1 引言
堆（Heap）本质上是一种基于数组实现的完全二叉树。它通过严格的父子节点大小约束，保证能在 O(1) 的时间内获取极值。在底层原理与系统设计中，堆既是高效的优先队列，也是操作系统调度的核心基石。
2 基本概念
2.1 数据机构
从数据结构上看，它本质上就是一个数组。```c
1, 3, 2, 7, 5, 8, 4
模拟的树结构：
```c
1
/ \
3 2
/ \ / \
7 5 8 42.2 结构性
它必须是一棵完全二叉树：除最后一层外，其余各层节点全部填满，且最后一层的节点靠左排列。
大顶堆 ：任意节点的值 ≥ 其子节点的值（根节点最大）。
小顶堆：任意节点的值 ≤ 其子节点的值（根节点最小）。
正因为是完全二叉树，每个节点都可以直接映射到数组下标。假设当前节点的数组下标为 i，则：
- 其父节点下标：
(i - 1) / 2 - 其左子节点下标：
2 * i + 1 - 其右子节点下标：
2 * i + 2## 3 操作
3 建堆
3.1 步骤
大顶堆：
以大顶堆为例：
- 建立数组
arr[N]，用于存储原始数据。 - 找到最后一个叶子节点，即
arr[N-1]。 - 找到从后往前的第一个非叶子节点，即最后一个节点的父节点：
((N-1) - 1) / 2 = m。 - 从下标
m开始，对每个非叶子节点执行下沉操作：
（1）将父节点m与其子节点2*m + 1、2*m + 2比较，若父节点小于子节点的最大者，则交换两者位置；
（2）若在（1）中m与2*m + 1发生了交换，则继续对2*m + 1执行步骤（1）。 - 依次对下标
m-1, m-2, ... 0按步骤 4 处理。
3.2 举例
c
4
/ \
10 3
/ \ / \
5 1 8 7-
建数组
[4, 10, 3, 5, 1, 8, 7] -
找到最后一个叶子节点，最后一个叶子节点为
7，对应下标为6 -
找到第一个非叶子节点，计算公式：
(6-1)/2 = 2 -
下标
2数值是3，其子节点下标为5，6，数值分别是8，7（1）
3 < 8，交换两者位置：[4, 10, 8, 5, 1, 3, 7]，3无子节点不用继续计算 -
下标
1数值是10，其子节点下标为3，4，数值分别是5，1（1）
5 < 10，无需交换 -
下标
0数值是4，其子节点下标为1，2，数值分别是10，8（1）
4 < 10，交换两者位置：[10, 4, 8, 5, 1, 3, 7]（2）发生了交换，继续对
4做下沉。（3）
4 < 5，交换两者位置：[10, 5, 8, 4, 1, 3, 7]（4）发生了交换，继续对
4做下沉，4是叶子节点无需再进行
大顶堆建好：
c
10
/ \
5 8
/ \ / \
4 1 3 74 堆排序
堆排序就是把数组原地看成一个大顶堆，反复把堆顶最大值换到数组末尾，从而完成排序。
大顶堆为例：
- 建堆
- 交换堆顶和末尾：将当前最大数据放到后面
- 对剩余元素重新建堆
- 重复2和3步骤
5 插入和删除
5.1 步骤
- 插入（上浮）：将新元素放到数组末尾，然后不断与父节点比较。如果违背了堆序性（比如小顶堆中比父节点小），就交换位置，直到满足条件。
- 删除堆顶（下沉）：将数组末尾元素移到堆顶，然后不断与较小的子节点（小顶堆）比较并交换，直到沉到合适的位置。
6 时间复杂度
| 操作 | 时间复杂度 | 说明 |
|---|---|---|
| 查询堆顶 | O(1) | 直接取根节点，最大/最小值 |
| 插入 | O(log n) | 放到末尾后上浮 |
| 删除堆顶 | O(log n) | 末尾元素换到堆顶后下沉 |
| 建堆 | O(n) | 自底向下调整建堆 |
| 堆排序 | O(n log n) | 建堆 O(n) + n 次删除堆顶，每次 O(log n) |
关于建堆的时间复杂度：
完全二叉树里，越底层的节点越多，但它们能下沉的距离越短，且非叶子节点只有n/2个，
最终计算下来时间复杂度能收敛在O（n）级别。