数学物理方法

3.3 泰勒级数【习题3.3-3】应用泰勒级数求积分-菲涅尔积分，误差函数，积分正弦c ( z ) = ∫ 0 z ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z 4 k ( 2 k ) ! d z = ∑ k = 0 ∞ ∫ 0 z ( − 1 ) k z 4 k ( 2 k ) ! d z \displaystyle c(z)=\int_{0}^{z}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}z^{4k}}{(2k)!}\mathrm{d}z =\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{z}\frac{(-1)^{k}z^{4k}}{(2k)!}\

3.2 幂级数【习题3.2 - 3】级数在收敛圆周上的敛散性3.讨论幂级数在收敛圆周上的敛、散性：(1)∑k=1∞(−1)kkzk解：R=lim⁡k→∞∣(−1)kk(−1)k+1k+1∣=1在∣z∣=1上，设z=eiθ。原级数=∑k=1∞(−1)kk⋅eikθ=∑k=1∞eik(θ+π)k=∑k=1∞cos⁡k(θ+π)k+i∑k=1∞sin⁡k(θ+π)kθ=π，z=−1，原级数=∑k=1∞1k，发散。θ≠π，狄利克雷判别法，z≠−1，收敛。对于绝对收敛：∑k=1∞∣(−1)kzkk∣=∑k=1∞1k，发散。∴R=1的圆周上不绝对收敛，z≠−1时条件收敛。这个

3.2 幂级数【习题3.2 - 1】收敛半径1.确定下列级数的收敛半径：(1)∑k=0∞zkk!解：R=lim⁡k→∞∣akak+1∣=lim⁡k→∞1k!⋅(k+1)!1=lim⁡k→∞(k+1)=∞\begin{aligned} &1.确定下列级数的收敛半径：\\ &(1) \boldsymbol{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}}\\ &解：R=\lim\limits_{k \to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| = \lim\limits_{k \to

3.2 幂级数【习题3.2 - 4】级数收敛性和绝对收敛性4.判断下列级数的收敛性及绝对收敛性：(1)∑k=1∞ikln⁡k，k=2,3,4⋯ k不能等于1解：用比值判别法lim⁡k→∞∣ik+1ln⁡(k+1)ikln⁡k∣=lim⁡k→∞ln⁡kln⁡(k+1)=1∴无法判断。∑k=1∞ikln⁡k=i(1ln⁡1)−1ln⁡2+−iln⁡3+1ln⁡4+iln⁡5+−1ln⁡6−⋯=−1(1ln⁡2−1ln⁡4+1ln⁡6−1ln⁡8⋯ )+i(1ln⁡1−1ln⁡3+1ln⁡5)实部和虚部均为交错级数，单调减且lim⁡k→∞1ln⁡k=0。∴级数收敛。而

2.3 柯西积分公式【习题2.3-10】利用柯西积分公式证明，埃尔米特多项式生成函数10.设u(x,t)=e2xt−t2，t是复数，试证∂nu(x,t)∂tn∣t=0=(−1)nex2dndxne−x2。证：左侧：∂nu∂tn∣t=0=n!2πi∮e2xt−t2tn+1dt右侧：(−1)nex2dndxne−x2=(−1)nex2n!2πi∮e−t2(t−x)n+1dt令t−x=−w，则t=x−w上式=(−1)nex2n!2πi∮e−(x−w)2(−1)n+1wn+1⋅(−1)⋅dw=(−1)nex2n!2πi∮e−x2+2xw−w2(−1)n+1wn+1⋅(−1)dw=n!2πi∮e2

2.3 柯西积分公式【习题2.3-7】利用柯西积分公式证明7. 证明 ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ − n θ ) d θ = 2 π ρ n n ! （ n 为自然数）解：令 g ( z ) = e z ，则， g ( n ) ( z ) 为 g ( z ) 的 n 阶导数、 e z 解析全域 g ( n ) ( 0 ) = n ! 2 π i ∮ C e z z n + 1 d z = 1 ，其中 C 是半径为 ρ ，中心为 0 的圆 1 = n ! 2 π i ∫ 0 2 π e ρ e i θ ρ n +

2.3 柯西积分公式【习题2.3 -5】柯西积分计算5.求积分∮Cezzdz (C:∣z∣=1)，从而证明∫0πecos⁡θcos⁡(sin⁡θ)dθ=π。解：令f(z)=ez，则f(z)=ez=12πi∮Ceζζ−zdζf(0)=1=12πi∮Ceζζdζ∴∮Cezzdz=2πi∵z在圆周∣z∣=1上，可令z=eiθ，则∮Cezzdz=∫02πeeiθeiθ⋅ieiθdθ=∫02πieeiθdθ=∫02πie(cos⁡θ+isin⁡θ)dθ=∫02πiecos⁡θ[cos⁡(sin⁡θ)+isin⁡(sin⁡θ)]dθ=∫02π[iecos⁡θcos⁡(

【习题4.2 -2】Γ函数① 证明ψ(z+1)=1z+ψ(z)\begin{aligned} \psi(z+1) = \frac{1}{z} + \psi(z)\end{aligned}ψ(z+1)=z1+ψ(z)

泊松上半平面积分公式8.（泊松上半平面积分公式）（注：这个上半平面不包含实轴）若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是上半平面解析函数，当z→∞z\to\inftyz→∞时f(z)f(z)f(z)一致趋于零，则在上半平面有 u(x,y)=yπ∫−∞∞u(ξ,0)(ξ−x)2+y2dξ u(x,y)=\frac{y}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{u(\xi,0)}{(\xi-x)^2+y^2}d\xiu(x,y)

我是有底线的