一. 图论
1.最小生成树
图的生成树是它的一颗含有其所有顶点的无环连通子图,一 幅加权图的最小生成树(MST)是它的一颗权值(树中的所有边的权值之和) 最小的生成树
• 适用场景：道路规划、通讯网络规划、管道铺设、电线布设等
kruskal算法
稀疏图，按边大小排序
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e3+3,maxm=2e5+5;
int n,m;
struct node{
int fr,to,val;
inline bool operator<(node b)const {
return val<b.val;
}
}e[maxm<<1];
int k,fa[maxn];
inline void add(int x,int y,int z){e[++k]=(node){x,y,z};}
inline int find(int x){
return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
int x,y,z;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
add(x,y,z);//无向图
}
sort(e+1,e+k+1); //边排序
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;//并查集初始化
int cnt=0,ans=0;
for(int i=1;i<=k;i++)
{
int x=find(e[i].fr),y=find(e[i].to);
if(x!=y)
{
fa[x]=y;//连边
ans+=e[i].val;
++cnt;
if(cnt==n-1)break;
}
}
if(cnt==n-1)printf("%d",ans);
else puts("orz");//图不连通
return 0;
}prim
稠密图
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define re return
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
using namespace std;
const int maxn=5e3+3,maxm=2e5+5;
int inf=5e8;
int n,m,d[maxn][maxn],dis[maxn],vis[maxn];
int main()
{
// freopen("a.in","r",stdin);
scanf("%d %d",&n,&m);
int x,y,z;
inc(i,1,n)inc(j,1,n)d[i][j]=inf;
inc(i,1,m)
{
scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
d[x][y]=d[y][x]=min(d[x][y],z);
}
vis[1]=1;//将1号点加入图中
inc(i,2,n)dis[i]=d[1][i];//dis初始化为1到各个点之间的最短距离
int ans=0,cnt=n-1;
while(cnt--)//需要进行n-1次循环
{
int now,minn=inf;
inc(i,1,n)
if(!vis[i]&&dis[i]<minn)minn=dis[i],now=i;//找当前最短距离点 now
if(minn==inf)
{
printf("orz");
re 0;
}
vis[now]=1;
ans+=dis[now];
inc(i,1,n)dis[i]=min(dis[i],d[now][i]);
}
printf("%d",ans);
re 0;
}2.网络流
通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道 路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量 • 适用场景：企业生产运输问题、交通拥堵优化问题等
最大流
题目数据
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define re return
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
using namespace std;
template<typename T>inline void rd(T&x)
{
char c;bool f=0;
while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')f=1;
x=c^48;
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')x=x*10+(c^48);
if(f)x=-x;
}
const int maxn=1e4+4,maxm=1e5+5;
int n,m,hd[maxn],s,t;
struct node{
int to,nt,w;
}e[maxm<<1];
int k=1;
inline void add(int x,int y,int z)
{
e[++k]=(node){y,hd[x],z};hd[x]=k;
e[++k]=(node){x,hd[y],0};hd[y]=k;
}
int deep[maxn],cur[maxn];
inline bool bfs()
{
inc(i,1,n)deep[i]=0;
deep[s]=1;
queue<int>q;
q.push(s);
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop();
for(int i=hd[x];i;i=e[i].nt)
{
int v=e[i].to;
if(!deep[v]&&e[i].w)
{
deep[v]=deep[x]+1;
if(v==t)re 1;
q.push(v);
}
}
}
re 0;
}
inline int dfs(int x,int flow)
{
if(x==t)re flow;
int delta=flow;
for(int &i=cur[x];i;i=e[i].nt)
{
int v=e[i].to;
if(deep[v]==deep[x]+1&&e[i].w)
{
int d=dfs(v,min(e[i].w,delta));
e[i].w-=d;e[i^1].w+=d;
delta-=d;
if(!delta)re flow;
}
}
re flow-delta;
}
int main()
{
rd(n),rd(m),rd(s),rd(t);
int x,y,w;
inc(i,1,m)
{
rd(x),rd(y),rd(w);
add(x,y,w);
}
int ans=0;
while(bfs())
{
inc(i,1,n)cur[i]=hd[i];
ans+=dfs(s,2147483647);
}
printf("%d",ans);
re 0;
}最小费用最大流
最大流量的基础上要求最小的费用，有边权值
题目数据
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define re return
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
using namespace std;
template<typename T>inline void rd(T&x)
{
char c;bool f=0;
while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')f=1;
x=c^48;
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')x=x*10+(c^48);
if(f)x=-x;
}
const int maxn=5e3+3;
int k=1,n,m,s,t;
int dis[maxn],ord[maxn],hd[maxn],flow[maxn],vis[maxn];
int smoney,sflow;
struct node{
int flow,to,nt,cost;
}e[100005];
inline void add(int u,int v,int w,int f)
{
e[++k].to=v;e[k].nt=hd[u];e[k].flow=w;e[k].cost=f;hd[u]=k;
}
inline bool spfa()
{
queue<int>q;
memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof dis);
memset(vis,0,sizeof vis);
q.push(s);
dis[s]=0;
flow[s]=0x3f3f3f3f;
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop();
vis[x]=0;
for(int i=hd[x];i;i=e[i].nt)
{
int v=e[i].to,w=e[i].flow,f=e[i].cost;
if(w&&dis[v]>dis[x]+f)
{
if(!vis[v])
{
vis[v]=1;
q.push(v);
}
flow[v]=min(flow[x],w);
dis[v]=dis[x]+f;
ord[v]=i;
}
}
}
re dis[t]!=0x3f3f3f3f;
}
inline void vivi()
{
int x=t;
while(x!=s)
{
int i=ord[x];
e[i].flow-=flow[t];
e[i^1].flow+=flow[t];
x=e[i^1].to;
}
sflow+=flow[t];
smoney+=flow[t]*dis[t];
}
int main()
{
// freopen("a.in","r",stdin);
rd(n),rd(m),rd(s),rd(t);
int u,v,w,f;
inc(i,1,m)
{
rd(u),rd(v),rd(w),rd(f);
add(u,v,w,f);
add(v,u,0,-f);
}
while(spfa())
vivi();
printf("%d %d",sflow,smoney);
re 0;
}3.最短路
主要包括Dijkstra算法和Floyd算法两种，用于求解 两点间的最短距离 • 适用场景：路径规划问题，如修建道路、设定救援路线等
题目数据
spfa
单源最短路
容易被卡
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define re return
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
using namespace std;
template<typename T>inline void rd(T&x)
{
char c;bool f=0;
while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')f=1;
x=c^48;
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')x=x*10+(c^48);
if(f)x=-x;
}
const int maxn=1e4+5,maxm=5e5+5;
int n,m,hd[maxn];
struct node{
int to,nt,val;
}e[maxm<<1];
int k,s;
inline void add(int x,int y,int z){
e[++k]=(node){y,hd[x],z};hd[x]=k;
}
#define ll long long
ll inf=2147483647,dis[maxn],vis[maxn];
inline void spfa()
{
inc(i,1,n)dis[i]=inf;
dis[s]=0;
queue<int>q;
q.push(s);
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop();
vis[x]=0;
for(int i=hd[x];i;i=e[i].nt)
{
int v=e[i].to;
if(dis[v]>dis[x]+e[i].val)
{
dis[v]=dis[x]+e[i].val;
if(!vis[v])
{
vis[v]=1;
q.push(v);
}
}
}
}
}
int main()
{
// freopen("a.in","r",stdin);
rd(n),rd(m),rd(s);
int x,y,z;
inc(i,1,m)
{
rd(x),rd(y),rd(z);
add(x,y,z);
}
spfa();
inc(i,1,n)printf("%lld ",dis[i]);
re 0;
}dijsktra
单源最短路
无负边
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define re return
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
using namespace std;
template<typename T>inline void rd(T&x)
{
char c;bool f=0;
while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')f=1;
x=c^48;
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')x=x*10+(c^48);
if(f)x=-x;
}
const int maxn=1e4+5,maxm=5e5+5;
int n,m,hd[maxn];
struct node{
int to,nt,val;
}e[maxm<<1];
int k,s;
inline void add(int x,int y,int z){
e[++k]=(node){y,hd[x],z};hd[x]=k;
}
#define ll long long
ll inf=2147483647,dis[maxn];
struct KKK{
int x,val;
inline bool operator<(KKK u)const
{
re val>u.val;
}
};
inline void dij()
{
inc(i,1,n)dis[i]=inf;
dis[s]=0;
priority_queue<KKK>q;
q.push((KKK){s,0});
while(!q.empty())
{
KKK u=q.top();
q.pop();
int x=u.x;
if(dis[x]!=u.val)continue;
for(int i=hd[x];i;i=e[i].nt)
{
int v=e[i].to;
if(dis[v]>dis[x]+e[i].val)
{
dis[v]=dis[x]+e[i].val;
q.push((KKK){v,dis[v]});
}
}
}
}
int main()
{
//freopen("a.in","r",stdin);
rd(n),rd(m),rd(s);
int x,y,z;
inc(i,1,m)
{
rd(x),rd(y),rd(z);
add(x,y,z);
}
dij();
inc(i,1,n)printf("%lld ",dis[i]);
re 0;
}floyd
O(n^3)
多源最短路
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 1234567890
#define maxn 10005
inline int read()
{
int x=0,k=1; char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')k=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
return x*k;
}//快读
int a[maxn][maxn],n,m,s;
inline void floyd()
{
for(int k=1;k<=n;k++)
//这里要先枚举k（可以理解为中转点）
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(i==k||a[i][k]==inf)
{
continue;
}
for(int j=1;j<=n;j++)
{
a[i][j]=min(a[i][j],a[i][k]+a[k][j]);
//松弛操作，即更新每两个点之间的距离
//松弛操作有三角形的三边关系推出
//即两边之和大于第三边
}
}
}
}
int main()
{
n=read(),m=read(),s=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
a[i][j]=inf;
}
}
//初始化，相当于memset(a,inf,sizeof(a))
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
{
u=read(),v=read(),w=read();
a[u][v]=min(a[u][v],w);
//取min可以对付重边
}
floyd();
a[s][s]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
printf("%d ",a[s][i]);
}
return 0;
}二、动态规划
dp数学建模的应用不多，感觉主要还是各种环境下的一个背包（多维dp），对于状压，数位都不怎么涉及
总的思想来说偏向背包较为单一，找递归方程时的问题主要在于结合其他信息，可能涉及到概率（马尔科夫链），图（偏向树形dp之类的）
- 背包
采药
一维
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100001];
int o;
int main()
{
int t,m;
cin>>t>>m;
int w[m+1],v[m+1];
for(int i=1;i<=m;i++)
cin>>w[i]>>v[i];
for(int j=1;j<=t;j++)
for(int k=1;k<=m;k++)
{
a[j]=o;
if(j>=w[k])
{a[j]=max(a[j],a[j-w[k]]+v[k]);
o=max(o,a[j]);}
}
cout<<a[t];
return 0;
}二维
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[101][1001];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
int w[m+1];
int v[m+1];
for(int i=1;i<=m;i++)
cin>>w[i]>>v[i];
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{ a[i][j]=a[i-1][j];
if(j>=w[i])a[i][j]=max(a[i-1][j-w[i]]+v[i],a[i][j]);
}
cout<<a[m][n];
return 0;
}2.树形dp
在连通图上dp
没有上司的舞会
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[6005][3],head[6005],cc[6005],in[6005];
int n,a,b,c;
void dfs(int x)
{
for(int i=head[x];i!=0;i=cc[i])
{
dfs(i);
f[x][1]=f[x][1]+f[i][0];
f[x][0]+=max(f[i][0],f[i][1]);
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&f[i][1]);
for(int i=1;i<n;i++)
{scanf("%d%d",&a,&b);
cc[a]=head[b];
head[b]=a;in[a]=1;}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(in[i]==0){c=i;break;}
dfs(c);
printf("%d",max(f[c][1],f[c][0]));
return 0;
}三、启发式算法
模拟退火
模拟退火算法（Simulate Anneal，SA）是一种通用概率演算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。
https://www.cnblogs.com/flashhu/p/8884132.html
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define re return
#define st static
#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define inc(i,l,r) for(register int i=l;i<=r;++i)
#define dec(i,l,r) for(register int i=l;i>=r;--i)
using namespace std;
int n,x[1005],y[1005],w[1005];
double EPS=10e-15,D=0.975;
double calc(double x0,double y0)
{
double res=0;
inc(i,1,n)res+=sqrt((x[i]-x0)*(x[i]-x0)+(y[i]-y0)*(y[i]-y0))*w[i];
re res;
}
int main()
{
// freopen("in.txt","r",stdin);
double x1=0,y1=0,x0,y0,bx,by,res,ans,best,time=2;
scanf("%d",&n);
inc(i,1,n){
scanf("%d%d%d",&x[i],&y[i],&w[i]);
bx+=x[i];by+=y[i];
}
best=calc(bx/=n,by/=n);//用平均值作为最初解
srand(20130317);
while(time--)
{
x1=bx,y1=by,ans=best;
for(double T=100000;T>EPS;T*=D)
{
x0=x1+T*(2*rand()-RAND_MAX);y0=y1+T*(2*rand()-RAND_MAX);
res=calc(x0,y0);
if(res<best){best=res;bx=x0;by=y0;}
if(res<ans||exp((ans-res)/T)>(double)(rand())/RAND_MAX)
{ans=res;x1=x0;y1=y0;}
}
}
printf("%.3lf %.3lf",bx,by);
re 0;
}