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观前提醒，以下内容尽可能 以高中毕业生的知识水平介绍 ，如有看不懂之处，那就说明不重要。
电容和电感
高中的物理主要集中于电阻的学习，根据欧姆定律 I = U R I=\frac{U}{R} I=RU，电阻清楚表达了电压与电流之间的线性关系。
而且在看原理图的时候一般是按照整体计算电压电流，不会切分成电压微元 d u \mathrm{d}u du和电流微元 d i \mathrm{d}i di，利用积分等高等数学方法求解。
但实际上，电压 u u u，电流 i i i，电荷 q q q和磁通量 φ \varphi φ之间构成了四种基本元件，分别通过四个微分方程表示。
电阻： R = d u d i 电容： C = d q d u 电感： L = d φ d i 忆阻器： M = d φ d q (1) \text{电阻：}R=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}i}\quad \text{电容：}C=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}u}\quad \text{电感：}L=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}i}\quad \text{忆阻器：}M=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}q}\tag{1} 电阻：R=didu电容：C=dudq电感：L=didφ忆阻器：M=dqdφ(1)
PS：有同学可能会有疑问了，"为啥我没听过忆阻器呢？"答：当然是实际器件与理想忆阻器之间的关系仍存在学术争论，且忆阻器并不是传统电路分析中的常见元件。
电容和电感的交流特性
对于电容和电感来说，恒定的直流信号（方向恒定、极性不变的信号）输入相当于断路和短路，因此其特性通常被称为"通交流隔直流"，仅仅在直流信号上进行讨论是毫无意义的，当然这点从公式推导也可以看出来：
根据电流、电压的定义式：
u = d φ d t i = d q d t (2) u=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\quad i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\tag{2} u=dtdφi=dtdq(2)
将式(1)的电容和电感式代入：
C = d q d u = d q d t ⋅ d t d u = i d t d u → i = C d u d t (3) C=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}u}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=i\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}\quad\rightarrow\quad i=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\tag{3} C=dudq=dtdq⋅dudt=idudt→i=Cdtdu(3)
L = d φ d i = d φ d t ⋅ d t d i = u d t d i → u = L d i d t (4) L=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}i}=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}i}=u\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}i}\quad\rightarrow\quad u=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\tag{4} L=didφ=dtdφ⋅didt=udidt→u=Ldtdi(4)
式(3)表明，只有电压有变换时，电容才有电流通过；式(4)表明，只有电流有变化时，电感两端才产生压降，且变化速度与大小成正比。
变化速度和大小成正比揭示的很重要一点就是，除了幅值之外，频率也是个重要的参考因素。
举个直观但不是很恰当的例子：
如下图(a)中所示，是一列三角波，信号先沿直线上升，再沿直线下降，如此循环往复。
现在如图(b)所示：
- （红色信号）在周期不变的前提下，将信号的上升速率（下降速率）提升了一倍，这说明幅值的改变会改变变化速率。
- （蓝色信号）在幅值不变的前提下，将信号的上升速率（下降速率）也提升了一倍，这说明频率的改变会改变变化速率。
以上这个例子从感性角度简单解释了这件事，如果有原教旨主义者希望从数学推理的角度解释这件事情其实更简单：
针对电容，考虑一个正弦电压信号 u = A sin ( ω t ) u=A\sin(\omega t) u=Asin(ωt)作用在电容两侧，根据式(3)可得到：
i = C d u d t = C d A sin ( ω t ) d t = C ⋅ A ω cos ( ω t ） (5) i=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}A\\sin(\\omega t)}{\mathrm{d}t}=C\cdot A\omega\cos(\omega t）\tag{5} i=Cdtdu=CdtdAsin(ωt)=C⋅Aωcos(ωt）(5)
所以其输出的电流信号幅值受到电容容值 C C C、输入电压信号幅值 A A A和输入电压信号频率 ω \omega ω的共同影响。
电容、电感阻抗表示
显然用微分方程的形式去表达电容、电感两端的电压、电流关系是十分不方便的。那有没有什么算子可以直接用几个字符表示这个微分关系呢？
有的，傅里叶变换和拉普拉斯变换都满足 。由于具体说明白两个变换做了什么，以及对应的细节在短时间之内十分困难，索性在此先给出答案，再来填坑 。（系统化的学习可以参考《信号与系统》一书的相关内容）
傅里叶变换
傅里叶变换的性质为：
F x ( t ) = X ( j ω ) (6) \mathcal{F}x(t)=X(j\omega)\tag{6} Fx(t)=X(jω)(6)
F d x ( t ) d t = j ω X ( j ω ) (7) \mathcal{F}\bigg\\frac{\\mathrm{d}x(t)}{\\mathrm{d}t}\\bigg=j\omega X(j\omega)\tag{7} Fdtdx(t)=jωX(jω)(7)
其中， j = − 1 j=\sqrt{-1} j=−1 是虚数，为了和电流 i i i区别，电路中通常使用 j j j作为虚数符号， ω \omega ω是角频率， X ( j ω ) X(j\omega) X(jω)是原信号 x ( t ) x(t) x(t)的傅里叶变换。
那这个时候电阻、电容和电感的阻抗就可以根据式(6)和式(7)简单快速的被表达了：
电阻: F u ( t ) = F R ⋅ i ( t ) → U ( j ω ) = R ⋅ I ( j ω ) → R ≜ U ( j ω ) I ( j ω ) (8) \text{电阻:}\quad \mathcal{F}u(t)=\mathcal{F}R \\cdot i(t)\quad\rightarrow \quad U(j\omega)=R\cdot I(j\omega)\quad\rightarrow \quad R\triangleq\frac{U(j\omega)}{I(j\omega)}\tag{8} 电阻:Fu(t)=FR⋅i(t)→U(jω)=R⋅I(jω)→R≜I(jω)U(jω)(8)
电容: F i ( t ) = F C ⋅ d u ( t ) d t → I ( j ω ) = C ⋅ j ω U ( j ω ) → 1 j ω C ≜ U ( j ω ) I ( j ω ) (9) \text{电容:}\quad \mathcal{F}i(t)=\mathcal{F}\biggC\\cdot\\frac{\\mathrm{d}u(t)}{\\mathrm{d}t}\\bigg\quad\rightarrow \quad I(j\omega)=C\cdot j\omega U(j\omega)\quad\rightarrow \quad \frac{1}{j\omega C}\triangleq\frac{U(j\omega)}{I(j\omega)}\tag{9} 电容:Fi(t)=FC⋅dtdu(t)→I(jω)=C⋅jωU(jω)→jωC1≜I(jω)U(jω)(9)
电感: F u ( t ) = F L ⋅ d i ( t ) d t → U ( j ω ) = L ⋅ j ω I ( j ω ) → j ω L ≜ U ( j ω ) I ( j ω ) (10) \text{电感:}\quad \mathcal{F}u(t)=\mathcal{F}\biggL \\cdot \\frac{\\mathrm{d}i(t)}{\\mathrm{d}t}\\bigg\quad\rightarrow \quad U(j\omega)=L\cdot j\omega I(j\omega)\quad\rightarrow \quad j\omega L\triangleq\frac{U(j\omega)}{I(j\omega)}\tag{10} 电感:Fu(t)=FL⋅dtdi(t)→U(jω)=L⋅jωI(jω)→jωL≜I(jω)U(jω)(10)
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质为：
L x ( t ) = X ( s ) (11) \mathcal{L}x(t)=X(s)\tag{11} Lx(t)=X(s)(11)
L d x ( t ) d t = s X ( s ) − x ( 0 − ) (12) \mathcal{L}\bigg\\frac{\\mathrm{d}x(t)}{\\mathrm{d}t}\\bigg=sX(s)-x(0^-)\tag{12} Ldtdx(t)=sX(s)−x(0−)(12)
其中， s = σ + j ω s=\sigma+j\omega s=σ+jω是复频率分量（ j j j是虚数）， X ( s ) X(s) X(s)是原信号 x ( t ) x(t) x(t)的拉普拉斯变换， x ( 0 − ) x(0^-) x(0−)是初始条件，一般初始条件会默认为0，从而规避对复杂初始条件的讨论。
同样的电阻、电容和电感的阻抗就可以根据式(6)和式(7)简单快速的被表达了：
电阻: L u ( t ) = L R ⋅ i ( t ) → U ( s ) = R ⋅ I ( s ) → R ≜ U ( s ) I ( s ) (13) \text{电阻:}\quad \mathcal{L}u(t)=\mathcal{L}R \\cdot i(t)\quad\rightarrow \quad U(s)=R\cdot I(s)\quad\rightarrow \quad R\triangleq\frac{U(s)}{I(s)}\tag{13} 电阻:Lu(t)=LR⋅i(t)→U(s)=R⋅I(s)→R≜I(s)U(s)(13)
电容: L i ( t ) = L C ⋅ d u ( t ) d t → I ( s ) = C ⋅ s U ( s ) → 1 s C ≜ U ( s ) I ( s ) (14) \text{电容:}\quad \mathcal{L}i(t)=\mathcal{L}\biggC\\cdot\\frac{\\mathrm{d}u(t)}{\\mathrm{d}t}\\bigg\quad\rightarrow \quad I(s)=C\cdot sU(s)\quad\rightarrow \quad \frac{1}{sC}\triangleq\frac{U(s)}{I(s)}\tag{14} 电容:Li(t)=LC⋅dtdu(t)→I(s)=C⋅sU(s)→sC1≜I(s)U(s)(14)
电感: L u ( t ) = L L ⋅ d i ( t ) d t → U ( s ) = L ⋅ s I ( s ) → s L ≜ U ( s ) I ( s ) (15) \text{电感:}\quad \mathcal{L}u(t)=\mathcal{L}\biggL \\cdot \\frac{\\mathrm{d}i(t)}{\\mathrm{d}t}\\bigg\quad\rightarrow \quad U(s)=L\cdot sI(s)\quad\rightarrow \quad sL\triangleq\frac{U(s)}{I(s)}\tag{15} 电感:Lu(t)=LL⋅dtdi(t)→U(s)=L⋅sI(s)→sL≜I(s)U(s)(15)
通过拉普拉斯算子 s s s，本来的微分方程被简化为一个简单的函数。
阻抗的定义
根据高中数学对于复数的运算 和上述的傅里叶变换 ，对于一个仅由电阻，电容，电感构成的电路网络，可以等效的被表达为一个复数 ：
Z e q ( ω ) = R e q ( ω ) + j X e q ( ω ) (16) Z_{eq}(\omega)=R_{eq}(\omega)+jX_{eq}(\omega)\tag{16} Zeq(ω)=Req(ω)+jXeq(ω)(16)
其中 Z e q ( ω ) Z_{eq}(\omega) Zeq(ω)被称为阻抗 ， R e q ( ω ) R_{eq}(\omega) Req(ω)被称为电阻 ， X e q ( ω ) X_{eq}(\omega) Xeq(ω)被称为电抗。
为了方便理解以下举个例子：
如图，由一个电阻 R R R和电容 C C C构成的串联网络，需要写出其输入 U i U_i Ui和输出 U o U_o Uo之间的关系。
采用微分方程计算，其计算过程如下：
{ i = C d U o d t U i = U o + i R → U o + R C d U o d t = U i (17) \begin{dcases} i=C\frac{\mathrm{d}U_o}{\mathrm{d}t}\\ U_i=U_o+iR \end{dcases} \rightarrow U_o+RC\frac{\mathrm{d}U_o}{\mathrm{d}t}=U_i\tag{17} ⎩ ⎨ ⎧i=CdtdUoUi=Uo+iR→Uo+RCdtdUo=Ui(17)
采用傅里叶域下的阻抗计算
从输入端看，输入正负极之间就是一个阻值为 R R R的电阻和一个容值为 1 j ω C \frac{1}{j\omega C} jωC1的电容串联分压，输入阻抗 为 Z i = R + 1 j ω C = R − j 1 ω C Z_i=R+\frac{1}{j\omega C}=R-j\frac{1}{\omega C} Zi=R+jωC1=R−jωC1。
从输出端看，输出正负极之间只有一个容值为 1 j ω C \frac{1}{j\omega C} jωC1的电容，输出阻抗 为 Z o = 1 j ω C = − j 1 ω C Z_o=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C} Zo=jωC1=−jωC1。
根据串联分压的原理：
U o U i = Z o Z i = Z C Z R + Z C = 1 j ω C R + 1 j ω C = 1 1 + j ω R C = 1 1 + ( ω R C ) 2 − j ω R C 1 + ( ω R C ) 2 (18) \frac{U_o}{U_i}=\frac{Z_o}{Z_i}=\frac{Z_C}{Z_R+Z_C}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega RC}=\frac{1}{1+(\omega RC)^2}-j\frac{\omega RC}{1+(\omega RC)^2}\tag{18} UiUo=ZiZo=ZR+ZCZC=R+jωC1jωC1=1+jωRC1=1+(ωRC)21−j1+(ωRC)2ωRC(18)
那么很明显，这个阻容电路的输入输出关系（专业名称为传递函数）是个随角频率 ω \omega ω变化的复数，难以在实数的直角坐标系上表示出来，通常我们考虑计算其幅值：
∣ A ∣ = ∣ 1 1 + j ω R C ∣ = 1 1 + ( ω R C ) 2 (19) |A|=\bigg|\frac{1}{1+j\omega RC}\bigg|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}}\tag{19} ∣A∣= 1+jωRC1 =1+(ωRC)2 1(19)
为了形象化演示这个幅值，设 R = 1 k Ω R=1\text{k}\Omega R=1kΩ， C = 1 μ F C=1\mu\text{F} C=1μF，绘制成图如下所示：
左图为线性坐标轴，右图为对数坐标轴。可以明显的看到输出信号的幅值是下降的，高频信号被滤除了，所以这是一个低通滤波器 。
这与感性认知是一致的：
- 输入直流信号（ ω → 0 \omega\rightarrow 0 ω→0），电容相当于断路，输入输出的电压不变， ∣ A ∣ = 1 |A|=1 ∣A∣=1。
- 输入高频交流信号（ ω → ∞ \omega\rightarrow \infty ω→∞），电容相当于短路，输入电流全部流入GND，输出信号为 0 0 0， ∣ A ∣ = 0 |A|=0 ∣A∣=0。
PS：在滤波器设计中，通常采用对数坐标轴，因为曲线可以近似为多段直线收尾相连。
采用拉普拉斯域下的阻抗计算
从输入端看，输入正负极之间就是一个阻值为 R R R的电阻和一个容值为 1 s C \frac{1}{sC} sC1的电容串联分压，输入阻抗 为 Z i = R + 1 s C Z_i=R+\frac{1}{s C} Zi=R+sC1。
从输出端看，输出正负极之间只有一个容值为 1 s C \frac{1}{sC} sC1的电容，输出阻抗 为 Z o = 1 s C Z_o=\frac{1}{sC} Zo=sC1。
如果仔细看的话会发现傅里叶域和拉普拉斯域的结果很像，特别是给出复频率分量 s = σ + j ω s=\sigma+j\omega s=σ+jω时候，可以发现其实傅里叶变换是拉普拉斯变换在 σ = 0 \sigma=0 σ=0时候的特殊情况，这也方便我们记忆两个域下各自的复阻抗。
傅里叶变换和拉普拉斯变换
在上面，谈到了相关了变换手段。由于这两个变换纯数学理论推导是十分复杂的，因此此处我们就从电气工程的视角感性的谈谈相关内容。
在"电容和电感的交流特性"一节中，已经提及了频率是一个关键的参考因素。如何将频率纳入考量，就成了下一个问题，说到频率第一反应应该就离不开三角函数了，特别是 sin \sin sin和 cos \cos cos。但是，幅度这个指标已经是一个实数了，如果再来一个实数的频率，加减乘除一运算，如何分离幅度和频率又成了问题。这时候欧拉提出的欧拉公式就有了用处：
e i θ = cos θ + i sin θ (20) e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin\theta\tag{20} eiθ=cosθ+isinθ(20)
把频率放到虚部，构成一个复数就可以了。
那一个信号，视作是多个不同个频率分量的加权求和，其中权重表示幅值 ，频率因子 e i ω t e^{i\omega t} eiωt表示该幅值对应的频率 ，就可以通过一个关于所有频率对应幅值的函数来描述该信号。（这就是频域信号的由来）
傅里叶发现由于频率分量是连续的，不是离散的，所以需要使用积分进行书写：
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e i ω t d ω (21) f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega\tag{21} f(t)=2π1∫−∞∞F(ω)eiωtdω(21)
频率 ω \omega ω的频率因子 e i ω t e^{i\omega t} eiωt对应的幅值为 F ( ω ) F(\omega) F(ω)，积分号将频率 ω \omega ω从 − ∞ -\infty −∞到 ∞ \infty ∞的所有加权频率因子全都加一起，乘个系数就是时域的信号 f ( t ) f(t) f(t)。
同样的，反过来频域信号 F ( ω ) F(\omega) F(ω)也应当可以变换为时域信号 f ( t ) f(t) f(t)：
F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ω t d t (22) F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \mathrm{d}t\tag{22} F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt(22)
其中，一般称式(22)为傅里叶变换，记作 F ( ω ) = F f ( t ) F(\omega)=\mathcal{F}f(t) F(ω)=Ff(t)，称式(21)为傅里叶逆变换，记作 f ( t ) = F − 1 F ( ω ) f(t)=\mathcal{F}^{-1}F(\\omega) f(t)=F−1F(ω)。
傅里叶变换虽然能够描述很多信号的频率组成，但对于部分随时间持续增长的信号，其经典傅里叶积分无法收敛，因此不能直接使用上述积分公式进行计算。为了进一步处理这类信号，可以引入拉普拉斯变换。
为了解决这个问题，拉普拉斯变换在傅里叶变换的基础上加了一个衰减项 e − σ t e^{-\sigma t} e−σt，通过这个实数衰减将本来不可积的信号改为可积的信号，再做傅里叶变化，所以式(22)变为拉普拉斯变换：
F ( σ , ω ) = ∫ − ∞ ∞ ( f ( t ) ⋅ e − σ t ) e − i ω t d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ( e − σ t ⋅ e − i ω t ) d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − ( σ + i ω ) t d t ≜ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − s t d t = F ( s ) = L f ( t ) (23) \begin{aligned} F(\sigma,\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty} (f(t)\cdot e^{-\sigma t}) e^{-i\omega t} \mathrm{d}t\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t)(e^{-\sigma t}\cdot e^{-i\omega t}) \mathrm{d}t\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-(\sigma+i\omega) t} \mathrm{d}t\\ &\triangleq \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-s t} \mathrm{d}t\\ &=F(s)=\mathcal{L}f(t) \end{aligned}\tag{23} F(σ,ω)=∫−∞∞(f(t)⋅e−σt)e−iωtdt=∫−∞∞f(t)(e−σt⋅e−iωt)dt=∫−∞∞f(t)e−(σ+iω)tdt≜∫−∞∞f(t)e−stdt=F(s)=Lf(t)(23)
式(21)变为拉普拉斯逆变换：
f ( t ) = L − 1 F ( s ) = 1 2 π j ∫ σ − j ∞ σ + j ∞ F ( s ) e s t d s (24) f(t)=\mathcal{L}^{-1}F(s) =\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{st}\mathrm{d}s\tag{24} f(t)=L−1F(s)=2πj1∫σ−j∞σ+j∞F(s)estds(24)
以上就是傅里叶变换和拉普拉斯变换最基础的部分。