《P8816 [CSP-J 2022] 上升点列》

**摘要：**本题要求在二维平面内给定 n 个整数点，并允许自由添加 k 个点，从中选出若干点组成序列，使相邻点欧几里得距离为 1 且横纵坐标单调不减，求满足条件的序列最大长度。本文给出完整的题目描述、输入输出格式、样例数据、数据范围说明以及 C++ 参考实现。

题目描述

在一个二维平面内，给定 n 个整数点 (xi,yi)，此外你还可以自由添加 k 个整数点。

你在自由添加 k 个点后，还需要从 n+k 个点中选出若干个整数点并组成一个序列，使得序列中任意相邻两点间的欧几里得距离恰好为 1 而且横坐标、纵坐标值均单调不减，即 xi+1−xi=1,yi+1=yi 或 yi+1−yi=1,xi+1=xi。请给出满足条件的序列的最大长度。

输入格式

第一行两个正整数 n,k 分别表示给定的整点个数、可自由添加的整点个数。

接下来 n 行，第 i 行两个正整数 xi,yi 表示给定的第 i 个点的横纵坐标。

输出格式

输出一个整数表示满足要求的序列的最大长度。

输入输出样例

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输出 #2复制

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说明/提示

【样例 #3】

见附件中的 point/point3.in 与 point/point3.ans。

第三个样例满足 k=0。

【样例 #4】

见附件中的 point/point4.in 与 point/point4.ans。

【数据范围】

保证对于所有数据满足：1≤n≤500，0≤k≤100。对于所有给定的整点，其横纵坐标 1≤xi,yi≤109，且保证所有给定的点互不重合。对于自由添加的整点，其横纵坐标不受限制。

测试点编号	n≤	k≤	xi,yi≤
1∼2	10	0	10
3∼4	10	100	100
5∼7	500	0	100
8∼10	500	0	109
11∼15	500	100	100
16∼20	500	100	109

附件下载

point.zip1.53KB

代码实现：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 505;
const int MAXK = 105;

struct Point {
    int x, y;
    bool operator<(const Point &other) const {
        if (x != other.x) return x < other.x;
        return y < other.y;
    }
}p[MAXN];

int dp[MAXN][MAXK];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> p[i].x >> p[i].y;
    }
    sort(p + 1, p + 1 + n);
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= k; j++)
        {
            dp[i][j] = 1;
        }
        for(int pre = 1; pre < i; pre++)
        {
            if(p[pre].x > p[i].x || p[pre].y > p[i].y) continue;
            int dx = p[i].x - p[pre].x;
            int dy = p[i].y - p[pre].y;
            int need = dx + dy - 1;
            for(int j = k; j >= need; j--)
            {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[pre][j - need] + need + 1);
            }
        }
        for(int j = 0; j <= k; j++)
        {
            int total = dp[i][j] + (k - j);
            ans = max(ans, total);
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}