3.2 幂级数 【习题3.2 - 4】级数收敛性和绝对收敛性

4.判断下列级数的收敛性及绝对收敛性：(1)∑k=1∞ikln⁡k，k=2,3,4⋯ k不能等于1解：用比值判别法lim⁡k→∞∣ik+1ln⁡(k+1)ikln⁡k∣=lim⁡k→∞ln⁡kln⁡(k+1)=1∴无法判断。∑k=1∞ikln⁡k=i(1ln⁡1)−1ln⁡2+−iln⁡3+1ln⁡4+iln⁡5+−1ln⁡6−⋯=−1(1ln⁡2−1ln⁡4+1ln⁡6−1ln⁡8⋯ )+i(1ln⁡1−1ln⁡3+1ln⁡5)实部和虚部均为交错级数，单调减且lim⁡k→∞1ln⁡k=0。∴级数收敛。而对于∑k=2∞∣ikln⁡k∣=∑k=2∞1ln⁡k>∑k=2∞1k ∴发散。∴原级数条件收敛。(2)∑k=1∞ikk解:lim⁡k→∞∣fk+1fk∣=1失效。∑k=1∞ikk=11+−12+−i3+14+i5+−16+−i7+⋯实部和虚部都是交错级数，∴收敛。（莱布尼茨判别法）对于∑k=1∞∣ikk∣=∑k=1∞1k为调和级数，发散，∴原级数条件收敛\begin{aligned} &4.判断下列级数的收敛性及绝对收敛性：\\ &(1) \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{i^k}{\ln k} ，k=2,3,4\cdots\ \ k不能等于1\\ &解：用比值判别法 \lim\limits_{k \to \infty} \left| \frac{\frac{i^{k+1}}{\ln(k+1)}}{\frac{i^k}{\ln k}} \right|=\lim\limits_{k \to \infty} \frac{\ln k}{\ln(k+1)}=1\\ &\therefore 无法判断。\\ &\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{i^k}{\ln k}=i\left(\frac{1}{\ln1}\right)-\frac{1}{\ln2}+\frac{-i}{\ln3}+\frac{1}{\ln4}+\frac{i}{\ln5}+\frac{-1}{\ln6}-\cdots\\ &=-1\left(\frac{1}{\ln2}-\frac{1}{\ln4}+\frac{1}{\ln6}-\frac{1}{\ln8}\cdots\right)+i\left(\frac{1}{\ln1}-\frac{1}{\ln3}+\frac{1}{\ln5}\right)\\ &实部和虚部均为交错级数，单调减且\lim\limits_{k \to \infty}\frac{1}{\ln k}=0。\\ &\therefore 级数收敛。\\ &而对于\sum\limits_{k=2}^{\infty}\left|\frac{i^k}{\ln k}\right|=\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\ln k}>\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k}\ \ \therefore 发散。\\ &\therefore 原级数条件收敛。\\ \\ &(2) \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{i^k}{k}\\ &解:\lim\limits_{k \to \infty}\left|\frac{f_{k+1}}{f_k}\right|=1 失效。\\ &\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{i^k}{k}=\frac{1}{1}+\frac{-1}{2}+\frac{-i}{3}+\frac{1}{4}+\frac{i}{5}+\frac{-1}{6}+\frac{-i}{7}+\cdots\\ &实部和虚部都是交错级数，\therefore 收敛。（莱布尼茨判别法）\\ &对于 \sum\limits_{k=1}^{\infty}\left|\frac{i^k}{k}\right|=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} 为调和级数，发散，\therefore 原级数条件收敛\\ \end{aligned}4.判断下列级数的收敛性及绝对收敛性：(1)k=1∑∞lnkik，k=2,3,4⋯ k不能等于1解：用比值判别法k→∞lim lnkikln(k+1)ik+1 =k→∞limln(k+1)lnk=1∴无法判断。k=1∑∞lnkik=i(ln11)−ln21+ln3−i+ln41+ln5i+ln6−1−⋯=−1(ln21−ln41+ln61−ln81⋯)+i(ln11−ln31+ln51)实部和虚部均为交错级数，单调减且k→∞limlnk1=0。∴级数收敛。而对于k=2∑∞ lnkik =k=2∑∞lnk1>k=2∑∞k1 ∴发散。∴原级数条件收敛。(2)k=1∑∞kik解:k→∞lim fkfk+1 =1失效。k=1∑∞kik=11+2−1+3−i+41+5i+6−1+7−i+⋯实部和虚部都是交错级数，∴收敛。（莱布尼茨判别法）对于k=1∑∞ kik =k=1∑∞k1为调和级数，发散，∴原级数条件收敛