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根据blog 深度学习0:数学知识:正态分布3(积分,指数函数积分公式)
知道下面
∫ x n d x = 1 n + 1 x n + 1 \int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} ∫xndx=n+11xn+1
而 ∫ 0 + ∞ e − u d u = 1 \int_{0}^{+\infty} e^{-u} du = 1 ∫0+∞e−udu=1怎么来的
一、指数函数的积分规则
在微积分中，有一个极其优美的性质：
e x e^x ex 的导数还是 e x e^x ex， e x e^x ex 的积分也还是 e x e^x ex。
如果是 e k u e^{ku} eku （ k k k 是常数），根据链式法则：
- 它的导数是 k ⋅ e k u k \cdot e^{ku} k⋅eku
- 所以它的积分就是 1 k e k u \frac{1}{k}e^{ku} k1eku
在 ∫ 0 + ∞ e − u d u \int_{0}^{+\infty} e^{-u} du ∫0+∞e−udu = 里，指数是 − u -u −u，也就是 k = − 1 k = -1 k=−1。
所以， e − u e^{-u} e−u 的原函数就是 1 − 1 e − u \frac{1}{-1}e^{-u} −11e−u，也就是 − e − u -e^{-u} −e−u。
二、代入上下限计算（定积分）
现在我们用求出来的原函数 − e − u -e^{-u} −e−u，把上限 ( + ∞ ) (+\infty) (+∞) 和下限 ( 0 ) (0) (0) 代进去相减：
-
代入上限 + ∞ +\infty +∞：
− e − ∞ -e^{-\infty} −e−∞
我们知道， e e e 的负无穷次方，相当于 1 e ∞ \frac{1}{e^{\infty}} e∞1，分母无穷大，整个分数就趋近于 0。所以上限代入结果是 0。
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代入下限 0 0 0：
− e − 0 -e^{-0} −e−0
任何数的0次方都是1，所以 e 0 = 1 e^0 = 1 e0=1。前面有个负号，所以下限代入结果是 − 1 -1 −1。
-
上限结果 减去 下限结果：
0 − ( − 1 ) = 1 0 - (-1) = 1 0−(−1)=1
这就是为什么它等于 1！
三、这到底在几何上求了个啥面积？
你可以想象一下 y = e − u y = e^{-u} y=e−u 这条曲线（从 u = 0 u = 0 u=0 开始往右画）：
- 当 u = 0 u = 0 u=0 时，高度是 e 0 = 1 e^0 = 1 e0=1。
- 当 u u u 变大，高度迅速下降，趋近于 0（像一条长长的尾巴贴着地面）。
这个积分的意思是：求这条从0到正无穷的"长尾巴"曲线下方的总面积。
结果算出来，这个面积刚好等于 1。这在概率论和物理学中是一个非常经典且基础的结果（比如用来推导指数分布）。