数值线性代数:奇异值分解SVD

本文记录计算矩阵奇异值分解SVD的原理与流程。

注1:限于研究水平,分析难免不当,欢迎批评指正。

零、预修

0.1 矩阵的奇异值

列满秩矩阵,若的特征值为,则称为矩阵的奇异值。

0.2 SVD(分解)定理

,则存在正交矩阵,使得

其中,即为矩阵的奇异值。

考虑下述两种情形:

  • 情形1:

其中,

由此可以看出,,通过计算矩阵的奇异值,便可矩阵的特征值,而矩阵即为矩阵的特征向量

  • 情形2:

,则,也就是说,的特征值,也是的特征向量。同时考虑到实对称矩阵的秩为n,所以的特征值/特征向量也是的特征值/特征向量。

0.3 Householder变换

,且,定义为Householder变换。

对于非零向量,可构造,使得

其中,

,对于

根据上述结论可知,可以构造,使得

具体来说,可按照下述流程进行操作:

由此,通过Householder变换,可以将某一列向量的部分连续元素约化为0。

0.4 Givens变换

是n维Euclid空间中的一组标准正交基,,则在平面中存在旋转变换矩阵,满足

其中,

由此可以看出,可以将向量的某个元素约化为0。

一、隐式QR计算矩阵奇异值分解

参考资料

Gene H. Golub. Matrix Computations

徐树方. 数值线性代数(第二版). 北京大学出版社, 2010.

Golub G. and Kahan W.. Calculating the Singular Values and Pseudo-Inverse of a Matrix. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics: Series B, Numerical Analysis, 1965, 2(2) : 205-224.

Demmel J., Kahan W..Accurate Singular Values of Bidiagonal Matrices. SIAM Journal on Scientific and StatisticalComputing, 1990, 11(5):873-912.

P. A. Businger,G. H. Golub. Singular value decomposition of a complex matrix. communications of the acm, 1969.

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