2.3 柯西积分公式【习题2.3-7】利用柯西积分公式证明

7. 证明 ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ − n θ ) d θ = 2 π ρ n n ! （ n 为自然数） 解：令 g ( z ) = e z ，则， g ( n ) ( z ) 为 g ( z ) 的 n 阶导数、 e z 解析全域 g ( n ) ( 0 ) = n ! 2 π i ∮ C e z z n + 1 d z = 1 ，其中 C 是半径为 ρ ，中心为 0 的圆 1 = n ! 2 π i ∫ 0 2 π e ρ e i θ ρ n + 1 e i ( n + 1 ) θ i ρ e i θ d θ 2 π ρ n n ! = ∫ 0 2 π e ρ ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ d θ = ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) + i sin ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ d θ = ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) + i sin ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) ( cos ⁡ n θ − i sin ⁡ n θ ) ( cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ ) ( cos ⁡ n θ − i sin ⁡ n θ ) d θ = ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) ⋅ cos ⁡ n θ + sin ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) ⋅ sin ⁡ n θ + i sin ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) cos ⁡ n θ − cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ ) sin ⁡ n θ d θ = ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ − n θ ) d θ + i ∫ 0 2 π sin ⁡ ( ρ sin ⁡ θ − n θ ) ⏟ 奇函数，积分为 0 d θ = ∫ 0 2 π e ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ( ρ sin ⁡ θ − n θ ) d θ \begin{aligned} &7. 证明 \displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{\rho \cos\theta} \cos(\rho \sin\theta - n\theta) d\theta = \displaystyle \frac{2\pi \rho^n}{n!}（n 为自然数）\\ &解：令 g(z)=e^z，则，g^{(n)}(z) 为 g(z) 的 n 阶导数、e^z 解析全域\\ &g^{(n)}(0)=\displaystyle \frac{n!}{2\pi i} \oint_{C} \frac{e^z}{z^{n+1}} dz=1，其中 C 是半径为 \rho，中心为 0 的圆\\ &1 = \displaystyle \frac{n!}{2\pi i} \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{\rho e^{i\theta}}}{\rho^{n+1} e^{i(n+1)\theta}} i\rho e^{i\theta} d\theta\\ &\displaystyle \frac{2\pi \rho^n}{n!} = \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{\rho(\cos \theta + i\sin\theta)}}{\cos n\theta + i\sin n\theta} d\theta\\ &= \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{\rho\cos\theta}\\cos(\\rho\\sin\\theta)+i\\sin(\\rho\\sin\\theta)}{\cos n\theta + i\sin n\theta} d\theta\\ &= \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \frac{e^{\rho\cos\theta}\\cos(\\rho\\sin\\theta)+i\\sin(\\rho\\sin\\theta)(\cos n\theta - i\sin n\theta)}{(\cos n\theta + i\sin n\theta)(\cos n\theta - i\sin n\theta)} d\theta\\ &= \displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{\rho\cos\theta}\\cos(\\rho\\sin\\theta)\\cdot\\cos n\\theta+\\sin(\\rho\\sin\\theta)\\cdot\\sin n\\theta+i\\sin(\\rho\\sin\\theta)\\cos n\\theta-\\cos(\\rho\\sin\\theta)\\sin n\\theta d\theta\\ &= \displaystyle \int_{0}^{2\pi} e^{\rho\cos\theta} \cos(\rho\sin\theta - n\theta) d\theta + \underbrace{i\int_{0}^{2\pi} \sin(\rho\sin\theta - n\theta)}{奇函数，积分为0} d\theta\\ &= \displaystyle \int{0}^{2\pi} e^{\rho\cos\theta} \cos(\rho\sin\theta - n\theta) d\theta \end{aligned} 7.证明∫02πeρcosθcos(ρsinθ−nθ)dθ=n!2πρn（n为自然数）解：令g(z)=ez，则，g(n)(z)为g(z)的n阶导数、ez解析全域g(n)(0)=2πin!∮Czn+1ezdz=1，其中C是半径为ρ，中心为0的圆1=2πin!∫02πρn+1ei(n+1)θeρeiθiρeiθdθn!2πρn=∫02πcosnθ+isinnθeρ(cosθ+isinθ)dθ=∫02πcosnθ+isinnθeρcosθcos(ρsinθ)+isin(ρsinθ)dθ=∫02π(cosnθ+isinnθ)(cosnθ−isinnθ)eρcosθcos(ρsinθ)+isin(ρsinθ)(cosnθ−isinnθ)dθ=∫02πeρcosθcos(ρsinθ)⋅cosnθ+sin(ρsinθ)⋅sinnθ+isin(ρsinθ)cosnθ−cos(ρsinθ)sinnθdθ=∫02πeρcosθcos(ρsinθ−nθ)dθ+奇函数，积分为0 i∫02πsin(ρsinθ−nθ)dθ=∫02πeρcosθcos(ρsinθ−nθ)dθ