路线（标签算法）【解RMP->定价->加列->再解】
标签算法：看赏金榜->从车场出发->每走一步记一笔->砍掉不划算->保留有希望->回到车场->选最负的【定价子问题从车场出发，按赏金和油钱一步步计算，找到reduced cost最负那条路线】，新生成的路线列叠加到模型约束中（竖的列）
启发式定价（快速找到一条reduced cost<0的路径）：贪心算法、插入法、邻域搜索法、限制候选列表、随机扰动
【列生成和分支定界区别】：列生成动态生成变量，分支定界固定变量
列生成与分支定价：变量数目远大于约束条件时用什么方法？主问题和子问题分别是什么？Branch and Price的流程？
ans：
用列生成，即不一次性枚举所有值，只维护部分列，通过定价子问题动态生成新列。当变量数远大于约束数时，用列生成，它不枚举所有列，而是先限制主问题，得到对偶价格，再用定价子问题找负reduced cost列，动态加入，这样避免指数及的列枚举。
主问题：集合覆盖模型，即从所有可行路径中选一组，使总成本最小，覆盖所有客户。子问题是定价问题，找一条路径使得reduced cost最负，即成本减去覆盖客户的对偶价格之和最小。子问题在VRP中是带资源约束的最短路径问题，用标签算法求解。
分支定价问题：列生成只解LP松弛，可能得到分数解，要得到整数解，必须要结合分支定界，组合成分支定价问题。
分支定价流程：1）初始化RMP：用节约算法（启发式）生成少量初始列；2）求解RMP，得到对偶变量pie；3）求解定价问题：找负列，找到就加入RMP重新解，直到无负列；4）检查LP解是否为整数：是整数，更新上界，剪枝；是分数，进如step5；5）分支：选择分支变量，生成两个子节点；6）对每个子节点：继承父节点列池；重新运行列生成；递归分支；7）直到所有节点剪枝，找到整数最优解。
如何判断上界和下界已收敛：6种判断。1）gap小于1%或5% 2）上下界不变：连续多次迭代 3）时间限制 4）节点限制：内存爆炸 5）无改进迭代：连续n次无改进 6）对偶gap：定价子问题无负reduced cost列
启发式算法
构造启发式：【节约算法（从每条客户单独一条线，合并节省最多）】，扫描算法（极角排序），最近邻算法（最临近点）
节约算法：sij = d(0,i)+d(0,j)-d(i,j)_;本质是先让每个客户单独跑，然后算把两个客户串起来省多少，按省的多顺序合并，直到装不下为止。
元启发式算法
禁忌搜索（记录禁忌表，避免循环）；模拟退火（以概率接受劣解）；遗传算法（适合多目标）；大领域搜索（破坏+修复）；自适应大领域搜索（多算子自适应选择）
NS（单点搜索，变领域结构，即从当前解出发，探索领域，如2-opt，3-opt，主要是用交换，插入和反转生成新解，但易陷入局部最优）
模拟退火（以一定概率接受差解，概率随问题降低而减小，接受概率=exp(-delta/T），delta=新解-当前解（最小化问题），T=当前温度，初始温度高，逐渐降低。）
遗传算法（模拟生物进化，通过选择，交叉和变异产生下一代；选择：轮盘赌，保留适应度高个体，交叉：两个父代产生子代；变异：随机改变个体基因）
蚁群算法（根据信息素浓度选择路径，信息素随迭代挥发和更新，启发式信息yita，转移概率权重=tau*yita，挥发率和加强【delta加强=信息素总量Q/该只蚂蚁走过的最短路径，每条弧新一轮的信息素=上一轮所有蚂蚁的信息素在该弧留下的delta tau进行加总】）
蚁群算法流程：1）初始化：所有弧（tauij）=1 信息素；2）a。每只蚂蚁构造一条完整路径：从车场出发，按转移概率【通过轮盘赌进行选择】选择下一个客户，直到所有客户被访问，回到车场；b。计算每只蚂蚁路径长度Lk；c。信息素挥发；d。信息素加强：对每只蚂蚁经过的弧，加Q/Lk，或只对最优蚂蚁加；e。记录当前最优路径；f。t=t+1 ；3）输出全局最优路径
ALNS（核心：破坏+修复，多个算子自适应选择；1）初始解 2）选择破坏算子 3）选择修复算子 4）根据算子表现自适应调整权重 5）接受准则【模拟退火，记录最优】6）直到收敛）
ALNS：1）构造初始解（节约算法构造）2）选择破坏算子(删除部分客户) 3）选择修复算子（贪心插入，遗憾插入）4）根据算子表现自适应权重 5）接受准则（模拟退火，记录最优）6）迭代直到收敛
禁忌搜索（允许接收劣解，更新禁忌表，藐视准则，即新解优于全局最优，就破禁）
禁忌搜索算法流程：1）初始解构造；2）初始化禁忌表；3）重复直到终止：a. 生成当前解的领域候选算子；b. 在候选解选一个：不在禁忌表中或满足藐视准则；c. 选择最好的候选解作为新的当前解（即使比当前解差）;d. 更新禁忌表：加入刚刚的操作，释放过期的禁忌；e. 如果新解优于历史最优，更新最优解；4）输出历史最优解
禁忌表中邻域算子设计：移动（客户a从路线A挪到路线B）；交换（交换路线A和路线B的一个客户）；2-opt（交换两条路线尾段）；Or-opt（段移动，把一条路线中连续2-3个客户移到另一条路线）
2-opt：一条路线内反转一段，消除交叉
3-opt：一条路线内拆三段重连，更强但更慢
swap：交换两个客户，可跨路线，局部微调。
VRP工程化
大规模VRP工程化：1）问题分解（区域分区，聚类）2）求解加速（并行化，多线程，增量式计算目标函数）3）调优（设置timelimit，设置minGap，添加有效不等式【割平面】）
怎么保证秒级求解：候选列表+增量计算+并行+分区
精确算法何时用：需要最优解，离线规划用
如何处理不可行解：软约束+惩罚项，或修复算子保证可行性
动态VRP如何处理：滚动时域优化，新订单实时插入，已有路线局部调整
Gurobi调优：1）设置mipGap 2）设置timelimit 3）设置mipStart 4）调整mipFocus(1=找可行解，2=证明最优) 5）添加有效不等式（割平面）
热启动：本质是提供一个好的初始上界，让它有上界可以剪枝，加速剪枝【类似先找到一个初始可行解】
两阶段：先聚类后路由；或先路由后聚类
Gurobi求解时间太长怎么优化（收紧可行域、添加割平面、调整参数、热启动）？Gap长时间不收敛怎么办？
gap不收敛，说明下界上不去（LP松弛太弱，需要加割平面或改模型），上界下不来（找不到更好的可行解，需要启发式或热启动）
加割平面：提高下界，砍掉分数值；调mipFocus=1，优先找可行解，压低上界；调参数：增强启发式，找更好的可行解；热启动：给更好的初始解；分解问题：按区域/时间分批求解；放宽gap：接受2%-5%gap；设timelimit：时间到就返回当前最优；数值调优。
遇到gurobi慢，4步走：1）诊断：看日志，根节点gap，LP松弛强度(LP松弛强度=LP下界离真实最优解有多近，LP松弛紧，说明LP解已接近整数最优解.)；2）收紧可行域：筛选变量，加业务约束，设变量上下界；3）加割平面：容量割，时间割；子回路割，调cuts参数；4）调参数+热启动：timelimit，启发式，mipGap，MIPStart。
判断是上界还是下界，主要根据gurobi日志里的incumbent和bestBd两列，看哪个停留久，如果incumbent停留久，说明上界下不去，此时要用增强启发式，或给mipStart热启动；若bestBd停留久，说明下界上不来，LP松弛弱，此时要增强割平面。
线性规划基础
单纯形法步骤、检验数和影子价格含义、强对偶弱对偶、拉格朗日松弛系数怎么求
单纯形法步骤：1）化为标准型：引入松弛变量，将不等式变为等式；2）找初始可行解：令非基变量为0，解出基变量；3）计算检验数；4）判断最优；5）选择入基变量；6）选择出基变量；7）枢轴运算：高斯消元，更新基；8）重复步骤，直到最优或无界。
检验数：表示非基变量xj每增加一个单位，目标函数的变化量；对于最小化问题，检验数小于0，说明增加xj能降低目标，应入基；所有检验数大于等于0时最优。
影子价格（对偶价格）：对应对偶变量pie；表示约束右端bi增加1单位，目标函数的变化量，也叫对偶价格，是约束的边际价值，它衡量的是这个约束有多紧，多值钱；影子价格>0：该资源稀缺，增加资源能改善目标；影子价格=0,：该资源有剩余，增加无益。
弱对偶：对任意可行解x和y（对偶问题），c* x>=b* y，对偶目标值总是原问题目标值的下界。强对偶：如果原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，即c* x=b* y，即原问题和对偶问题最优目标值相等。【意义：强对偶是列生成，对偶单纯形法的理论基础】
拉格朗日松弛系数怎么求：原问题：min c* x st. Ax<=b -》转换为：L(x,lamda)=c* x + lambda* (Ax-b)，lambda>=0；拉格朗日对偶函数：g(lambda)=min(x)L(x,lambda)，对偶问题：max(lambda>=0)g(lambda)
影子价格vs检验数：检验数 对应 变量，即非基变量增加1单位，目标函数变化多少；影子价格 对应 约束，约束右端增加1单位，目标函数变化多少