结论 1
dpdds=w Tr+d′ Nr,w:=1−krd \frac{d\mathbf p_d}{ds}=w\,\mathbf T_r+d'\,\mathbf N_r,\qquad w:=1-k_r d dsdpd=wTr+d′Nr,w:=1−krd
几何读法：沿参考线走 dsdsds，切向自然前进 dsdsds；但因为标架转了 krdsk_r dskrds 的角度，偏移点被「甩」回去 d kr dsd\,k_r\,dsdkrds，两者相减得 w dsw\,dswds。这就是「内侧弧长变短、外侧弧长变长」的微分版本。
STEP 06.3 偏移曲线的弧长与「斜着走」的修正
用到的工具：向量模 · 正交基
由 STEP 04.3，Tr⊥Nr\mathbf T_r\perp\mathbf N_rTr⊥Nr 且都是单位向量，所以对 wTr+d′Nrw\mathbf T_r+d'\mathbf N_rwTr+d′Nr 用勾股定理：
∥dpdds∥=w2+(d′)2=(1−krd)2+(d′)2 \left\|\frac{d\mathbf p_d}{ds}\right\|=\sqrt{w^2+(d')^2}=\sqrt{(1-k_r d)^2+(d')^2} dsdpd =w2+(d′)2 =(1−krd)2+(d′)2
这意味着「参考线弧长每增加 1 m，偏移曲线实际走了 w2+d′2\sqrt{w^2+d'^2}w2+d′2 m」。当 d′=0d'=0d′=0（严格平行）时退化为 ∣w∣=∣1−krd∣|w|=|1-k_rd|∣w∣=∣1−krd∣，正是同心圆的半径比。
STEP 06.4 改用车辆自身弧长参数化，比较系数
用到的工具：链式法则 · 基向量线性无关 · 三角恒等式
车辆实际走的是同一条曲线 pd\mathbf p_dpd，只不过用自身弧长 sxs_xsx 作参数。它的单位切向量就是 Tx\mathbf T_xTx，方向角为 θx=θr+Δθ\theta_x=\theta_r+\Delta\thetaθx=θr+Δθ。把 Tx\mathbf T_xTx 在参考线标架下展开（相当于左乘 R(−Δθ)R(-\Delta\theta)R(−Δθ)）：
Tx=cosΔθ Tr+sinΔθ Nr \mathbf T_x=\cos\Delta\theta\,\mathbf T_r+\sin\Delta\theta\,\mathbf N_r Tx=cosΔθTr+sinΔθNr
另一方面，同一曲线的导数用链式法则换参数：
dpdds=dsxds⋅dpddsx=dsxds Tx=dsxds(cosΔθ Tr+sinΔθ Nr) \frac{d\mathbf p_d}{ds}=\frac{ds_x}{ds}\cdot\frac{d\mathbf p_d}{ds_x}=\frac{ds_x}{ds}\,\mathbf T_x =\frac{ds_x}{ds}\big(\cos\Delta\theta\,\mathbf T_r+\sin\Delta\theta\,\mathbf N_r\big) dsdpd=dsdsx⋅dsxdpd=dsdsxTx=dsdsx(cosΔθTr+sinΔθNr)
与 STEP 06.2 的结果逐项对照（{Tr,Nr}\{\mathbf T_r,\mathbf N_r\}{Tr,Nr} 线性无关，系数必须相等）：
{w=(1−krd)=dsxdscosΔθd′=dsxdssinΔθ \begin{cases} w=(1-k_r d)=\dfrac{ds_x}{ds}\cos\Delta\theta\\ d'=\dfrac{ds_x}{ds}\sin\Delta\theta \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧w=(1−krd)=dsdsxcosΔθd′=dsdsxsinΔθ
两式相除消去 dsx/dsds_x/dsdsx/ds：
结论 2
d′1−krd=sinΔθcosΔθ=tanΔθ⟹d′=(1−krd)tanΔθ \frac{d'}{1-k_r d}=\frac{\sin\Delta\theta}{\cos\Delta\theta}=\tan\Delta\theta \quad\Longrightarrow\quad \boxed{d'=(1-k_r d)\tan\Delta\theta} 1−krdd′=cosΔθsinΔθ=tanΔθ⟹d′=(1−krd)tanΔθ
由第一式解出弧长比：
结论 3
dsxds=1−krdcosΔθ=(1−krd)2+(d′)2 \boxed{\frac{ds_x}{ds}=\frac{1-k_r d}{\cos\Delta\theta}=\sqrt{(1-k_r d)^2+(d')^2}} dsdsx=cosΔθ1−krd=(1−krd)2+(d′)2
两个结论其实是一件事的两种说法：d′d'd′ 描述「横向走多快（相对纵向）」，dsx/dsds_x/dsdsx/ds 描述「实际走多快（相对纵向）」，它们通过 tanΔθ\tan\Delta\thetatanΔθ 与 cosΔθ\cos\Delta\thetacosΔθ 互相换算。第 7 节求速度时还会再用一次。
图 3｜缩放因子的几何本质。同心圆模型只解释「平行」情形（Δθ=0\Delta\theta=0Δθ=0）；斜着走时还要再乘 cosΔθ\cos\Delta\thetacosΔθ 的投影修正，即 STEP 06.3--06.4。
STEP 06.5 用角速度再验一遍（同圆心角）
用到的工具：圆周运动 · 消元
设车与投影点绕同一曲率中心转动，角速度同为 ω\omegaω。参考线半径 Rr=1/krR_r=1/k_rRr=1/kr，车辆所在偏移曲线半径 Rx=1/kr−dR_x=1/k_r-dRx=1/kr−d。则
vref=ωRr=ωkr,vcar=ωRx=ω(1kr−d)=ω(1−krd)kr v_{\text{ref}}=\omega R_r=\frac{\omega}{k_r},\qquad v_{\text{car}}=\omega R_x=\omega\left(\frac{1}{k_r}-d\right)=\frac{\omega(1-k_r d)}{k_r} vref=ωRr=krω,vcar=ωRx=ω(kr1−d)=krω(1−krd)
两式相除消去 ω/kr\omega/k_rω/kr：
vcarvref=1−krd⟹vref=vcar1−krd \frac{v_{\text{car}}}{v_{\text{ref}}}=1-k_r d \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{ref}}=\frac{v_{\text{car}}}{1-k_r d} vrefvcar=1−krd⟹vref=1−krdvcar
把 vcarv_{\text{car}}vcar 换成「车速在切向的投影」vxcosΔθv_x\cos\Delta\thetavxcosΔθ，vrefv_{\text{ref}}vref 换成 s˙\dot ss˙，立刻得到第 7 节的 s˙\dot ss˙ 公式。两条推导（弧长比、角速度比）结果一致，说明缩放因子没有符号错误。
STEP 06.6 为什么是减号？什么时候会变成加号
用到的工具：符号约定
减号来自两条约定的组合：
- Nr\mathbf N_rNr 指向左侧 ，d>0d>0d>0 表示车在左侧；
- kr>0k_r>0kr>0 表示参考线左转，曲率中心在左侧。
于是「d>0d>0d>0 且 kr>0k_r>0kr>0」意味着车在参考线与曲率中心之间，半径变小 ddd，所以 Rx=Rr−dR_x=R_r-dRx=Rr−d，弧长按 1−krd1-k_r d1−krd 缩短。
注意： 如果换了约定： ① 法向取右侧为正 → 变 1+krd1+k_r d1+krd；② 曲率以右转为正 → 也变 1+krd1+k_r d1+krd；③ 两者同时反号 → 又回到 1−krd1-k_r d1−krd。移植公式前必须先确认对方代码的两条约定，不能只看公式形状。
STEP 06.7 两个奇异条件
用到的工具：分母保护
w=1−krd=0 ⟺ d=1kr=Rr（车正好落在曲率中心） w=1-k_r d=0\ \Longleftrightarrow\ d=\frac{1}{k_r}=R_r \quad\text{（车正好落在曲率中心）} w=1−krd=0 ⟺ d=kr1=Rr（车正好落在曲率中心）
cosΔθ=0 ⟺ ∣Δθ∣=90∘（车头与道路垂直） \cos\Delta\theta=0\ \Longleftrightarrow\ |\Delta\theta|=90^\circ \quad\text{（车头与道路垂直）} cosΔθ=0 ⟺ ∣Δθ∣=90∘（车头与道路垂直）
两者都会让 dsx/dsds_x/dsdsx/ds 或 s˙\dot ss˙ 发散。工程上取 ∣d∣≤0.9Rr|d|\le 0.9R_r∣d∣≤0.9Rr、∣Δθ∣≤60∘|\Delta\theta|\le 60^\circ∣Δθ∣≤60∘，越界就回退到上一帧结果或直接拒绝该参考线。
07 一阶：ṡ、ḋ、d'
有了位置和缩放因子，速度只是「位置对时间求一次导」，再在两个标架下各看一遍。
STEP 07.1 位置对时间求导：链式法则一步到位
用到的工具：链式法则 · 向量求导
车辆沿偏移曲线运动，位置为 p(t)=pd(s(t))\mathbf p(t)=\mathbf p_d(s(t))p(t)=pd(s(t))。对时间求导：
p˙=dpddt=dpdds⋅dsdt=s˙ dpdds \dot{\mathbf p}=\frac{d\mathbf p_d}{dt}=\frac{d\mathbf p_d}{ds}\cdot\frac{ds}{dt} =\dot s\,\frac{d\mathbf p_d}{ds} p˙=dtdpd=dsdpd⋅dtds=s˙dsdpd
代入 STEP 06.2 的结果：
结论
p˙=s˙(1−krd) Tr+d′ Nr \dot{\mathbf p}=\dot s\big(1-k_r d)\\,\\mathbf T_r+d'\\,\\mathbf N_r\\big p˙=s˙(1−krd)Tr+d′Nr
这是一个「速度向量 = 纵向速度 × (切向缩放 + 法向斜率)」的紧凑形式，后面所有一阶量都从它派生。
STEP 07.2 同一个速度，在车辆标架下写一遍
用到的工具：单位切向量 · 基变换
速度大小为 vxv_xvx、方向沿车头，所以
p˙=vx Tx=vx(cosΔθ Tr+sinΔθ Nr) \dot{\mathbf p}=v_x\,\mathbf T_x=v_x\big(\cos\Delta\theta\,\mathbf T_r+\sin\Delta\theta\,\mathbf N_r\big) p˙=vxTx=vx(cosΔθTr+sinΔθNr)
其中 Tx=cosΔθ Tr+sinΔθ Nr\mathbf T_x=\cos\Delta\theta\,\mathbf T_r+\sin\Delta\theta\,\mathbf N_rTx=cosΔθTr+sinΔθNr 来自 STEP 06.4（等价于左乘 R(Δθ)R(\Delta\theta)R(Δθ)）。
STEP 07.3 比较系数：一次得到两个方程
用到的工具：正交基 · 线性无关 · 代数
STEP 07.1 与 07.2 是同一个向量在同一个基 {Tr,Nr}\{\mathbf T_r,\mathbf N_r\}{Tr,Nr} 下的两种写法，系数必须逐项相等：
{s˙ (1−krd)=vxcosΔθ（切向）s˙ d′=vxsinΔθ（法向） \begin{cases} \dot s\,(1-k_r d)=v_x\cos\Delta\theta &\quad\text{（切向）}\\ \dot s\,d'=v_x\sin\Delta\theta &\quad\text{（法向）} \end{cases} {s˙(1−krd)=vxcosΔθs˙d′=vxsinΔθ（切向）（法向）
由第一式直接解出纵向速度：