第15讲：二叉搜索树

CodeYp20192026-10-27 18:05

目录

  • [1. 二叉搜索树的概念](#1. 二叉搜索树的概念)
  • [2. 二叉搜索树的性能分析](#2. 二叉搜索树的性能分析)
  • [3. 二叉搜索树的插入](#3. 二叉搜索树的插入)
  • [4. 二叉搜索树的查找](#4. 二叉搜索树的查找)
  • [5. 二叉搜索树的删除](#5. 二叉搜索树的删除)
  • [6. 二叉搜索树的实现代码](#6. 二叉搜索树的实现代码)
  • [7. 二叉搜索树 key 和 key/value 使用场景](#7. 二叉搜索树 key 和 key/value 使用场景)
    • [7.1 key 搜索场景](#7.1 key 搜索场景)
    • [7.2 key/value 搜索场景](#7.2 key/value 搜索场景)
    • [7.3 key/value 二叉搜索树代码实现](#7.3 key/value 二叉搜索树代码实现)

1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

  • 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。
  • 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树。
  • 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义。后续学习的 map、set、multimap、multiset 系列容器底层就是二叉搜索树，其中 map/set 不支持插入相等值，multimap/multiset 支持插入相等值。

2. 二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其高度为：log_2(N)。

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支），其高度为： N N N。

所以综合而言，二叉搜索树增删查改时间复杂度为： O ( N ) O(N) O(N)。

那么这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们后续课程需要继续讲解二叉搜索树的变形，平衡二叉搜索树 AVL 树和红黑树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，二分查找也可以实现 O ( log ⁡ 2 N ) O(\log_2 N) O(log2N) 级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

  1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
  2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

3. 二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给 root 指针。
  2. 树不空，按二叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
  3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走。）
cpp 复制代码 
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

4. 二叉搜索树的查找

  1. 从根开始比较，查找 x。x 比根的值大则往右边走查找，x 比根值小则往左边走查找。
  2. 最多查找高度次，走到空还没找到，这个值不存在。
  3. 如果不支持插入相等的值，找到 x 即可返回。
  4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个 x 存在，一般要求查找中序的第一个 x。如下图，查找 3，要找到 1 的右孩子的那个 3 返回。

5. 二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回 false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为 N）

  1. 要删除结点 N 左右孩子均为空。
  2. 要删除的结点 N 左孩子为空，右孩子结点不为空。
  3. 要删除的结点 N 右孩子为空，左孩子结点不为空。
  4. 要删除的结点 N 左右孩子结点均不为空。

对应以上四种情况的解决方案：

  1. 把 N 结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除 N 结点（情况 1 可以当成情况 2 或者情况 3 处理，效果是一样的）。
  2. 把 N 结点的父亲对应孩子指针指向 N 的右孩子，直接删除 N 结点。
  3. 把 N 结点的父亲对应孩子指针指向 N 的左孩子，直接删除 N 结点。
  4. 无法直接删除 N 结点，因为 N 的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找 N 左子树的值最大结点 R（最右结点）或者 N 右子树的值最小结点 R（最左结点）替代 N，因为这两个结点中任意一个放到 N 的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代 N 的意思就是 N 和 R 两个结点的值交换，转而变成删除 R 结点，R 结点符合情况 2 或情况 3，可以直接删除。

6. 二叉搜索树的实现代码

cpp 复制代码 
template<class K>
struct BSTNode
{
    K _key;
    BSTNode<K>* _left;
    BSTNode<K>* _right;

    BSTNode(const K& key)
        :_key(key)
        , _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
    {}
};

// Binary Search Tree
template<class K>
class BSTree
{
    typedef BSTNode<K> Node;
public:
    bool Insert(const K& key)
    {
        if (_root == nullptr)
        {
            _root = new Node(key);
            return true;
        }

        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }
            else if (cur->_key > key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                return false;
            }
        }

        cur = new Node(key);
        if (parent->_key < key)
        {
            parent->_right = cur;
        }
        else
        {
            parent->_left = cur;
        }

        return true;
    }

    bool Find(const K& key)
    {
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
            {
                cur = cur->_right;
            }
            else if (cur->_key > key)
            {
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                return true;
            }
        }

        return false;
    }

    bool Erase(const K& key)
    {
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }
            else if (cur->_key > key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                // 0-1个孩子的情况
                // 删除情况1、2、3均可以直接删除，改变父亲对应孩子指针指向即可
                if (cur->_left == nullptr)
                {
                    if (parent == nullptr)
                    {
                        _root = cur->_right;
                    }
                    else
                    {
                        if (parent->_left == cur)
                            parent->_left = cur->_right;
                        else
                            parent->_right = cur->_right;
                    }

                    delete cur;
                    return true;
                }
                else if (cur->_right == nullptr)
                {
                    if (parent == nullptr)
                    {
                        _root = cur->_left;
                    }
                    else
                    {
                        if (parent->_left == cur)
                            parent->_left = cur->_left;
                        else
                            parent->_right = cur->_left;
                    }

                    delete cur;
                    return true;
                }
                else
                {
                    // 2个孩子的情况
                    // 删除情况4，替换法删除
                    // 假设这里我们取右子树的最小结点作为替代结点去删除
                    // 这里尤其要注意右子树的根就是最小结点时的处理，对应课件图中删除8的情况
                    // 一定要把cur给rightMinP，否则会报错。
                    Node* rightMinP = cur;
                    Node* rightMin = cur->_right;
                    while (rightMin->_left)
                    {
                        rightMinP = rightMin;
                        rightMin = rightMin->_left;
                    }

                    cur->_key = rightMin->_key;

                    if (rightMinP->_left == rightMin)
                        rightMinP->_left = rightMin->_right;
                    else
                        rightMinP->_right = rightMin->_right;

                    delete rightMin;
                    return true;
                }
            }
        }

        return false;
    }

    void InOrder()
    {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }

private:
    void _InOrder(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
        {
            return;
        }

        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_key << " ";
        _InOrder(root->_right);
    }

private:
    Node* _root = nullptr;
};

7. 二叉搜索树 key 和 key/value 使用场景

7.1 key 搜索场景

只有 key 作为关键码，结构中只需要存储 key 即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key 在不在。key 的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改 key 破坏搜索树结构了。

场景 1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进入时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。

场景 2：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

7.2 key/value 搜索场景

每一个关键码 key，都有与之对应的值 value，value 可以任意类型对象。树的结构中（结点）除了需要存储 key 还要存储对应的 value，增/删/查还是以 key 为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到 key 对应的 value。key/value 的搜索场景实现的二叉树搜索树支持修改，但是不支持修改 key，修改 key 破坏搜索树性质了，可以修改 value。

场景 1：简单中英互译字典，树的结构中（结点）存储 key（英文）和 value（中文），搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。

场景 2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间，出口离场时，扫描车牌，查找入场时间，用当前时间 - 入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。

场景 3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第一次出现，（单词，1），单词存在，则 ++ 单词对应的次数。

7.3 key/value 二叉搜索树代码实现

cpp 复制代码 
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
    // pair<K, V> _kv;
    K _key;
    V _value;
    BSTNode<K, V>* _left;
    BSTNode<K, V>* _right;

    BSTNode(const K& key, const V& value)
        :_key(key)
        , _value(value)
        , _left(nullptr)
        , _right(nullptr)
    {}
};

template<class K, class V>
class BSTree
{
    typedef BSTNode<K, V> Node;
public:
    BSTree() = default;

    BSTree(const BSTree<K, V>& t)
    {
        _root = Copy(t._root);
    }

    BSTree<K, V>& operator=(BSTree<K, V> t)
    {
        swap(_root, t._root);
        return *this;
    }

    ~BSTree()
    {
        Destroy(_root);
        _root = nullptr;
    }

    bool Insert(const K& key, const V& value)
    {
        if (_root == nullptr)
        {
            _root = new Node(key, value);
            return true;
        }

        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }
            else if (cur->_key > key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                return false;
            }
        }

        cur = new Node(key, value);
        if (parent->_key < key)
        {
            parent->_right = cur;
        }
        else
        {
            parent->_left = cur;
        }

        return true;
    }

    Node* Find(const K& key)
    {
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
            {
                cur = cur->_right;
            }
            else if (cur->_key > key)
            {
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                return cur;
            }
        }

        return nullptr;
    }

    bool Erase(const K& key)
    {
        Node* parent = nullptr;
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (cur->_key < key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }
            else if (cur->_key > key)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                if (cur->_left == nullptr)
                {
                    if (parent == nullptr)
                    {
                        _root = cur->_right;
                    }
                    else
                    {
                        if (parent->_left == cur)
                            parent->_left = cur->_right;
                        else
                            parent->_right = cur->_right;
                    }

                    delete cur;
                    return true;
                }
                else if (cur->_right == nullptr)
                {
                    if (parent == nullptr)
                    {
                        _root = cur->_left;
                    }
                    else
                    {
                        if (parent->_left == cur)
                            parent->_left = cur->_left;
                        else
                            parent->_right = cur->_left;
                    }

                    delete cur;
                    return true;
                }
                else
                {
                    Node* rightMinP = cur;
                    Node* rightMin = cur->_right;
                    while (rightMin->_left)
                    {
                        rightMinP = rightMin;
                        rightMin = rightMin->_left;
                    }

                    cur->_key = rightMin->_key;

                    if (rightMinP->_left == rightMin)
                        rightMinP->_left = rightMin->_right;
                    else
                        rightMinP->_right = rightMin->_right;

                    delete rightMin;
                    return true;
                }
            }
        }

        return false;
    }

    void InOrder()
    {
        _InOrder(_root);
        cout << endl;
    }

private:
    void _InOrder(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
        {
            return;
        }

        _InOrder(root->_left);
        cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;
        _InOrder(root->_right);
    }

    void Destroy(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
            return;

        Destroy(root->_left);
        Destroy(root->_right);
        delete root;
    }

    Node* Copy(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
            return nullptr;

        Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);
        newRoot->_left = Copy(root->_left);
        newRoot->_right = Copy(root->_right);

        return newRoot;
    }

private:
    Node* _root = nullptr;
};

字典示例：

cpp 复制代码 
int main()
{
    BSTree<string, string> dict;
    //BSTree<string, string> copy = dict;
    dict.Insert("left", "左边");
    dict.Insert("right", "右边");
    dict.Insert("insert", "插入");
    dict.Insert("string", "字符串");

    string str;
    while (cin >> str)
    {
        auto ret = dict.Find(str);
        if (ret)
        {
            cout << "->" << ret->_value << endl;
        }
        else
        {
            cout << "无此单词，请重新输入" << endl;
        }
    }

    return 0;
}

统计单词出现次数示例：

cpp 复制代码 
int main()
{
    string arr[] = {"苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉"};
    BSTree<string, int> countTree;
    for (const auto& str : arr)
    {
        // 先查找水果在不在搜索树中
        // 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果，1>
        // 2、在，则查找到的结点中水果对应的次数++
        //BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
        auto ret = countTree.Find(str);
        if (ret == NULL)
        {
            countTree.Insert(str, 1);
        }
        else
        {
            ret->_value++;
        }
    }

    countTree.InOrder();

    return 0;
}
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