SWE 的原理解析

二、SWE 的运动机制

SWE 的运动机制可以理解成：水面坡度改变流速，流动的汇聚和发散改变水深。

假设你在平静水面中央制造一个隆起：

中央与周围出现水面高度差。
高度差产生水平压力梯度，使水向周围加速。
中央流出的水多，水面下降；周围得到水，水面上升。
当水面暂时变平时，水仍然具有速度。
水继续运动，产生新的凹陷和隆起，扰动由此向外传播。

所以，SWE 需要同时保存"水有多少"和"水如何运动"。

这也解释了为什么：仅根据当前高度图，通常不能唯一决定下一时刻的水面。 两片形状完全相同的水面，可能一个正在向外流动，另一个正在向内汇聚，它们下一刻的变化会不同。

1、质量守恒

对于密度恒定的水，质量守恒等价于体积守恒。

不可压缩流体的三维连续性方程（散度形式）：

∂u∂x+∂w∂y+∂v∂z=0 \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} = 0 ∂x∂u+∂y∂w+∂z∂v=0

考虑水平面积为 A 的一个网格单元，内部水的体积为：

V=Ah V = Ah V=Ah

若流入、流出的体积流量分别为 Qin、Qout，那么：

dVdt=Qin−Qout \frac{dV}{dt} = Q_{in} - Q_{out} dtdV=Qin−Qout

因此：

dhdt=Qin−QoutA \frac{dh}{dt} = \frac{Q_{in} - Q_{out}}{A} dtdh=AQin−Qout

例如，面积为1m^2的单元，每秒流入 0.03m^3、流出 0.01m^3，水深就每秒增加 0.02m。

把这个关系写成连续空间中的方程：

∂h∂t+∂(hu)∂x+∂(hv)∂z=0 \frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial(hu)}{\partial x} + \frac{\partial(hv)}{\partial z} = 0 ∂t∂h+∂x∂(hu)+∂z∂(hv)=0

其中：

hu：沿 x 方向的单位宽度体积流量；
hv：沿 z 方向的单位宽度体积流量；
后两项之和：一个位置附近净流出的程度。

净流出为正，水深下降；净流入为正，水深上升。这就是没有外部水源时的连续性方程。

展开可以得到：

∂h∂t+u∂h∂x+v∂h∂z=−h(∂u∂x+∂v∂z) \frac{\partial h}{\partial t} + u\frac{\partial h}{\partial x} + v\frac{\partial h}{\partial z} = -h\left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial z} \right) ∂t∂h+u∂x∂h+v∂z∂h=−h(∂x∂u+∂z∂v)

右侧括号内是水平速度的散度：

∇⋅u=∂u∂x+∂v∂z \nabla\cdot\boldsymbol{u} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial z} ∇⋅u=∂x∂u+∂z∂v

跟随水流观察时：

速度场向外发散，水柱被摊开，水深减小；
速度场向内汇聚，水被堆积，水深增大。

水本身没有被压缩，改变的是水柱的形状。

2、水平动量方程

另外两条核心方程是水平动量方程，它们决定流速怎样变化。

先考虑固定底床，并忽略摩擦、风力和地球自转：

∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂z=−g∂η∂x \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial z} = -g\frac{\partial\eta}{\partial x} ∂t∂u+u∂x∂u+v∂z∂u=−g∂x∂η

∂v∂t+u∂v∂x+v∂v∂z=−g∂η∂x \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial z} = -g\frac{\partial\eta}{\partial x} ∂t∂v+u∂x∂v+v∂z∂v=−g∂x∂η

这两条式子结构相同，只是分别描述两个水平方向。

∂u∂t⏟固定位置的流速变化+u∂u∂x+v∂u∂z⏟流动带来的对流加速度=−g∂η∂x⏟水面坡度引起的加速度 \underbrace{\frac{\partial u}{\partial t}}{\text{固定位置的流速变化}} + \underbrace{ u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial z} }{\text{流动带来的对流加速度}} = \underbrace{ -g\frac{\partial\eta}{\partial x} }_{\text{水面坡度引起的加速度}} 固定位置的流速变化 ∂t∂u+流动带来的对流加速度 u∂x∂u+v∂z∂u=水面坡度引起的加速度 −g∂x∂η

"对流加速度"可以这样理解：水流到了另一个速度不同的位置，跟随这团水观察，它的速度就会发生变化。

右边的负号表示，重力所产生的压力作用会使水沿水面降低的方向加速。水面坡度决定的是加速度，而不是直接决定速度。 因此，水面刚变平时，水仍然可能继续流动。

压力项的来源也很直观。静水压力近似为：

p=ρg(η−Y) p=\rho g(\eta-Y) p=ρg(η−Y)

这里使用相对于大气压的压力。在相同竖直高度 Y 上，水面越高，上方压着的水越多，压力越大：

−1ρ∂p∂x=−g∂η∂x -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} = -g\frac{\partial\eta}{\partial x} −ρ1∂x∂p=−g∂x∂η

这就得到了动量方程中的驱动力。

2.1 动量

动量（Momentum）：是流体带有的"运动的力量"。

p=mv p = mv p=mv

2.2 动量通量

通量（Flux）：单位时间内，垂直穿过单位面积的某种物理量。

动量通量（Momentum Flux）就是指：单位时间内，通过单位面积的动量。

动量通量=ρu⊗u 动量通量 = \rho u ⊗ u 动量通量=ρu⊗u

其中 ρ 是密度，u 是速度矢量，⊗ 是张量积。

如果把它展开，在二维（x, z 平面）的浅水方程中，动量通量张量大概长这样：

ρu2ρuwρwuρw2\] \\begin{bmatrix} \\rho u\^2 \& \\rho uw \\\\ \\rho wu \& \\rho w\^2 \\end{bmatrix} \[ρu2ρwuρuwρw2

对角线上的 ρu² 和 ρw² 叫做正应力（相当于水流动带来的动压）。
非对角线上的 ρuw 叫做剪应力（不同方向水流交错摩擦、拉扯带来的力）。

2.3 三维 N-S 方程

对于不可压缩、无粘性的流体，三维 N-S 方程在 xx 方向的动量方程为：

∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+w∂u∂z=−1ρ∂p∂x+fx \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + f\mathrm{x} ∂t∂u+u∂x∂u+v∂y∂u+w∂z∂u=−ρ1∂x∂p+fx

其中 u, v, w 分别是 x, y, z 方向的速度， y 是竖直方向，p 是压强, fx 是外力。

2.4 x 方向动量守恒方程。

2.4.1 从三维N-S方程出发(x方向)

利用连续性方程（质量守恒的散度形式），我们可以将左边的对流项（非线性项）改写为守恒形式（Flux form，把所有东西都塞进偏导数里面的形式）：

∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z=0 \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 ∂x∂u+∂y∂v+∂z∂w=0

代入 N-S 方程：

∂u∂t+u∂u∂x+v∂u∂y+w∂u∂z+u(∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z)=−1ρ∂p∂x+fx \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} + u(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}) = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + f\mathrm{x} ∂t∂u+u∂x∂u+v∂y∂u+w∂z∂u+u(∂x∂u+∂y∂v+∂z∂w)=−ρ1∂x∂p+fx

∂u∂t+2u∂u∂x+(v∂u∂y+u∂v∂y)+(w∂u∂z+u∂w∂z)=−1ρ∂p∂x+fx \frac{\partial u}{\partial t} + 2u\frac{\partial u}{\partial x} + (v\frac{\partial u}{\partial y} + u\frac{\partial v}{\partial y}) + (w\frac{\partial u}{\partial z} + u\frac{\partial w}{\partial z}) = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + f\mathrm{x} ∂t∂u+2u∂x∂u+(v∂y∂u+u∂y∂v)+(w∂z∂u+u∂z∂w)=−ρ1∂x∂p+fx

整理得：

∂u∂t+∂u2∂x+∂uv∂y+∂uw∂z=−1ρ∂p∂x+fx \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u^2}{\partial x} + \frac{\partial uv}{\partial y} + \frac{\partial uw}{\partial z} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + f\mathrm{x} ∂t∂u+∂x∂u2+∂y∂uv+∂z∂uw=−ρ1∂x∂p+fx

2.4.2 沿水深 y 方向积分

由于浅水方程得核心假设是：水平尺度远大于垂直尺度，那么我们假设垂直方向的加速度可以忽略不记，那么有：

v∂u∂y≈u∂v∂y≈0 v\frac{\partial u}{\partial y} \approx u\frac{\partial v}{\partial y} \approx0 v∂y∂u≈u∂y∂v≈0

将上述方程从水底 b(x, z)积分到水面 η(x,z,t)：

∫bη∂u∂tdy=∂∂t∫bηudy=∂hu∂t \int_{b}^{\eta} \frac{\partial u}{\partial t} dy = \frac{\partial}{\partial t} \int_{b}^{\eta} udy = \frac{\partial hu}{\partial t} ∫bη∂t∂udy=∂t∂∫bηudy=∂t∂hu

∫bη∂(u2)∂xdy=∂∂x∫bηu2dy=∂(hu2)∂x \int_{b}^{\eta} \frac{\partial (u^2)}{\partial x} dy = \frac{\partial}{\partial x}\int_{b}^{\eta} u^2dy = \frac{\partial (hu^2)}{\partial x} ∫bη∂x∂(u2)dy=∂x∂∫bηu2dy=∂x∂(hu2)

∫bη∂(uw)∂zdy=∂∂z∫bηuwdy=∂(huw)∂z \int_{b}^{\eta} \frac{\partial (uw)}{\partial z} dy = \frac{\partial}{\partial z}\int_{b}^{\eta} uwdy = \frac{\partial (huw)}{\partial z} ∫bη∂z∂(uw)dy=∂z∂∫bηuwdy=∂z∂(huw)

将 w 改为 v，表示 z 方向上的水流速度。

2.4.3 处理压强梯度项

根据静水压强假设，任意深度 yy 处的压强由上方水柱的重量产生：

p(y)=ρg(η−y) p(y) = ρg(η−y) p(y)=ρg(η−y)

(其中 η 是水面高度，ρ 是密度，g 是重力加速度)

将其代入积分（利用莱布尼茨积分法则，并考虑到水面 ηη 和水底 bb 随 xx 的变化）：

−1ρ∫bη∂p∂xdy=−g∫bη∂(η−y)∂xdy=−gh∂η∂x -\frac{1}{\rho}\int_{b}^{\eta} \frac{\partial p}{\partial x}dy = - g\int_{b}^{\eta} \frac{\partial (\eta - y)}{\partial x}dy = - gh\frac{\partial \eta}{\partial x} −ρ1∫bη∂x∂pdy=−g∫bη∂x∂(η−y)dy=−gh∂x∂η

2.4.4 处理底坡/外力项

方程右边还有一个重力在底坡上的分量 fx，重力沿坡面的分力为：

fx=−g∂b∂x f\mathrm{x} = -g\frac{\partial b}{\partial x} fx=−g∂x∂b

积分后（考虑到 hh 的厚度）：

∫bηfxdy=−gh∂b∂x \int_{b}^{\eta} f\mathrm{x} dy = -gh\frac{\partial b}{\partial x} ∫bηfxdy=−gh∂x∂b

2.4.5 合并与化简

最终得到：

∂(hu)∂t+∂∂x(hu2+12gh2)+∂(huv)∂z=−gh∂b∂x \frac{\partial (hu)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(hu^2 + \frac{1}{2}gh^2) + \frac{\partial (huv)}{\partial z} = -gh\frac{\partial b}{\partial x} ∂t∂(hu)+∂x∂(hu2+21gh2)+∂z∂(huv)=−gh∂x∂b

如上我们就得到了包含固定底床起伏的二维非线性 SWE 方程组：

①∂h∂t+∂(hu)∂x+∂(hv)∂z=0 ①\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial(hu)}{\partial x} + \frac{\partial(hv)}{\partial z} = 0 ①∂t∂h+∂x∂(hu)+∂z∂(hv)=0

②∂(hu)∂t+∂∂x(hu2+12gh2)+∂(huv)∂z=−gh∂b∂x ②\frac{\partial (hu)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(hu^2 + \frac{1}{2}gh^2) + \frac{\partial (huv)}{\partial z} = -gh\frac{\partial b}{\partial x} ②∂t∂(hu)+∂x∂(hu2+21gh2)+∂z∂(huv)=−gh∂x∂b

③∂(hv)∂t+∂(huv)∂x+∂∂z(hu2+12gh2)=−gh∂b∂z ③\frac{\partial (hv)}{\partial t} + \frac{\partial (huv)}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial z}(hu^2 + \frac{1}{2}gh^2) = -gh\frac{\partial b}{\partial z} ③∂t∂(hv)+∂x∂(huv)+∂z∂(hu2+21gh2)=−gh∂z∂b

3、初始化项

有地形时，一个关键性质是：水深不同，也可以完全静止。

静水平衡满足：

u=v=0,η=常数 u = v = 0, \eta = 常数 u=v=0,η=常数

由于：

h=η−b h = \eta - b h=η−b

底床起伏会使水深变化，但水平水面不会因此产生水平加速度。

在守恒方程中，这种静止依靠两部分相互抵消：

∂∂x(12gh2)=−gh∂b∂x \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac12gh^2\right) = -gh\frac{\partial b}{\partial x} ∂x∂(21gh2)=−gh∂x∂b

如果程序分别近似压力通量和底床源项，却没有让它们正确平衡，就可能出现"没有施加扰动，水也自己流动"的假象。

能够在离散计算中保持这类平衡的数值方法称为 well-balanced，良平衡方法。静水重构是实现这一性质的一类经典方法。

因此，做 Unity 地形水体时，静水初始化通常应当是：

h(x,z,0)=max⁡(η_0−b(x,z),0) h(x,z,0)=\max\big(\eta\_0-b(x,z),0\big) h(x,z,0)=max(η_0−b(x,z),0)

4、SWE 波速

4.1 连续性方程

考虑平底、静止背景水体，平均水深为常数 H。令：

h=H+ζ h = H + \zeta h=H+ζ

为了推导方便，我们现在只看一维（x 方向），忽略 z 方向的流动（或者假设流动在 z 方向均匀），方程变成：

∂h∂t+∂(hu)∂x=0 \frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial (hu)}{\partial x} = 0 ∂t∂h+∂x∂(hu)=0

利用乘积求导法则展开第二项：

∂h∂t+h∂u∂x+u∂h∂x=0 \frac{\partial h}{\partial t} + h\frac{\partial u}{\partial x} + u \frac{\partial h}{\partial x}= 0 ∂t∂h+h∂x∂u+u∂x∂h=0

引入"微小扰动（小振幅波）"假设，假设水面本来平静（静止水深为 H），你往水里丢了一颗小石子。水面产生了一个非常微小的波澜（高度为 ζ）。

此时：总水深 h(x,t)=H+ζ(x,t) ，并且水流速度 u(x,t) 也非常小。

把 h=H+ζ 代入刚才的一维方程：

∂(H+ζ)∂t+(H+ζ)∂u∂x+u∂(H+ζ)∂x=0 \frac{\partial (H+\zeta)}{\partial t} + (H + \zeta)\frac{\partial u}{\partial x} + u\frac{\partial (H+\zeta)}{\partial x} = 0 ∂t∂(H+ζ)+(H+ζ)∂x∂u+u∂x∂(H+ζ)=0

由于H 是不随时间变化的常数，则有：

∂H∂t=∂H∂x=0 \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial x} = 0 ∂t∂H=∂x∂H=0

又因为 ζ 和 u 都是微小量，可以忽略，也有：

ζ≈0,u≈0 \zeta \approx 0, u \approx 0 ζ≈0,u≈0

所以原式等于：

∂ζ∂t+H∂u∂x=0 \frac{\partial \zeta}{\partial t} + H\frac{\partial u}{\partial x} = 0 ∂t∂ζ+H∂x∂u=0

4.2 动量方程

在只考虑一维（x方向）且忽略底部摩擦的情况下，浅水方程的标准动量方程是：

∂u∂t+u∂u∂x=−g∂η∂x \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} = -g\frac{\partial \eta}{\partial x} ∂t∂u+u∂x∂u=−g∂x∂η

左边：速度随时间的变化率 + 对流加速度（你之前问过的，流体跑到了流速不同的地方产生的加速度）。
右边：由水面高度差（压力梯度）产生的加速度（水往低处流）。

现在，假设水面非常平静，轻轻吹了一口气，产生了一个极小的涟漪。

水流速度 u 非常非常小（趋近于 0）。
水面高度的变化量 ζ 也非常非常小。

则有：

u∂u∂x≈0 u\frac{\partial u}{\partial x} \approx 0 u∂x∂u≈0

那么原式就变为：

∂u∂t+g∂η∂x=0 \frac{\partial u}{\partial t} + g\frac{\partial \eta}{\partial x} = 0 ∂t∂u+g∂x∂η=0

4.3 计算波速

对连续性方程两边求 t 的偏导：

∂2ζ∂t2+H∂2u∂x∂t=0 \frac{\partial^2 \zeta}{\partial t^2} + H\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} = 0 ∂t2∂2ζ+H∂x∂t∂2u=0

对动量方程两边求 x 的偏导：

∂2u∂x∂t+g∂η∂2x=0 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} + g\frac{\partial \eta}{\partial^2 x} = 0 ∂x∂t∂2u+g∂2x∂η=0

联立得到：

∂2ζ∂t2=Hg∂2η∂x2 \frac{\partial^2 \zeta}{\partial t^2} = Hg\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} ∂t2∂2ζ=Hg∂x2∂2η

又因为：

η=ζ+H \eta = \zeta + H η=ζ+H

则有：

∂2η∂t2=Hg∂2η∂x2 \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} = Hg\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} ∂t2∂2η=Hg∂x2∂2η

波动方程标准形式为：

∂2η∂t2=c2∂2η∂x2 \frac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 \eta}{\partial x^2} ∂t2∂2η=c2∂x2∂2η

所以得到物理波速公式：

c=gH c = \sqrt{gH} c=gH

g 是重力加速度（约 9.81 m/s29.81m/s2）
HH 是静水深（或者当地实际水深 hh）

这个公式非常直观：

水越深，波传得越快（太平洋里的海啸速度接近飞机）。
水越浅，波传得越慢（冲上海滩的波浪会减速）。

三、数值离散方法

从方程到程序，需要选择数值离散方法。SWE 本身并不是某一种固定算法。

常见的层次关系是：

层次	解决的问题	示例
物理模型	水遵循什么规律	非线性 SWE、线性 SWE
空间离散	怎样表示空间变化	有限差分、有限体积、有限元
界面通量	相邻单元之间交换多少量	Rusanov、HLL、Roe
时间推进	怎样从当前状态推进到下一时刻	显式 Euler、Runge--Kutta

3.1 物理模型

3.1.1 选择物理模型的目的

真实水体包含大量现象：

水平流动、竖直运动；
压力变化；
黏性、摩擦和湍流；
波浪传播、破碎、飞溅；
不同波长的波以不同速度传播。

如果完整保留这些现象，求解成本会非常高。因此，需要选择一个适合研究目标的简化模型。

SWE 的主要简化是：沿水深方向进行平均，用水深和深度平均水平速度描述水体，并采用静水压力近似。它适用于水深相对水平运动尺度较小的情况。

选择物理模型，本质上是在决定：哪些现象需要计算，哪些现象可以近似或忽略。

3.1.2 一维非线性 SWE

对于平底、没有摩擦和外力的一维水流，非线性 SWE 为：

∂h∂t+∂(hu)∂x=0 \frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial (hu)}{\partial x} = 0 ∂t∂h+∂x∂(hu)=0

∂(hu)∂x+∂∂x(hu2+12gh2)=0 \frac{\partial (hu)}{\partial x} + \frac{\partial }{\partial x}(hu^2 + \frac{1}{2}gh^2) = 0 ∂x∂(hu)+∂x∂(hu2+21gh2)=0

第一条描述质量守恒，第二条描述水平动量守恒。

定义状态向量：

U= $hm$ ,m=hu U = \begin{bmatrix} h \\ m \end{bmatrix}, m = hu U= $hm$ ,m=hu

其中，m 是省略常数密度因子的动量变量。

再定义物理通量：

F(U)= $mm2h+12gh2$ F(U) = \begin{bmatrix} m \\ \frac{m^2}{h} + \frac{1}{2}gh^2 \end{bmatrix} F(U)= $mhm2+21gh2$

于是，两条方程可以统一写成：

∂U∂t+∂F(U)∂x=0 \frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial F(U)}{\partial x} = 0 ∂t∂U+∂x∂F(U)=0

这里的"非线性"，意味着状态量之间存在乘积、平方等关系。例如：

hu，hu2，h2 hu，hu^2，h^2 hu，hu2，h2

水深和速度会相互影响，波的传播速度也依赖当前状态：

u−gh，u+gh u - \sqrt{gh}，u+\sqrt{gh} u−gh ，u+gh

因此，波浪的不同部分可能具有不同传播速度，逐渐形成陡峭波面，甚至出现水跃等间断结构。

3.1.3 一维线性 SWEH

假设水体最初静止，平均水深为常数 H，扰动为 ζ：

h=H+ζ h = H + \zeta h=H+ζ

线性化时忽略扰动量之间的高阶乘积，化简连续性方程得到：

∂ζ∂t+H∂u∂x=0 \frac{\partial \zeta}{\partial t} + H\frac{\partial u}{\partial x} = 0 ∂t∂ζ+H∂x∂u=0

动量方程相应简化为：

∂u∂t+g∂ζ∂x=0 \frac{\partial u}{\partial t} + g\frac{\partial \zeta}{\partial x} = 0 ∂t∂u+g∂x∂ζ=0

它们描述围绕静止背景的小扰动传播，波速为：

c=gH c = \sqrt{gH} c=gH

3.1.4 两种物理模型的区别

比较内容	线性 SWE	非线性 SWE
主要描述对象	背景状态附近的小扰动	较一般的浅水流动
状态之间的相互作用	经过线性化简化	保留非线性耦合
静止、常水深背景的波速	固定为$\sqrt{gH}$	随局部水深、流速变化
水跃、明显的波面陡化	不能完整描述	可以描述，需合适的数值格式
典型用途	小波动分析、简化波纹模拟	浅水流动、溃坝、交互水体等

把网格加密，不能补回物理模型已经忽略的现象。

例如，线性 SWE 即使用很细的网格，也不会自动变成非线性 SWE；基础 SWE 即使求解得非常精确，也不会自动产生真实水滴和翻卷浪头。

此外，物理问题还需要配套的初始条件、边界条件和外部作用。例如：最初的水深、墙壁位置、入口流量，以及物体怎样向水体施加扰动。

3.2 空间离散

3.2.1 空间离散的含义

连续模型中的：

h(x,t)，u(x,t) h(x, t)，u(x, t) h(x,t)，u(x,t)

在任意位置都具有值。计算机无法保存无限多个位置，因此需要用有限个数据近似整个空间。

例如，将一条水槽划分为 N 个区域：

Δx=LN \Delta x = \frac{L}{N} Δx=NL

但"划分网格"只是开始，还需要明确：

每个位置保存什么；
一个区域内部的状态怎样表示；
空间导数或区域积分怎样近似。

有限差分、有限体积和有限元，在这些问题上采用不同思路。下面通过一维网格来介绍这些方法。

3.2.2 有限差分法

有限差分法通常保存若干位置上的函数值：

hi(t)≈h(xi,t) h_i(t)\approx h(x_i,t) hi(t)≈h(xi,t)

例如，用中心差分近似水面坡度：

∂η∂x∣xi≈ηi+1−ηi−12Δx \left. \frac{\partial \eta}{\partial x} \right |{x_i} \approx \frac{\eta{i+1}-\eta_{i-1}}{2\Delta x} ∂x∂η xi≈2Δxηi+1−ηi−1

如果采用线性 SWE：

∂u∂t=−g∂ζ∂x \frac{\partial u}{\partial t} = -g\frac{\partial \zeta}{\partial x} ∂t∂u=−g∂x∂ζ

空间离散后就得到：

duidt≈−gζi+1−ζi−12Δx \frac{du_i}{dt} \approx -g\frac{\zeta_{i+1}-\zeta_{i-1}}{2\Delta x} dtdui≈−g2Δxζi+1−ζi−1

原本连续的空间导数，变成了相邻数据之间的运算。注意，此时只完成了空间离散，还没有决定如何推进时间。

有限差分法的直观特点是：

对规则网格很容易实现；
相邻采样和纹理操作比较自然；
可以构造高阶导数近似；
稳定性和守恒性取决于具体格式。

空间离散（算空间导数）和时间离散（算时间推进）必须满足稳定性条件（CFL 条件），且不同组合的稳定性完全不同。 不要以为随便用什么方法（比如中心差分 + 显示时间推进）都能算出正确结果。

3.2.3 有限体积法

有限体积法把每个网格视为一个有大小的控制体。

1、有限体积法区域内存量变化计算

一维情况下，单元 i 的左右边界为：

xi−12，xi+12 x_{i - \frac{1}{2}}，x_{i + \frac{1}{2}} xi−21，xi+21

这里：

整数下标 i：单元；
半整数下标 i+1/2：两个单元之间的界面。

保存的状态是单元平均值：

Ui‾=1Δx∫xi−12xi+12U(x,t) dx \overline{U_i} = \frac{1}{\Delta x}\int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} U(x, t)\,dx Ui=Δx1∫xi−21xi+21U(x,t)dx

公式两边同时对时间 t 求导数：

Ui‾=ddt(1Δx∫xi−12xi+12U(x,t) dx) \overline{U_i} = \frac{d}{dt} \left ( \frac{1}{\Delta x}\int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} U(x, t)\,dx \right ) Ui=dtd Δx1∫xi−21xi+21U(x,t)dx

积分区间固定，可以由莱布尼茨积分法则把时间导数直接移到积分括号里面：

Ui‾=1Δx∫xi−12xi+12∂U(x,t)∂t dx \overline{U_i} = \frac{1}{\Delta x}\int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} \frac{\partial U(x, t)}{\partial t}\,dx Ui=Δx1∫xi−21xi+21∂t∂U(x,t)dx

由一维浅水方程核心部分：

∂U∂t+∂F∂x=0 \frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x} = 0 ∂t∂U+∂x∂F=0

其中 U= $h,hu$ T，F= $hu,hu2+12gh2$ T 其中\,U= $h, hu$ ^T，F = $hu, hu\^2+\\frac{1}{2}gh\^2$ ^T 其中U= $h,hu$ T，F= $hu,hu2+21gh2$ T

将其带入刚才的积分中：

dUi‾dt=1Δx∫xi−12xi+12(−∂F(x,t)∂x)dx \frac{d\overline{U_i}}{dt} = \frac{1}{\Delta x}\int_{x_{i-\frac{1}{2}}}^{x_{i+\frac{1}{2}}} \left ( -\frac{\partial F(x, t)}{\partial x}\right )dx dtdUi=Δx1∫xi−21xi+21(−∂x∂F(x,t))dx

最终得到：

dUi‾dt=−F(xi+12)−F(xi−12)Δx \frac{d\overline{U_i}}{dt} = -\frac{F(x_{i+\frac{1}{2}}) - F(x_{i-\frac{1}{2}})}{\Delta x} dtdUi=−ΔxF(xi+21)−F(xi−21)

实际计算时，再用数值通量近似界面通量：

dUi‾dt=−F^(xi+12)−F^(xi−12)Δx \frac{d\overline{U_i}}{dt} = -\frac{\widehat{F}(x_{i+\frac{1}{2}})- \widehat{F}(x_{i-\frac{1}{2}})}{\Delta x} dtdUi=−ΔxF (xi+21)−F (xi−21)

上式表达的是：单元内部存量的变化。由左右两侧的净流入决定。

2、有限体积元的内部守恒变量的处理

① 常数

有限体积法并不意味着每个单元内部永远只能是一个常数。最简单的做法是分片常数，即整个单元都使用同一个状态。这通常对应基础的一阶空间近似。即：

U(x)≈U‾i U(x) \approx \overline{U}_i U(x)≈Ui

② 线性重构

使用分片线性重构：

Ui(x)≈U‾i+σi(x−xi) U_i(x) \approx \overline{U}_i + \sigma_i(x - x_i) Ui(x)≈Ui+σi(x−xi)

其中 σi 是单元内的斜率。

这样可以更好地表示平滑波形。但在陡峭波面附近，直接使用较大的斜率可能产生过冲，例如计算出不合理的负水深。因此，通常需要限制器；对于 SWE，还可能需要额外的正水深约束与静水平衡处理。

3.2.4 有限元法

有限元法的基本形式是：

Uh(x,t)=∑jaj(t)ϕj(x) U_h(x, t) = \sum_{j}a_j(t) \phi_j(x) Uh(x,t)=j∑aj(t)ϕj(x)

其中：

ϕj(x)ϕj(x)：预先选定的基函数；
aj(t)aj(t)：需要求解的系数；
UhUh：对真实状态的近似。

例如，最简单的线性单元，可以通过端点值在单元内部进行线性插值。

随后，将微分方程乘以测试函数并进行积分，使方程在这种积分意义下成立。这称为弱形式。

有限元也有不同类型。连续 Galerkin 有限元通常要求相邻单元的解满足相应连续性；间断 Galerkin（DG）允许单元之间出现状态跳跃，因此同样需要数值界面通量来连接相邻单元。

3.2.5 三种离散方法的区别

方法	常见未知量表示	对当前项目的主要考虑
有限差分	网格点上的状态值	规则网格实现直接，适合先理解导数和波动
有限体积	单元平均状态	便于明确跟踪水量、动量以及区域之间的交换
有限元	基函数系数	适合复杂几何、高阶近似等需求，入门实现更复杂

3.3 界面通量

3.3.1 物理通量和数值通量的关系

物理模型给出了：

F(U)= $huhu2+12gh2$ F(U) = \begin{bmatrix} hu \\ hu^2 + \frac{1}{2}gh^2 \end{bmatrix} F(U)= $huhu2+21gh2$

但在离散网格中，同一个界面有两个来源不同的状态：

UL，UR U_L，U_R UL，UR

它们分别来自：

左单元的右边界；
右单元的左边界。

两侧水深、速度可能不同，因此：

F(UL)≠F(UR) F(U_L) \neq F(U_R) F(UL)=F(UR)

而一个共享界面需要有统一的交换量，因此要根据左右两侧状态计算：

F‾=F(UL,UR) \overline{F} = \mathcal F(U_L, U_R) F=F(UL,UR)

这里：

F：由物理模型规定的物理通量；
\mathcal F：选择的数值通量算法；
\overline F：实际用于网格更新的界面通量。

3.3.2 局部 Riemann 问题

可以把两个单元之间的界面暂时看成一道隔板：

左侧具有状态 UL；
右侧具有状态 UR；
在某一时刻移除隔板。

随后会产生波，并在界面附近形成新的流动状态。

这种左右初始状态各自为常数的问题，称为 Riemann 问题。

精确求解它可以得到界面处的状态和通量。但在大量网格、每个时间步都要计算的情况下，通常会采用近似求解器。

3.3.3 Rusanov：平均物理通量，加上数值耗散

Rusanov 通量也称局部 Lax-Friderichs 通量：

F^Rus=FL+FR2−a2(UR−UL) \widehat F _{Rus} = \frac{F_L + F_R}{2}-\frac{a}{2}(U_R-U_L) F Rus=2FL+FR−2a(UR−UL)

其中：

FL=F(UL)，FR=F(UR) F_L = F(U_L)，F_R = F(U_R) FL=F(UL)，FR=F(UR)

对全湿 SWE，一种常见的局部速度估计为：

a=max(∣uL∣+ghL，∣uR∣+ghR) a = max \left ( |u_L| + \sqrt{gh_L}，|u_R| + \sqrt{gh_R} \right ) a=max(∣uL∣+ghL ，∣uR∣+ghR )

公式分为两部分：

FL+FR2 \frac{F_L + F_R}{2} 2FL+FR

取两侧物理通量的平均值；

−a2(UR−UL) -\frac{a}{2}(U_R-U_L) −2a(UR−UL)

根据状态差异加入数值耗散。

这种耗散有助于抑制振荡，但也可能把陡峭变化和细小波纹抹平。因此，Rusanov 实现简单，但计算出的波浪细节也与网格大小、重构阶数有关。

例如，设：

hL=2，hR=1uL=uR=0，g=9.81 h_L = 2，h_R = 1 \\ u_L = u_R = 0，g = 9.81 hL=2，hR=1uL=uR=0，g=9.81

则：

UL= $20$ ，UR= $10$ U_L = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}，U_R = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} UL= $20$ ，UR= $10$

物理通量为：

FL= $019.62$ ，FR= $04.905$ F_L = \begin{bmatrix} 0 \\ 19.62 \end{bmatrix}，F_R = \begin{bmatrix} 0 \\ 4.905 \end{bmatrix} FL= $019.62$ ，FR= $04.905$

最大速度估计：

a=9.81×2≈4.429 a = \sqrt{9.81 \times 2} \approx 4.429 a=9.81×2 ≈4.429

最终：

F^Rus≈ $2.21512.263$ \widehat F_{Rus} \approx \begin{bmatrix} 2.215 \\ 12.263 \end{bmatrix} F Rus≈ $2.21512.263$

第一项是单位宽度体积流量，正号表示向右输水。

尽管两侧初始速度都是零，水深差引起的压力不平衡仍会产生流动。 数值通量是在近似界面问题随即发生的演化。

3.3.4 HLL：分别估计向左和向右的波速

HLL 使用两个波速：

SL，SR S_L，S_R SL，SR

分别表示最左侧和最右侧传播信号的速度估计。

对全湿 SWE，一种基础估计是：

SL=min(uL−ghL，uR−ghR)SL=max(uL+ghL，uR+ghR) S_L = min\left ( u_L - \sqrt{gh_L}，u_R - \sqrt{gh_R} \right ) \\ S_L = max\left ( u_L + \sqrt{gh_L}，u_R + \sqrt{gh_R} \right ) SL=min(uL−ghL ，uR−ghR )SL=max(uL+ghL ，uR+ghR )

具体求解器也可能采用更稳健的速度估计，干床情况尤其需要专门处理。

HLL 通量为：

F^HLL={FL,SL≥0SRFL−SLFR+SLSR(UR−UL)SR−SL,SL<0<SRFR,SR≤0 \widehat F_{HLL} = \begin{cases} F_L, & S_L \ge0 \\ \frac{S_R F_L - S_L F_R + S_L S_R(U_R - U_L)}{S_R-S_L}, & S_L < 0 < S_R \\ F_R, & S_R \le0 \end{cases} F HLL=⎩ ⎨ ⎧FL,SR−SLSRFL−SLFR+SLSR(UR−UL),FR,SL≥0SL<0<SRSR≤0

它体现了传播方向：

如果所有信号都向右传播，界面由左侧状态决定；
如果所有信号都向左传播，界面由右侧状态决定；
如果信号向两侧传播，就使用中间表达式。

HLL 将两个外侧波之间的复杂结构近似为一个平均状态。

Rusanov 与 HLL 还有一个直接关系。令：

SL=−a，SR=a S_L = -a，S_R = a SL=−a，SR=a

HLL 就会化简成 Rusanov 通量。

所以，HLL 并不保证在每一种状态下都比 Rusanov 更精细；采用对称速度估计时，两者可以完全相同。

3.3.5 Roe：分解不同的波，再分别处理传播

Roe 的思路是：在界面附近构造一个具有特定守恒性质的局部线性系统，用它近似原来的非线性问题。

对一维 SWE，常用 Roe 平均为：

u~=uLhL+uRhRhL+hRh~=hL+hR2，c~=gh~ \widetilde u = \frac{u_L \sqrt{h_L} + u_R{\sqrt{h_R}}}{\sqrt{h_L} + \sqrt{h_R}} \\ \widetilde h = \frac{h_L + h_R}{2}，\widetilde c = \sqrt{g\widetilde h} u =hL +hR uLhL +uRhR h =2hL+hR，c =gh

两个特征速度为：

λ~1=u~−c~，λ~2=u~+c~ \widetilde \lambda_1 = \widetilde u - \widetilde c，\widetilde \lambda_2 = \widetilde u + \widetilde c λ 1=u −c ，λ 2=u +c

把状态差分解成两个波：

UR−UL=α1r1+α2r2 U_R - U_L = \alpha_1 \boldsymbol r_1 + \alpha_2\boldsymbol r_2 UR−UL=α1r1+α2r2

再计算：

F^Roe=FL+FR2−12∑p=12∣λ~p∣αprp \widehat F_{Roe} = \frac{F_L + F_R}{2} - \frac{1}{2}\sum_{p=1}^{2}|\widetilde \lambda_p| \alpha_p \boldsymbol r_p F Roe=2FL+FR−21p=1∑2∣λ p∣αprp

可以把它理解为：每一种波按照自己的传播速度提供相应的数值耗散。

Roe 能较细致地处理波结构，但标准 Roe 方法还存在需要处理的问题，例如跨声速稀疏波的熵修正，以及某些状态下出现非物理负水深。

3.3.6 三种通量应怎样比较

通量	核心做法	主要考虑
Rusanov鲁萨诺夫	一个最大传播速度控制耗散	简单，适合作为基础实现；耗散可能较大
HLL	使用左右两个传播速度	体现传播方向，稳健性依赖速度估计等配套处理
Roe	对不同特征波分别处理	波结构分辨较细，需要熵修正、正水深等处理

一个单元界面的平均水面是平的，也不意味着动量通量为零。静水中仍有压力通量；静止状态依靠两侧压力作用相互抵消来保持。

3.4 时间推进

3.4.1 空间离散后，得到的是变化率

完成空间离散和通量计算后，可以写出：

dU‾idt=Li(U‾) \frac{d\overline{\boldsymbol U}_i}{dt} = \mathcal L_i(\overline{\boldsymbol U}) dtdUi=Li(U)

其中：

Li(U‾)=−F^i+12−F^i−12Δx+S‾i \mathcal L_i(\overline{\boldsymbol U}) = -\frac{ \widehat{\boldsymbol F}{i+\frac12} - \widehat{\boldsymbol F}{i-\frac12} }{\Delta x} + \overline{\boldsymbol S}_i Li(U)=−ΔxF i+21−F i−21+Si

\mathcal L 是离散空间算子，它负责根据当前状态计算：

各界面的流动；
单元内水深的变化率；
单元内动量的变化率；
必要的源项作用。

此时，整个问题成为一组关于时间的常微分方程。

时间推进方法决定：如何利用这些变化率，把当前状态推进到下一时刻。

这种先离散空间、再求解时间变化的方法通常称为线方法。

3.4.2 显式 Euler：使用当前变化率前进一步

显示 Euler 为：

U(n+1)=Un+ΔtL(Un) U^(n+1) = U^n + \Delta t \mathcal L(U^n) U(n+1)=Un+ΔtL(Un)

含义是：假设在这一个短时间段内，状态按照当前变化率变化。它只计算一次空间算子，形式最简单，时间精度为一阶。

使用 3.3.3 中的例子，设两个单元宽度均为：

Δx=1m \Delta x = 1 m Δx=1m

它们之间的体积通量约为：

F^h=2.215m2/s \widehat F_h = 2.215 m^2/s F h=2.215m2/s

若外侧边界没有水流通过，取：

Δt=0.05s \Delta t = 0.05s Δt=0.05s

则左单元水深减少：

ΔhL=−ΔtΔxF^h≈−0.1107m \Delta h_L = - \frac{\Delta t}{\Delta x}\widehat F_h \approx -0.1107m ΔhL=−ΔxΔtF h≈−0.1107m

右单元增加相同水深：

ΔhR≈+0.1107m \Delta h_R \approx +0.1107m ΔhR≈+0.1107m

于是：

hLn+1≈1.8893hRn+1≈1.1107 h_L^{n+1} \approx 1.8893 \\ h_R^{n+1} \approx 1.1107 hLn+1≈1.8893hRn+1≈1.1107

这里展示了质量分量；实际求解器还必须同步更新动量分量。

4.2.3 Runge-Kutta：在一个时间步内多次评估变化率

Runge--Kutta 是一类方法的统称。它通过构造中间状态，多次评估变化率，再组合得到下一时刻的结果。

常见的二阶 SSP Runge--Kutta 为：

U(1)=Un+ΔtL(Un)U(n+1)=12Un+12 $U(1)+ΔtL(U(1))$ U^{(1)}=U^n+\Delta t\mathcal L(U^n) \\ U^{(n+1)}=\frac{1}{2}U^n+\frac{1}{2}\left $U\^{(1)}+\\Delta t \\mathcal L(U\^{(1)}) \\right$ U(1)=Un+ΔtL(Un)U(n+1)=21Un+21 $U(1)+ΔtL(U(1))$

第一阶段得到预测状态；第二阶段重新计算预测状态下的变化率，再进行组合。第二阶段必须重新计算通量。

4.2.4 SSPRK3 与"强稳定保持"

三阶 SSP Runge-Kutta 的常见形式为：

U(1)=Un+ΔtL(Un)U(2)=34Un+14 $U(1)+ΔtL(U(1))$ U(n+1)=13Un+23 $U(2)+ΔtL(U(2))$ U^{(1)}=U^n+\Delta t\mathcal L(U^n) \\ U^{(2)}=\frac{3}{4}U^n+\frac{1}{4}\left $U\^{(1)}+\\Delta t \\mathcal L(U\^{(1)}) \\right$ \\ U^{(n+1)}=\frac{1}{3}U^n+\frac{2}{3}\left $U\^{(2)}+\\Delta t \\mathcal L(U\^{(2)}) \\right$ U(1)=Un+ΔtL(Un)U(2)=43Un+41 $U(1)+ΔtL(U(1))$ U(n+1)=31Un+32 $U(2)+ΔtL(U(2))$

它需要三次空间算子评估。

SSP 的含义是：如果空间离散与前向 Euler 在一定步长限制下具有某种合适的稳定性质，SSP 时间方法可以在相应限制下保留该性质。它不能自动修复本来就不稳定或会产生负水深的空间离散。

3.2.5 三种离散方式的区别

方法	时间阶数	每步空间算子评估次数
显式 Euler	1	1
SSPRK2	2	2
SSPRK3	3	3
经典 RK4	4	4

时间阶数更高，并不自动意味着更适合你的实现。还需要考虑稳定性、空间误差、显存访问和总计算成本。

3.2.6 时间精度与空间精度的耦合

假设空间离散只有一阶，而时间推进使用四阶 RK，整体误差仍可能主要来自空间离散：

误差∼CxΔx+CtΔt4 误差 \sim C_x \Delta x + C_t \Delta t^4 误差∼CxΔx+CtΔt4

这是平滑解条件下的示意关系。

因此：

一阶空间方法加高阶时间方法，不能自动恢复被空间耗散抹掉的波纹；
高阶空间方法加过于粗糙的时间推进，也可能损失精度；
存在间断时，局部精度还会受到限制器等因素影响。

一个常见的升级方向是：先建立一阶有限体积与显式 Euler 基线，再增加受限线性重构和 SSPRK2。

3.2.7 时间步长的稳定性要求

对常见一维显式格式，CFL 条件具有如下形式：

Δt≤CCFLΔxmaxi(∣ui∣+ghi) \Delta t \leq C_{CFL}\frac{\Delta x}{max_i(|u_i|+\sqrt{gh_i})} Δt≤CCFLmaxi(∣ui∣+ghi )Δx

这里的 Ccfl 上限依赖具体格式。对于显式 Euler 时间推进，一维情况下 Cmax=1；但在多维或高阶格式下，通常取 0.5∼0.9 以确保安全。

二维非分裂格式常见的保守步长形式为：

Δt≤CCFLaxΔx+azΔz \Delta t \leq \frac{C_{CFL}}{\frac{a_x}{\Delta x}+\frac{a_z}{\Delta z}} Δt≤Δxax+ΔzazCCFL

其中 ax, az 是两个方向的最大传播速度估计。

CFL 约束将前面各层联系起来：物理模型决定传播速度，空间网格决定信息需要跨越的距离，时间方法影响允许的稳定步长。显式 SWE 求解器通常据此选择时间步。

对于二维规则网格，如果其他条件不变，将两个方向的网格间距都减半：

单元总数约增加到 4 倍；
显式时间步通常也需要减半；
模拟同样物理时长的基础计算量可能接近 8 倍。