计算机图形学入门笔记_GAMES101_Lecture01-02

计算机图形学入门笔记 | GAMES101 Lecture 01 & 02 学习总结

本文基于 UCSB 闫令琪老师 GAMES101 课程（B站播放量384万+）的前两讲内容整理而成，结合个人学习笔记与网上资料，适合图形学初学者阅读。

一、课程简介

GAMES101：现代计算机图形学入门 是由加州大学圣塔芭芭拉分校（UCSB）的闫令琪老师主讲的一门计算机图形学公开课。闫老师本科毕业于清华大学，博士毕业于UC Berkeley，2018年凭借在视觉特效领域的贡献获得奥斯卡技术奖提名。

这门课在B站上有超过384万播放量，是中文互联网上最受欢迎的图形学入门课程之一。课程涵盖23讲内容，系统介绍了现代计算机图形学的四大支柱：光栅化、几何表示、光线传播理论、动画与仿真。

课程主页：https://sites.cs.ucsb.edu/\~lingqi/teaching/games101.html

参考教材：Fundamentals of Computer Graphics (4th Edition)（俗称"Tiger Book"）

二、Lecture 01：计算机图形学概述

2.1 什么是计算机图形学？

计算机图形学（Computer Graphics，简称CG）的核心定义是：使用计算机来合成并操控视觉信息。

简单来说，CG 和计算机视觉（Computer Vision，CV）是一对"镜像"关系：

方向	输入	输出	任务
计算机图形学 (CG)	3D模型/场景描述	2D图像	Rendering（渲染）
计算机视觉 (CV)	2D图像/视频	3D模型/理解	Modeling / Understanding

用一句话概括：CG 是从模型生成图像，CV 是从图像理解模型。

2.2 图形学的应用领域

图形学已经渗透到我们的日常生活方方面面：

视频游戏：从《只狼》的全局光照到《无主之地3》的漫画风格渲染
电影特效：《阿凡达》的面部捕捉、《疯狂动物城》的毛发模拟
动画制作：《冰雪奇缘2》的布料与粒子模拟
工业设计：奔驰概念车的CAD设计、家装效果图
数据可视化：将抽象数据转化为直观的图形展示
虚拟现实（VR）与增强现实（AR）：完全虚拟 vs 虚实结合
数码插画与字体设计：用电脑进行艺术创作
仿真模拟：物理碰撞、流体、爆炸等特效

闫令琪老师在课上说了一句很经典的话："Forget about the previous reasons. Computer Graphics is AWESOME!"

2.3 课程四大核心主题

GAMES101 课程围绕以下四大模块展开：

光栅化（Rasterization）：将3D三角形/多边形投影到屏幕，分解为像素片段------这是游戏等实时应用的金标准
曲线与网格（Curves and Meshes）：如何用数学方法表示三维几何形状
光线追踪（Ray Tracing）：模拟光线传播路径，实现逼真的全局光照效果
动画与仿真（Animation / Simulation）：物体运动、物理碰撞、布料/流体模拟等

注意：本课程不涉及图形API（如OpenGL/DirectX）、建模软件、游戏引擎或计算机视觉的具体实现。

2.4 技术挑战

实现一个完整的图形学系统面临诸多挑战：

透视投影的数学原理
光照与着色的物理建模
三维形状的表示与操作
动画与物理仿真
3D图形编程与硬件实现

三、Lecture 02：线性代数回顾

图形学的底层数学基础主要是线性代数。这一讲快速回顾了图形学中最常用的向量与矩阵知识。

3.1 向量（Vector）

在图形学中，向量是一个具有方向和长度的量。几个关键性质：

图形学中统一使用列向量表示
向量没有绝对的起点------平移不改变向量本身（只要方向和长度相同，就是同一个向量）
单位向量：长度为1的向量，仅表示方向。任意向量 a 可单位化：â = a / |a|

向量加法遵循平行四边形法则和三角形法则，代数上就是对应坐标相加。

3.2 点乘（Dot Product）

点乘（也叫数量积、内积）的结果是一个标量（数值）：

定义公式：

a · b = |a| |b| cos θ

由此可以计算两个向量的夹角：

cos θ = (a · b) / (|a| |b|)

如果是单位向量，则简化为：â · b̂ = cos θ

点乘的性质：

交换律：a · b = b · a
分配律：a · (b + c) = a · b + a · c
结合律：(ka) · b = a · (kb) = k(a · b)

笛卡尔坐标系下的计算：

二维：a · b = xₐ·xᵦ + yₐ·yᵦ

三维：a · b = xₐ·xᵦ + yₐ·yᵦ + zₐ·zᵦ

点乘在图形学中的重要应用：

(1) 向量投影

计算向量 b 在向量 a 方向上的投影长度：

projₐ(b) = (a · b) / |a| = |b| cos θ

投影向量 = ((a · b) / |a|²) · a

通过投影，可以将任意向量分解为平行于 a 的分量和垂直于 a 的分量。

(2) 判断方向关系

a · b > 0：两向量方向基本一致（夹角 < 90°）
a · b < 0：两向量方向基本相反（夹角 > 90°）
a · b = 0：两向量垂直（正交）

3.3 叉乘（Cross Product）

叉乘的结果是一个向量，这个新向量与参与运算的两个向量都正交（垂直）。

定义公式：

|a × b| = |a| |b| sin θ

方向由右手螺旋定则确定：右手四指从 a 转向 b，大拇指指向的方向就是 a × b 的方向。

叉乘的性质：

反交换律：a × b = −(b × a)
分配律：a × (b + c) = a × b + a × c
结合律：a × (kb) = k(a × b)

笛卡尔坐标系下的展开：

a × b = (yₐ·zᵦ − yᵦ·zₐ, zₐ·xᵦ − xₐ·zᵦ, xₐ·yᵦ − yₐ·xᵦ)

叉乘的矩阵形式：

a × b 可以写成矩阵乘法的形式：a × b = $a$ × · b，其中 $a$ × 是由 a 的分量构成的反对称矩阵。

叉乘在图形学中的关键应用：

(1) 判断左右方向

在三维空间中，给定两个共面的向量 a 和 b，计算 a × b：

结果的 z 分量 > 0：b 在 a 的左侧
结果的 z 分量 < 0：b 在 a 的右侧
结果的 z 分量 = 0：两向量共线

(2) 判断点在三角形内部（Barycentric 思想）

给定三角形 ABC 和任意点 P，分别计算：

AB × AP
BC × BP
CA × CP

如果三个叉乘结果的第三分量同号（全部向上或全部向下），则点 P 在三角形内部；否则在外部。

这个方法在光栅化中至关重要------用来判断一个像素点是否被三角形覆盖，从而决定是否着色。

3.4 矩阵（Matrix）

矩阵是图形学中实现变换的核心工具。

矩阵乘法：

前提：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
若 A 是 M×N 矩阵，B 是 N×P 矩阵，则 AB 是 M×P 矩阵
计算方式：新矩阵第 i 行第 j 列的元素 = A 的第 i 行向量 · B 的第 j 列向量

矩阵运算性质：

不满足交换律：AB ≠ BA（这是最重要的区别！）
满足结合律：(AB)C = A(BC)
满足分配律：A(B + C) = AB + AC

矩阵转置：

(AB)ᵀ = BᵀAᵀ

单位矩阵（Identity Matrix）：

对角线全为1，其余为0的矩阵。任何矩阵乘以单位矩阵等于自身：AI = IA = A

逆矩阵：

AA⁻¹ = A⁻¹A = I

(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

矩阵在图形学中的核心应用------坐标变换：

通过矩阵乘法可以实现平移、旋转、缩放等变换操作。例如，二维空间中沿 y 轴翻转（x 变号）的变换矩阵为：

| -1 0 |

| 0 1 |

作用于列向量 $x, y$ ᵀ 得到 $-x, y$ ᵀ。

3.5 正交标准坐标系（Orthonormal Frame）

在图形学中，我们常用三个互相正交的单位向量 (a, b, w) 来定义一个坐标系：

a · b = 0, a · w = 0, b · w = 0（正交）
|a| = |b| = |w| = 1（单位长度）
a × b = w（右手系）

任意向量 p 可以用这个坐标系表示为：

p = (p · a)a + (p · b)b + (p · w)w

这就是向量在正交基下的分解，是后续坐标变换的理论基础。

四、学习心得与资源推荐

4.1 学习心得

通过前两讲的学习，我对计算机图形学有了全新的认识：

图形学不只是"画图"：它融合了数学（线性代数、微积分）、物理（光学、力学）、计算机科学等多个学科的知识
数学是基石：向量运算（点乘、叉乘）和矩阵变换是贯穿整个课程的核心工具
理论与实践结合：GAMES101 的特色在于每讲都配合编程作业（C++），通过实际代码加深理解

4.2 推荐资源

资源	说明
GAMES101 课程主页	https://sites.cs.ucsb.edu/\~lingqi/teaching/games101.html
B站视频合集	https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744
参考教材	Fundamentals of Computer Graphics (4th Edition)
GAMES平台	http://games-cn.org（计算机图形学与混合现实在线平台）

本文是个人学习笔记的整理分享，欢迎交流讨论。如有错误欢迎指正！

参考资料：GAMES101课程课件、The Tiger Book第四版、CSDN/博客园相关笔记等。