图论

AtCoder Beginner Contest 434 C-E 题解初始高度为 H H H，可以上下移动，要求每秒高度变化不超过 1 1 1，且高度不能为负。给定 n n n 个限制，第 i i i 个限制为在第 t i t_i ti 秒，高度必须在 [ l i , u i ] [l_i,u_i] [li,ui] 之间。问是否存在一种可行方案。

小李小李快乐不已

图论理论基础（2）并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不交集的合并及查询问题。示例：路径压缩示例：在路径压缩的基础上，还可以使用按秩合并来进一步优化：

C++ 最长单调子序列最长单调子序列代码框架代码见下代码练习 1 对应蓝桥云课蓝桥骑士代码见下代码练习 2 对应蓝桥云课合唱队形代码见下

全排列题解时间限制：1000ms 内存限制：128MB 栈限制：128MB给定一个由不同的小写字母组成的字符串，输出这个字符串的所有全排列。我们假设对于小写字母有‘a’ <‘b’ < … <‘y’<‘z’，而且给定的字符串中的字母已经按照从小到大的顺序排列。

P2865 [USACO06NOV] Roadblocks G 题解这题给你一个无向图,让你求出次短路(比最短路长,比其他路短).这里要注意到题目是人类出的,也是给人类做的,更何况这只是一道蓝题,所以极大概率不是让你发明新算法.因此这里最有可能是最短路的变形题.我们发现次短路与最短路是有关系的,因为构成一个次短路只有两种可能:

图论中常见不变量与性质全集（带严格数学公式）

P11855 [CSP-J2022 山东] 部署题目传送门水题！第一眼以为是根号分治。由于题目的要求是全部 m m m 次命令执行完之后才询问，这意味着可以像差分一样最后统一跑一遍求出答案。命令 2，我们可以打标记处理， d d a x dda_x ddax 表示所有与点 x x x 相邻的点需要增加的数量，最后全部加上就行了。

noi-11月30日当堂练习题目：P1294 高手去散步网址：https://www.luogu.com.cn/problem/P1294

五花就是菜

P12906 [NERC 2020] Guide 题解题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P12906给定一棵有根树（根节点为1），需要找到一条从根节点出发的最短路径，使得路径访问恰好k个不同的节点。路径可以重复访问节点，但只计算第一次访问时的节点。

kingmax54212008

图论核心算法（C++）：包括存储结构、核心思路、速记口诀以及学习方法, 一站式上机考试学习【附PKU百练，相关练习题单】部分图例参考于：互联网，如有版权问题，请告知，立即删除作者：黄老师不同算法适配不同的存储结构，选择合适的存储方式是实现算法的基础：

图论专题(十九)：DAG上的“关键路径”——极限规划「并行课程 III」哈喽各位，我是前端小L。欢迎来到我们的图论专题第十九篇！之前的课程表问题，每门课似乎只是一个“节点”，瞬间就能修完。但在现实中，每门课都有时长。

20251116 树状DP总结树形DP是一种基于树结构的动态规划算法，利用树的递归特性进行状态转移。根据兄弟节点间的约束关系，可分为两种类型：

图论专题(二十一)：并查集的“工程应用”——拔线重连，修复「连通网络」哈喽各位，我是前端小L。欢迎来到我们的图论专题第二十一篇！在现实世界的网络工程中，资源往往是有限的。如果我们发现公司里的电脑网络分成了好几个互不相通的局域网，而手头的网线又不够用，该怎么办？

图论专题(二十五)：最小生成树(MST)——用最少的钱，连通整个世界「连接所有点的最小费用」哈喽各位，我是前端小L。欢迎来到我们的图论专题第二十五篇！想象一下，你是城市的规划师，要在几座城市之间修建高速公路，或者在几个服务器之间铺设光纤。你的目标是：

图论专题(二十三)：并查集的“数据清洗”——解决复杂的「账户合并」哈喽各位，我是前端小L。欢迎来到我们的图论专题第二十三篇！在现实世界的大数据处理中，“实体对齐 (Entity Resolution)”是一个非常重要的话题。它的核心就是：如何判断两个看似不同的记录，实际上指向的是同一个实体？

图论中邻接矩阵和邻接表详解一个图 ( G = (V, E) ) 包含：分为：邻接矩阵 (A) 对于有 (n) 个顶点的图是一个 (n\times n) 的二维数组。常见变体：

图论专题(二十二)：并查集的“逻辑审判”——判断「等式方程的可满足性」哈喽各位，我是前端小L。欢迎来到我们的图论专题第二十二篇！并查集（Union-Find）最擅长维护的是什么？是**“集合”。而在逻辑学中，“相等”关系（Equality）天然就具有传递性**（若 a==b 且 b==c，则 a==c），这正好对应了并查集中的连通性。

（dp 优化）洛谷 P14460 寻雾启示题解题目传送门，建议前往原题阅读题面、样例及其解释。设 f i f_i fi 表示走到位置 i i i 的最小话费。发现从起点开始能走多远，取决于在 0 0 0 处拿了多少铁，为了不浪费时间，每次回到 0 0 0、从 0 0 0 出发都只拿到达现阶段要到达的终点所需的铁。

图论专题(十五)：BFS的“状态升维”——带着“破壁锤”闯迷宫哈喽各位，我是前端小L。欢迎来到我们的图论专题第十五篇！我们已经习惯了在迷宫里绕着墙走。但今天，我们获得了一种超能力：我们可以消除最多 k 个障碍物。

图论中的协同寻径：如何找到最小带权子图实现双源共达？想象一下，你和朋友分别从北京和上海出发，想要在广州会合，如何规划路线使得两人的总交通成本最低？这个现实世界的优化问题，在算法领域有着精确的数学表述和巧妙的解决方案。今天，我们将深入探讨这个问题的算法本质，揭示其中蕴含的图论智慧。