本章内容为数据结构学习，参照B站up"蓝不过海呀"
目录
[父节点 子结点](#父节点 子结点)
[兄弟结点 堂兄弟](#兄弟结点 堂兄弟)
[祖先节点 子孙节点](#祖先节点 子孙节点)
[定义一 原始定义](#定义一 原始定义)
[定义二 递归定义](#定义二 递归定义)
[深度 高度](#深度 高度)
[度为m的树 m叉树](#度为m的树 m叉树)
[有序树 无序树](#有序树 无序树)
[路径 路径长度](#路径 路径长度)
[节点数 边数 度数](#节点数 边数 度数)
[二叉树 Binary Tree](#二叉树 Binary Tree)
树结构的引入
前面学习的线性表、栈、队列都属于线性结构 ：数据元素之间是"一个接一个"的关系，除首尾外，每个元素只有一个前驱和一个后继。但现实中有很多关系并不是线性的，而是层次关系。
计算机里的树结构就像一株倒过来的树
树的基本概念
节点
结点：树中的一个独立单元。包含一个数据元素及若干指向其子树的分支，如图中的A、B、C、D等
根节点
根节点：树中最上层的唯一结点。如A
父节点 子结点
父节点：又称双亲结点
子结点：又称孩子节点
结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲
如：B、C、D是A的子节点 ；A是B、C、D的父节点
同理：对于B而言，其子节点为：E、F；对I结点而言，其子结点为J、K
根节点无父结点，叶节点无子节点
边
边：节点与节点相连的线段。
上边说根节点无父结点，两个结点对一个边。
那么一个树有N个结点，则存在N-1个边
兄弟结点 堂兄弟
兄弟节点：同一个双亲的结点称作：兄弟节点
如结点B、C、D之父节点皆为A，那么B、C、D之间互为兄弟节点
再者E同F、J同K之间也互为兄弟节点
祖先节点 子孙节点
祖先节点：从根到该结点所经分支上的所有结点
如：A→C→G→H
A为C、G、H的祖先节点；反之，C、G、H均为A的子孙节点
再者：A→B→F，A→D→I→J等，皆如此
对于A结点而言，树上除它本身外的所有结点都是它的子孙节点
叶节点
叶节点：又称叶子、叶子节点
没有子节点的结点叫做叶节点
树的两个定义
定义一 原始定义
树是由n个结点构成的有限集合
n=0：空树
n>=0：有且仅有一个根节点
其余可以不断细分为m个互不相交的子集 ，每个子集也是树，这些子集称为根节点A的子树
一棵树，有且仅有一个根节点
定义二 递归定义
一棵树可以不断细分为m个互不相交的子集 ，每个子集也是树，这些子集称为根节点A的子树
我们可以把子树从根节点A中分离出来。比如把左红色部分抽出来
则B为E、F的根节点，节点数n=3。其中E、F亦可分为两个不相交的子树
所以从树中分离出来的子树本身也是一种树，树是可以递归下去的
术语
层数
我们根据根节点（祖先节点）-子节点-子孙节点可以对树进行分层
深度 高度
深度：一个结点的深度表示从上往下，它所在的层次。
高度：一个结点的高度表示以它为根的子树的层数
对于树（包含子树）而言，层数=深度=高度
结点的度
节点的度：该节点的子节点的个数
如：A的度为3；B的度为2；D的度为1；E、F、H、J、K的度为0
叶结点
叶节点的第二个定义：度为0的结点叫叶节点
分支节点
度>0的结点叫分支节点
如：A、B、C、D、G、I
树的度
树中结点最大的度数
如下图的树的度为3，我们也成这棵树叫度为3的树
度为m的树 m叉树
度为m的树：这棵树的度为几，那这棵树就叫做度为几的树，其名字随着度的改变而改变
m叉树：树里面最多有m个分支。即树的度不得超过m
- 共同点：树的结点最多为m
- 不同点：度为m的树至少有一个结点的度等于m；m叉树的所有结点都可以小于m，甚至为0（空树）
有序树 无序树
有序树：各结点的子树从左到右有次序、不能互换，叫做有序树
无序树：不满足上式的叫做无序树
路径 路径长度
两个节点的路径就是从上到下经过的节点序列
路径长度：经过的边数是路径的长度
森林
由m(m>=0)棵互补相交的树所构成的集合
森林也可以变为树
树的性质
节点数 边数 度数
节点数n=边数+1=所有结点的度数+1
一条边就是一个度
节点数可表示：或
边数可表示：或
节点i的度可表示：或
或
树T的度可表示：
那么对于度为m的树T而言，即对于
节点数：
所有结点度数：
我们可以这样理解：n个节点假设都有父节点，那么必然与其父节点存在n条边。但根节点不存在父节点，自然不存在其边，故整个树仅有
条边。根据前面的，对于一个结点而言，它有几个子结点，就有几条边，就有几个度。那么除开根结点外存在
那么：n=各结点度数之和+1
下图中：度deg简作m
对于这个，我们也可以理解为：这棵树=根节点+森林的形式，森林即"人类社会"，根结点为"人神"，统计完人类社会后再加上人神这个1即可。
m叉树每层最多节点数
m叉树每层最多节点数：
我们要第三层的节点数最多，那么第二层的节点数也必须达到最多，在前面的基础上，我们要第三层的节点数真的最多，那么应道填满第三层
此性质同时满足于：m叉树与度为m的树
高h的m叉树最多结点数
对于m叉树和度为m的树而言，都是成立的
对于高度为h的m叉树，我们已经知道了其每一层的最多结点数为。对于树而言，高度=深度=层数，那么第h层最多结点数为
那么自第1层到第h层各结点分别为：、
、...
。我们发现这是一个等比数列，公比为
，根据等比数列求和公式
，带入得：
高h的m叉树最少结点数
因为m叉树可以使所有结点度小于m，则高度为h的m叉树最少可以有h个结点
高h度m的树最少结点
我们考虑树的最后一层存在m个结点即可，结点最少为：
n结点m叉树最小高度
同理，满结点的情况下，m叉树性质=度为m的树
如图：设最小高度为，最小高度不能比
小，也不能比
大
情况一：
当第h层的结点数仅为1时，高度h存在最小值，其总结点数
情况二：
当第h层的结点数填满时，高度h存在最大值，其总结点数
那么：
方便计算，略去+1
化简得：
两边取对数：其中
，
则左右取整后仅相差1，因为左边<=h，
即
n结点m叉树最大高度
为n
一棵树的结点越少，那么这棵树就越高
n结点度m数=树最大高度
树的性质总结
满结点的情况下（或 度个数越多越好的情况下），m叉树性质=度为m的树性质
二叉树 Binary Tree
二叉树是应用的最广泛的一种树形结构
二叉树的定义
- 由n个结点组成的有限集合
- n=0时，为空二叉树
- n>0时，二叉树由根+互不相交的左子树 和右子树组成（左右子树也是二叉树）
二叉树和度为二的树
|------------|-------------|
| 二叉树 | 度为二的树 |
| 所有结点都可以小于2 | 至少有一个节点的度为2 |
| 有序树，严格区分左右 | 无序树，不区分左右 |
二叉树≠度为2的树≠二叉树
二叉树的基本形态
二叉树的基本形态有五个：空二叉树，根、根+左子树、根+右子树、根+左右子树
任何二叉树都可以由以上五种复合而来
特殊的二叉树
满二叉树
满二叉树就是最"丰满"的二叉树
特征：
所有分支节点都有两个子节点
所有叶节点都在最后一层
或者
满二叉树的结点的度仅有0或2两种情况
完全二叉树
除最后一层外其他层数的结点必须是满的 ；且最后一层可以不满，但必须从左到右连续排列
若最后一层满了，那这颗完全二叉树也是一颗满二叉树
二叉树的性质
结点数之间的关系
设
度为0的结点数 为：
度为1的结点数 为：
度为2的结点数 为：
该二叉树的结点数：
根据树的结点数的性质，结点数n=所有结点度数之和+1
联立：
二叉树每层最多结点数
根据前面的"m叉树每层最多结点数"为：
令
再记二叉树的层数为
同理，我们可以进一步得出二叉树最多有多少个结点
根据前面的，h层的m叉树最多有
令
h层的二叉树最多有
当二叉树为满二叉树时，满二叉树有
完全二叉树的性质
编号性质
首先我们对于一个完全二叉树进行编号。编号的规则是：从上到下，从左到右依次对结点编号为
一、
设对第i个结点，其左孩子的编号为：
二、
最后一个分支节点（并非仅指整棵树的末分支节点）的编号为：整个树的编号（或者叫与它相对应的最后一个结点的编号）除以2，即：
既然是最后一个分支节点，那意思等价为：这个结点之后（不包含自己）的所有结点都是叶节点
即：满足
度为1的性质
一个完全二叉树，度为1的结点有且仅有1个或0个
叶节点只可能出现在最后两层
完全二叉树叶节点只可能出现在最后两层
具有n个结点的完全二叉树的高度
具有n个结点的完全二叉树的高度**
等价：n个结点的二叉树的最小高度
我们设这一完全二叉树的高度为h
情况一：明显，不能存在，这说明要想使树的高度为h，末层就必须至少存在一个结点，那么对于上面
层的结点个数为：
，再加上第h层的这一个，则有：
情况二：明显，不能存在，这说明想使树的高度为h，末层的结点最多填满而不能继续开辟下一层。那么这时这颗完全二叉树就是一颗满二叉树，则总结点数最多为：
综上有： ①
解法一：将①上式变形为：
进一步：
两边取对数得：
即：
向上取整为：
解法二：将①式变形为：
两边取对数得：
即：
向下取整为：
根据取整函数的平移性，得：
的d