线性回归

线性回归：根据数据，确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系

函数表达式：
y = f ( x 1 , x 2 . . . x n ) y = f(x_1,x_2...x_n) y=f(x1,x2...xn)

回归根据变量数分为一元回归 $y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)$ 和多元回归 $y = f ( x 1 , x 2 . . . x n ) y = f(x_1,x_2...x_n) y=f(x1,x2...xn)$ ，根据函数关系分为线性回归 $y = a x + b y=ax+b y=ax+b$ 与非线性回归 $y = a x 2 + b x + c y=ax\^2+bx+c y=ax2+bx+c$

平方误差成本函数：

m i n i m i z e ( J ) minimize(J) minimize(J)
J = 1 2 m ∑ i = 1 m ( y i ' − y i ) 2 = 1 2 m ∑ i = 1 m ( a x i + b − y i ) 2 = g ( a , b ) J=\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m}(y^{`}i-y_i)^2=\frac{1}{2m} \sum{i=1}^{m}(ax_i+b-y_i)^2=g(a,b) J=2m1i=1∑m(yi'−yi)2=2m1i=1∑m(axi+b−yi)2=g(a,b)

梯度下降算法：

J = f ( p ) J=f(p) J=f(p)
p = p − α ∂ ∂ p i f ( p i ) p = p - \alpha \frac{\partial}{\partial p_i}f(p_i) p=p−α∂pi∂f(pi)

寻找极小值的一种方法。通过向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索，直到在极小点收敛。

实验：

基于generated_data.csv数据，建立线性回归模型，预测x=3.5对应的y值，评估模型表现

python 复制代码

#load the data
import pandas as pd
data = pd.read_csv('D:\workspace\data\ML\generated_data.csv')

data.head()
print(type(data), data.shape)

x = data.loc[:,'x']
y = data.loc[:,'y']
print(x,y)

#visualize the data 
from matplotlib import pyplot as plt
plt.figure(figsize=(5,5))
plt.scatter(x,y)
plt.show()

# set up a linear regression model
from sklearn.linear_model import LinearRegression
lr_model = LinearRegression()

import numpy as np
x = np.array(x)
x = x.reshape(-1,1)
y = np.array(y)
y = y.reshape(-1,1)

lr_model.fit(x,y)

y_predict = lr_model.predict(x)
print(y_predict)

print(y)

y_predict_single = lr_model.predict([[3.5]])

print(y_predict_single)

# a/b print
a = lr_model.coef_
b = lr_model.intercept_
print(a,b)

from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
MSE = mean_squared_error(y, y_predict)
R2 = r2_score(y, y_predict)
print(MSE, R2)

plt.figure()
plt.plot(y,y_predict)
plt.show()

运行结果：

其中MSE为 3.1554436208840474 e − 31 3.1554436208840474e^{-31} 3.1554436208840474e−31，R2为1.0

实验结论：在这个实验中，我们建立了一个单因子线性回归模型，得到x=3.5对应的y值为12，其均方误差（MSE）非常接近于零，而确定系数（R^2）接近于1。这表明我们的模型可以非常好地拟合数据，预测能力非常强。

附：generated_data,csv数据

[机器学习]线性回归模型

线性回归

实验：