【算法拾光】前缀和｜一维前缀和 + 二维前缀和

题目 1：一维前缀和

题目分析

实现一个类，输入数组 nums，多次查询区间 [left, right] 的区间和。数组不会修改。示例： nums = [-2, 0, 3, -5, 2, -1] sumRange(0,2) → 1 sumRange(2,5) → -1 sumRange(0,5) → -3 核心：如果每次查询都遍历区间，单次查询 O (n)，查询次数多就超时。前缀和预处理之后，单次查询 O (1)。

算法原理

定义前缀和数组 preSum，下标从 1 开始 （规避边界判断）： preSum[0] = 0 preSum[i] = nums[0] + nums[1] + ... + nums[i-1]

区间 [l, r]（原数组下标，从 0 开始）的和公式： sum = preSum[r + 1] - preSum[l]

预处理 O (n)，每次查询 O (1)。

代码编写

cpp 复制代码

class NumArray {
public:
    vector<int> preSum;
    NumArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        preSum.resize(n + 1, 0);
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1];
        }
    }
    
    int sumRange(int left, int right) {
        return preSum[right + 1] - preSum[left];
    }
};

总结

一维前缀和核心：偏移 1 位，preSum $0$ =0 。记住公式：原数组 [l,r] 和 = preSum[r+1] - preSum[l]。适合静态数组区间求和，数组不能修改；如果单点修改，需要用树状数组 / 线段树。

题目 2：二维前缀和

链接：304. 二维区域和检索 - 矩阵不可变 - 力扣（LeetCode）

题目分析

给定二维矩阵，多次查询子矩形 (row1, col1) 到 (row2, col2) 的和，矩阵不变。示例： matrix = $\[3,0,1,4,2$ , $5,6,3,2,1$ , $1,2,0,1,5$ , $4,1,0,1,7$ , $1,0,3,0,5$ ] sumRegion (2,1,4,3) → 8 核心：二维区间求和，暴力每次遍历矩形 O (mn)，多次查询太慢。二维前缀和预处理，查询 O (1)。

算法原理

前缀和数组 preSum 下标从 1 开始 ，preSum[i][j] 代表左上角 (1,1) 到 (i,j) 的矩形和。递推公式： preSum[i][j] = matrix[i-1][j-1] + preSum[i-1][j] + preSum[i][j-1] - preSum[i-1][j-1]

子矩形 (x1,y1) ~ (x2,y2)（原矩阵下标，从 0 开始）：映射到前缀和下标：a=x1+1, b=y1+1, c=x2+1, d=y2+1 查询公式： sum = preSum[c][d] - preSum[a-1][d] - preSum[c][b-1] + preSum[a-1][b-1]

原理：减去上方一块、左边一块，多减了左上角重叠部分，再加回来。

代码编写

cpp 复制代码

class NumMatrix {
public:
    vector<vector<int>> preSum;
    NumMatrix(vector<vector<int>>& matrix) {
        int m = matrix.size();
        if(m == 0) return;
        int n = matrix[0].size();
        preSum.assign(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                preSum[i][j] = matrix[i-1][j-1] + preSum[i-1][j] + preSum[i][j-1] - preSum[i-1][j-1];
            }
        }
    }
    
    int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
        int a = row1 + 1, b = col1 + 1;
        int c = row2 + 1, d = col2 + 1;
        return preSum[c][d] - preSum[a-1][d] - preSum[c][b-1] + preSum[a-1][b-1];
    }
};

总结

二维前缀和重点：容斥原理，先加、再减、再加回重叠部分。同样适合静态矩阵，预处理 O (mn)，查询 O (1)。下标偏移 1 是为了不用单独判断 i=0 或 j=0 的边界。

本篇总结

本篇是前缀和两大基础模板，笔试高频：

一维前缀和：preSum $0$ =0，[l,r] 和 = preSum[r+1]-preSum[l]
二维前缀和：递推用容斥，查询也用容斥，下标全部 + 1 简化边界

前缀和适用场景：数组 / 矩阵不变，多次区间求和。 ⚠️ 注意：如果题目会单点修改，前缀和不再合适，要换树状数组。