拓扑排序模板(附带题解:有向图的拓扑序列+Fine Logic)

目录

应用的问题:

原理解释及性质:

原理:

性质:

解题模板:

模板1:

模板2:

例题:

例题1:有向图的拓扑序列

题目描述:

思路:

代码详解:

[例题2:Fine Logic](#例题2:Fine Logic)

思路:

解题代码:


应用的问题:

用于解决题目中对于每个点之间具有依赖关系的问题。

(注意该问题所构成的图必须为有向无环图)

例如要满足

A的排名在B前面,A的排名在C前面,B的排名在C前面

这三个条件的排名

于是我们就可以用拓扑排序取解决该问题。

原理解释及性质:

原理:

因为每次选用的都是入度为0的点,就保证的了是将前提已经满足了的点将其入队,按照这个顺序入的队,满足了每个点之间所需要的依赖关系。

性质:

一个有向无环图一定至少存在一个入度为0的点。

解题模板:

模板1:

cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

const int N=1e5+6;

int d[N];//每个点的入度
vector<vector<int>> access(N);
//对于每个点所指向的点,例如对于access[i][j]表示对于第i个点所指向的第j个点

int main(){ 
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    
    int x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        d[y]++;//对每个点的入度进行记录
        access[x].push_back(y);//把y放入x的点中
    }
    
    vector<int> ans;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!d[i]) ans.push_back(i);
    }//把所有入度为0的点放入ans中
    
    for(int i=0;i<(int)ans.size();i++)//注意这里必须是ans.size(),因为它是随时变化的
    {
        int cur=ans[i];
        for(auto &nex:access[cur])//遍历第i个点所指向的所有点
        {
            d[nex]--;
            if(!d[nex]) ans.push_back(nex); //ans需要不断放入入度为0的点
        }
    }
    
    
    if((int)ans.size()==n)//遍历完后所有的点都在其中,则代表无环
    {
        for(int i=0;i<n;i++){
            cout<<ans[i]<<" ";//输出拓扑排序后的序列顺序
        }
    }
    else
    {
        printf("有环");
    }
    return 0;
}

模板2:

cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=100010;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int n,m;
int q[N],d[N];//q表示队列,d表示点的入度

void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}

bool topsort()
{
    int hh=0,tt=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     if(!d[i]) 
     q[++tt]=i;//将入度为零的点入队
    while(hh<=tt)
    {
        int t=q[hh++];
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            d[j]--;//删除点t指向点j的边
            if(d[j]==0)//如果点j的入度为零了,就将点j入队
            q[++tt]=j;
        }
    }
    return tt==n-1;
    //表示如果n个点都入队了话,那么该图为拓扑图,返回true,否则返回false
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof(h));//初始化
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);//因为是a指向b,所以b点的入度要加1
        d[b]++;
    }
    if(topsort()) 
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d ",q[i]);
    }
    else
        printf("有环");

    return 0;
}

例题:

例题1:有向图的拓扑序列

题目描述:

思路:

模板题,直接套板子

代码详解:

cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

const int N=1e5+6;

int d[N];//每个点的入度
vector<vector<int>> access(N);
//对于每个点所指向的点,例如对于access[i][j]表示对于第i个点所指向的第j个点

int main(){ 
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    
    int x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        d[y]++;//对每个点的入度进行记录
        access[x].push_back(y);//把y放入x的点中
    }
    
    vector<int> ans;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!d[i]) ans.push_back(i);
    }//把所有入度为0的点放入ans中
    
    for(int i=0;i<(int)ans.size();i++)//注意这里必须是ans.size(),因为它是随时变化的
    {
        int cur=ans[i];
        for(auto &nex:access[cur])//遍历第i个点所指向的所有点
        {
            d[nex]--;
            if(!d[nex]) ans.push_back(nex); //ans需要不断放入入度为0的点
        }
    }
    
    
    if((int)ans.size()==n)//遍历完后所有的点都在其中,则代表无环
    {
        for(int i=0;i<n;i++){
            cout<<ans[i]<<" ";//输出拓扑排序后的序列顺序
        }
    }
    else
    {
        printf("有环");
    }
    return 0;
}

例题2:Fine Logic

题目描述:

思路:

当构成的图为有向无环图的时候,拓扑排序即为正解。

当构成的图为有向有环图的时候,输出1到n,以及n到1即为正解(原因:对于这两组解已经包括了所有的可能的情况,则直接输出即可。例如对于1、2、3、4、5。以及5、4、3、2、1。我们取2看,对于第一个2它包括了大于3、4、5的情况,对于第二个2它包括了大于1的情况。我们总的来看即包含2的所有情况。对于每个数都是一样,故该答案为正解)

解题代码:

cpp 复制代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1000010;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int n,m;
int q[N],d[N];//q表示队列,d表示点的入度

void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}

bool topsort()
{
    int hh=0,tt=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     if(!d[i]) 
     q[++tt]=i;//将入度为零的点入队
    while(hh<=tt)
    {
        int t=q[hh++];
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            d[j]--;//删除点t指向点j的边
            if(d[j]==0)//如果点j的入度为零了,就将点j入队
            q[++tt]=j;
        }
    }
    return tt==n-1;
    //表示如果n个点都入队了话,那么该图为拓扑图,返回true,否则返回false
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof(h));//如果程序时间溢出,就是没有加上这一句
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);//因为是a指向b,所以b点的入度要加1
        d[b]++;
    }
    if(topsort()) 
    {
        cout<<"1\n";
        for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d ",q[i]);
        //经上方循环可以发现队列中的点的次序就是拓扑序列
        //注:拓扑序列的答案并不唯一,可以从解析中找到解释
        puts("");
    }
    else{
        cout<<"2\n";
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cout<<i<<" ";
        }
        cout<<endl;
        for(int i=n;i>=1;i--){
            cout<<i<<" ";
        }
    }
    

    return 0;
}
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