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概要&序論
背包问题近年的笔试面试考察比较多。值得一讲。本文是讲解给初学者听的，如果你懂得背包问题的基本内容，请跳过。
一、背包问题概念
背包问题本质是：你有一个背包，地上一堆物品，挑选一些物品放入背包中，问最大能挑选出来的价值是多少。
要解决这个问题，首先需要明确两类核心属性。
- 第一是物品的属性，即每件物品自身的体积和价值。例如图中有三件物品，体积分别为4、5、2，价值分别为1、7、9。
- 第二是背包的属性，即背包的容量。
在实际问题中，背包状态有两种情况，即装满 和不装满，两者的初始化逻辑不同。
此外，根据物品数量的限制，背包问题主要分为两种模型。
- 如果每种物品只有1个，这就是经典的01背包问题。
- 如果每种物品的数量是无限的（无穷多个），这就是完全背包问题。
二、01背包模板
力扣上找不到纯粹的背包，我在牛客上找到了一道。
来看看。这里有两问，先看第一问。
2.1背包问题的状态表示经验
一般的，我们还是喜欢按照我们的经验，以某一个位置为结尾，加上题目的要求。于是自然而然就会想到：
dpi 表示：从前 i 个物品中选，所有选法中，能挑选出来的最大价值
但是，我会告诉你，他是错误的，你需要记忆一个全新的经验。关于背包问题的状态表示：（不是死记硬背，但是和前面讲别的类型时一样，这样的模板题的状态表示十分有参考价值。）
dpij 表示：从前 i 个物品中挑选，总体积不超过 j，所有选法中，能挑选出来的最大价值
2.2基于以往的经验，写出状态转移方程
根据以往的经验，不难想到这么去划分状态：
根据第i个位置的状态进行划分，第i个位置我们选与不选可以作为划分依据。
2.3初始化？依旧是以往的经验
dpij 表示：从前 i 个物品中挑选，总体积不超过 j，所有选法中，能挑选出来的最大价值
如何初始化？还是以往的经验，在dp表外面再包一层，第一行表示第0个物品，那么不论j到底是什么，我没有物品去装，总价值就是0，所以第一行就是0.第一列，j = 0 ，所以背包的容积是0，那么不论我到第几个物品，我能装下的始终是0.
所以不需要初始化。
2.4完整代码
cpp
int UnfilledBag(vector<pair<int,int>>& member , int V , int n){
vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(V+1,0));
for(int i = 1 ; i <= member.size() ; i ++){
for(int j = 1 ; j <= V ; j ++){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j - member[i-1].first >= 0){
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j - member[i-1].first] + member[i-1].second);
}
}
}
return dp[member.size()][V];
}2.5满背包的01背包
来看第二问：
要求最终恰好装满背包，求能获得的最大总价值。若不存在使背包恰好装满的装法，则答案记为 0
和第一问差不太多。 但是我们要约定一件事情：什么事情？如果不能装满，就记为-1；
为什么前者（子问题）不满包，会牵连后者（当前情况）同样为 -1？
一句话解释：如果你决定装入第 i 个物品，那么剩下的空间 j-Vi 必须能够被前 i-1 个物品"完美填满"。如果剩下的空间本身就填不满（即等于 -1），那你加上第 i 个物品后，整个背包依然会有空隙，绝对不可能达到"恰好装满 j"的要求。
2.5完整代码
cpp
int filledBag(vector<pair<int,int>>& member , int V , int n){
vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(V+1,0));
for(int i = 1 ; i <= V ; i ++)
dp[0][i] = -1;
for(int i = 1 ; i <= member.size() ; i ++){
for(int j = 1 ; j <= V ; j ++){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j - member[i-1].first >= 0 && dp[i-1][j - member[i-1].first] != -1){
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j - member[i-1].first] + member[i-1].second);
}
}
}
return dp[member.size()][V] == -1 ? 0 : dp[member.size()][V];
}2.6本题的完整代码Lv1
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int UnfilledBag(vector<pair<int,int>>& member , int V , int n){
vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(V+1,0));
for(int i = 1 ; i <= member.size() ; i ++){
for(int j = 1 ; j <= V ; j ++){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j - member[i-1].first >= 0){
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j - member[i-1].first] + member[i-1].second);
}
}
}
return dp[member.size()][V];
}
int filledBag(vector<pair<int,int>>& member , int V , int n){
vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(V+1,0));
for(int i = 1 ; i <= V ; i ++)
dp[0][i] = -1;
for(int i = 1 ; i <= member.size() ; i ++){
for(int j = 1 ; j <= V ; j ++){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j - member[i-1].first >= 0 && dp[i-1][j - member[i-1].first] != -1){
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j - member[i-1].first] + member[i-1].second);
}
}
}
return dp[member.size()][V] == -1 ? 0 : dp[member.size()][V];
}
int main() {
int a, b;
int V = 0 ;
int n = 0 ;
vector<pair<int,int>> member;
if(cin >> a >> b) {
n = a;V = b;
}
while(cin >> a >> b)
member.push_back(make_pair(a,b));
int ret1 = UnfilledBag(member,V,n);
int ret2 = filledBag(member,V,n);
std::cout<<ret1<<'\n'<<ret2;
return 0;
}三、优化：滚动数组优化空间与时间
3.1优化思路
看看我们上面的代码，挑一个下来：
cpp
for(int i = 1 ; i <= member.size() ; i ++){
for(int j = 1 ; j <= V ; j ++){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j - member[i-1].first >= 0){
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j - member[i-1].first] + member[i-1].second);
}
}
}dpij用到了什么？dpi-1j和dpi-1j - member\[i-1.first] 绘制图像，圆圈就是dpij，他依赖两个三角形位置的数值。那么不难看出来，只占用两行。所以我们上面的i-2行全部都可以省略。
于是滚动数组的第一层优化就出来了：只有两行，填写第一行，第二行依赖第一行，第二行填写完毕后第一行当作第三行依赖第二行填写。以此类推。但是！我们想要详细讲解的，不是这个东西。
3.2进一步优化
因为他还可以进一步的优化。只需要一行。
为了避免覆盖，我们还要把填表顺序改为从后往前。
注意事项：
- 这题是模板题，里面的分析思路，可以用到很多题里面
- 不要去强行解释优化后的状态表示以及状态转移方程
状态表示：不要去强行解释它！这没有意义。 怎么来的？因为我们去掉了一维，所以只需要删除i就可以了。
cpp
/ dp[j]
dp[j] <
\ dp[j-v[i]]3.3完整代码
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int UnfilledBag(vector<pair<int,int>>& member , int V , int n){
vector<int>dp(V+1,0);
for(int i = 1 ; i <= member.size() ; i ++){
for(int j = V ; j >= 1 ; j --){
if(j - member[i-1].first >= 0){
dp[j] = max(dp[j],dp[j - member[i-1].first] + member[i-1].second);
}
}
}
return dp[V];
}
int filledBag(vector<pair<int,int>>& member , int V , int n){
vector<int>dp(V+1,0);
for(int i = 1 ; i <= V ; i ++)
dp[i] = -1;
for(int i = 1 ; i <= member.size() ; i ++){
for(int j = V ; j >= 1 ; j --){
if(j - member[i-1].first >= 0 && dp[j - member[i-1].first] != -1){
dp[j] = max(dp[j],dp[j - member[i-1].first] + member[i-1].second);
}
}
}
return dp[V] == -1 ? 0 : dp[V];
}
int main() {
int a, b;
int V = 0 ;
int n = 0 ;
vector<pair<int,int>> member;
if(cin >> a >> b) {
n = a;V = b;
}
while(cin >> a >> b)
member.push_back(make_pair(a,b));
int ret1 = UnfilledBag(member,V,n);
int ret2 = filledBag(member,V,n);
std::cout<<ret1<<'\n'<<ret2;
return 0;
}好的本文内容到此结束，我是此方，我们下期再见。