群的严格定义
1. 群是什么
一个群由两部分组成：
- 一个非空集合 GGG
- 一个定义在 GGG 上的二元运算 ∗\ast∗
通常写成：
(G,∗) (G,\ast) (G,∗)
所谓"二元运算"，就是一个映射：
∗:G×G→G \ast:G\times G\to G ∗:G×G→G
意思是：任取两个元素 a,b∈Ga,b\in Ga,b∈G，都可以做运算 a∗ba\ast ba∗b，并且结果仍然属于 GGG。
2. 群的正式定义
设 GGG 是一个非空集合，并且有一个二元运算：
∗:G×G→G \ast:G\times G\to G ∗:G×G→G
如果满足下面四个条件，那么称：
(G,∗) (G,\ast) (G,∗)
是一个群。
3. 第一条：封闭性
对于任意 a,b∈Ga,b\in Ga,b∈G，都有：
a∗b∈G a\ast b\in G a∗b∈G
这叫封闭性。
意思是：
在集合 GGG 中取两个元素做规定的运算，结果不能跑出 GGG。
例如整数加法：
(Z,+) (\mathbb Z,+) (Z,+)
如果 a,b∈Za,b\in\mathbb Za,b∈Z，那么：
a+b∈Z a+b\in\mathbb Z a+b∈Z
所以整数在加法下具有封闭性。
4. 第二条：结合律
对于任意 a,b,c∈Ga,b,c\in Ga,b,c∈G，必须满足：
(a∗b)∗c=a∗(b∗c) (a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c) (a∗b)∗c=a∗(b∗c)
这叫结合律。
注意，结合律不是交换律。
结合律是：
(a∗b)∗c=a∗(b∗c) (a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c) (a∗b)∗c=a∗(b∗c)
交换律是：
a∗b=b∗a a\ast b=b\ast a a∗b=b∗a
群不要求交换律。
例如魔方群通常满足：
RU≠UR RU\neq UR RU=UR
所以魔方群不是交换群。
但是魔方操作的复合仍然满足：
(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)
5. 第三条：单位元
必须存在某个元素 e∈Ge\in Ge∈G，使得对于任意 a∈Ga\in Ga∈G：
e∗a=a∗e=a e\ast a=a\ast e=a e∗a=a∗e=a
这个元素 eee 叫做单位元。
单位元的直观含义就是：
做了这个运算以后，相当于什么都没有改变。
例如整数加法群：
(Z,+) (\mathbb Z,+) (Z,+)
单位元是 000，因为：
0+a=a+0=a 0+a=a+0=a 0+a=a+0=a
对于魔方群来说，单位元就是：
什么都不转。
通常记作：
e e e
6. 第四条：逆元
对于每一个 a∈Ga\in Ga∈G，都必须存在某个 a−1∈Ga^{-1}\in Ga−1∈G，使得：
a∗a−1=a−1∗a=e a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e a∗a−1=a−1∗a=e
这个元素 a−1a^{-1}a−1 叫做 aaa 的逆元。
逆元的直观含义就是：
把刚才做的变化完全撤销。
例如在整数加法群：
(Z,+) (\mathbb Z,+) (Z,+)
中，555 的逆元是 −5-5−5，因为：
5+(−5)=(−5)+5=0 5+(-5)=(-5)+5=0 5+(−5)=(−5)+5=0
对于魔方来说，如果 RRR 表示右层顺时针转 90∘90^\circ90∘，那么：
R−1=R′ R^{-1}=R' R−1=R′
其中 R′R'R′ 表示右层逆时针转 90∘90^\circ90∘。
于是：
RR′=R′R=e RR'=R'R=e RR′=R′R=e
7. 群定义的完整形式
所以可以把群的定义完整写成：
设 GGG 是一个非空集合，并且有二元运算：
∗:G×G→G \ast:G\times G\to G ∗:G×G→G
满足：
封闭性
∀a,b∈G,a∗b∈G \forall a,b\in G,\quad a\ast b\in G ∀a,b∈G,a∗b∈G
结合律
∀a,b,c∈G,(a∗b)∗c=a∗(b∗c) \forall a,b,c\in G,\quad (a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c) ∀a,b,c∈G,(a∗b)∗c=a∗(b∗c)
单位元存在
存在 e∈Ge\in Ge∈G，使得：
∀a∈G,e∗a=a∗e=a \forall a\in G,\quad e\ast a=a\ast e=a ∀a∈G,e∗a=a∗e=a
每个元素都有逆元
对于任意 a∈Ga\in Ga∈G，存在 a−1∈Ga^{-1}\in Ga−1∈G，使得：
a∗a−1=a−1∗a=e a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e a∗a−1=a−1∗a=e
那么：
(G,∗) (G,\ast) (G,∗)
称为一个群。
8. 为什么必须强调"非空集合"
因为单位元 eee 必须属于 GGG。
也就是说：
e∈G e\in G e∈G
所以 GGG 不可能是空集。
实际上，只要要求"单位元存在"，就已经自动得到：
G≠∅ G\neq\varnothing G=∅
因此有些教材不会额外强调"非空"。
9. 为什么运算必须写成 G×G→GG\times G\to GG×G→G
表达式：
∗:G×G→G \ast:G\times G\to G ∗:G×G→G
表示：
输入两个 GGG 中的元素，输出仍然是一个 GGG 中的元素。
也就是：
(a,b)↦a∗b (a,b)\mapsto a\ast b (a,b)↦a∗b
其中 a,b∈Ga,b\in Ga,b∈G，并且：
a∗b∈G a\ast b\in G a∗b∈G
所以严格地说：
"GGG 上的二元运算"本身就已经包含了封闭性的要求。
10. 一个最经典的例子：整数加法群
考虑：
(Z,+) (\mathbb Z,+) (Z,+)
检查群公理。
封闭性
如果 a,b∈Za,b\in\mathbb Za,b∈Z，那么：
a+b∈Z a+b\in\mathbb Z a+b∈Z
结合律
(a+b)+c=a+(b+c) (a+b)+c=a+(b+c) (a+b)+c=a+(b+c)
单位元
单位元是 000，因为：
a+0=0+a=a a+0=0+a=a a+0=0+a=a
逆元
每个 a∈Za\in\mathbb Za∈Z 都有逆元 −a-a−a，并且：
a+(−a)=(−a)+a=0 a+(-a)=(-a)+a=0 a+(−a)=(−a)+a=0
所以：
(Z,+) (\mathbb Z,+) (Z,+)
是一个群。
11. 为什么自然数加法不是群
考虑：
(N,+) (\mathbb N,+) (N,+)
它满足封闭性和结合律。
如果把 000 包含在自然数中，那么它也有单位元 000。
但是 111 的逆元应该是：
−1 -1 −1
而：
−1∉N -1\notin\mathbb N −1∈/N
所以自然数加法不是群。
问题出在：
不是每个元素都有逆元。
12. 一个乘法例子
考虑：
(R∖{0},×) (\mathbb R\setminus\{0\},\times) (R∖{0},×)
也就是非零实数在乘法下。
封闭性
如果 a,b≠0a,b\neq0a,b=0，那么：
ab≠0 ab\neq0 ab=0
结合律
(ab)c=a(bc) (ab)c=a(bc) (ab)c=a(bc)
单位元
单位元是 111，因为：
1⋅a=a⋅1=a 1\cdot a=a\cdot1=a 1⋅a=a⋅1=a
逆元
如果 a≠0a\neq0a=0，那么：
a−1=1a a^{-1}=\frac1a a−1=a1
并且：
a⋅1a=1a⋅a=1 a\cdot\frac1a=\frac1a\cdot a=1 a⋅a1=a1⋅a=1
所以：
(R∖{0},×) (\mathbb R\setminus\{0\},\times) (R∖{0},×)
是一个群。
13. 为什么 (R,×)(\mathbb R,\times)(R,×) 不是群
因为：
0∈R 0\in\mathbb R 0∈R
但是 000 没有乘法逆元。
不存在 x∈Rx\in\mathbb Rx∈R 满足：
0⋅x=1 0\cdot x=1 0⋅x=1
所以：
(R,×) (\mathbb R,\times) (R,×)
不是群。
14. 群不要求交换律
如果一个群还满足：
a∗b=b∗a a\ast b=b\ast a a∗b=b∗a
对于任意 a,b∈Ga,b\in Ga,b∈G 都成立，那么这个群叫做阿贝尔群。
也叫：
Abelian Group \text{Abelian Group} Abelian Group
例如：
(Z,+) (\mathbb Z,+) (Z,+)
是阿贝尔群，因为：
a+b=b+a a+b=b+a a+b=b+a
15. 非阿贝尔群
如果存在 a,b∈Ga,b\in Ga,b∈G，使得：
a∗b≠b∗a a\ast b\neq b\ast a a∗b=b∗a
那么这个群叫非阿贝尔群。
例如魔方群中：
RU≠UR RU\neq UR RU=UR
所以魔方群是非阿贝尔群。
16. 群里面的"乘法"不一定真的是数字乘法
群论里经常把群运算简写成：
ab ab ab
但这里的"乘法"只是一个抽象记号。
它可能表示：
- 整数加法
- 矩阵乘法
- 函数复合
- 置换复合
- 几何旋转复合
- 魔方操作的连续执行
所以群论里的：
ab ab ab
真正含义是：
按照这个群规定的运算，把 aaa 和 bbb 组合起来。
17. 群元素可以是什么
群论并不规定群元素必须是数字。
群元素可以是：
- 整数
- 矩阵
- 函数
- 置换
- 几何变换
- 魔方操作
例如：
G=Z G=\mathbb Z G=Z
群元素是整数。
又例如：
G={所有可逆矩阵} G=\{\text{所有可逆矩阵}\} G={所有可逆矩阵}
群元素是矩阵。
对于魔方：
G={所有合法魔方操作} G=\{\text{所有合法魔方操作}\} G={所有合法魔方操作}
群元素就是魔方操作。
18. 魔方群中的运算是什么
设 A,B∈GA,B\in GA,B∈G 都是魔方操作。
那么：
AB AB AB
表示：
连续执行两个操作。
所以魔方群里的群运算本质上是：
变换的复合 \text{变换的复合} 变换的复合
19. 魔方群为什么满足封闭性
两个合法魔方操作连续执行以后，仍然是一个合法魔方操作。
所以：
A,B∈G⇒AB∈G A,B\in G\Rightarrow AB\in G A,B∈G⇒AB∈G
20. 魔方群为什么满足结合律
对于三个操作 A,B,CA,B,CA,B,C：
(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)
因为无论先把 A,BA,BA,B 看成一组，还是先把 B,CB,CB,C 看成一组，最终执行的操作顺序并没有改变。
注意：
(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)
并不意味着：
AB=BA AB=BA AB=BA
结合律只允许改变括号，不能改变顺序。
21. 魔方群的单位元
什么都不做的操作就是单位元：
e e e
对于任意魔方操作 AAA：
eA=Ae=A eA=Ae=A eA=Ae=A
22. 魔方群的逆元
任何合法魔方操作都可以反着撤销。
例如：
R−1=R′ R^{-1}=R' R−1=R′
于是：
RR′=R′R=e RR'=R'R=e RR′=R′R=e
如果：
A=RU A=RU A=RU
那么：
A−1=U′R′ A^{-1}=U'R' A−1=U′R′
而不是：
R′U′ R'U' R′U′
因为逆操作必须按照相反顺序撤销。
一般有：
(AB)−1=B−1A−1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
这条性质以后研究魔方公式非常重要。
23. 群定义的一句话版本
群可以概括成：
一个集合，配备一种封闭的、满足结合律的运算，并且存在单位元，同时每个元素都有逆元。
数学上：
(G,∗) (G,\ast) (G,∗)
满足：
a∗b∈G a\ast b\in G a∗b∈G
(a∗b)∗c=a∗(b∗c) (a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c) (a∗b)∗c=a∗(b∗c)
e∗a=a∗e=a e\ast a=a\ast e=a e∗a=a∗e=a
a∗a−1=a−1∗a=e a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e a∗a−1=a−1∗a=e
24. 更高一层的理解
群的四条公理并不是四条孤立的规则。
它们共同描述的是一种非常重要的结构：
一套可以连续组合，并且每一步都能够撤销的操作系统。
封闭性保证：
操作以后仍然留在系统内部。
结合律保证：
多个操作可以稳定地连续组合。
单位元保证：
存在"什么都不做"的操作。
逆元保证：
每一个操作都可以被撤销。
所以从变换的角度看，可以把群理解成：
$$
\text{群}
\text{一套可复合、可逆的变换结构}
$$
魔方群正是这个定义最具体、最直观的例子之一。