数据结构------堆
堆
堆简介
堆是一棵树，其每个节点都有一个键值，且每个节点的键值都大于等于/小于等于其父亲的键值。
每个节点的键值都大于等于其父亲键值的堆叫做小根堆，否则叫做大根堆。STL 中的 priority_queue 其实就是一个大根堆。
（小根）堆主要支持的操作有：插入一个数、查询最小值、删除最小值、合并两个堆、减小一个元素的值。
一些功能强大的堆（可并堆）还能（高效地）支持 merge 等操作。
一些功能更强大的堆还支持可持久化，也就是对任意历史版本进行查询或者操作，产生新的版本。
堆的分类
习惯上，不加限定提到「堆」时往往都指二叉堆。
二叉堆
结构
从二叉堆的结构说起，它是一棵二叉树，并且是完全二叉树，每个结点中存有一个元素（或者说，有个权值）。
堆性质：父亲的权值不小于儿子的权值（大根堆）。同样的，我们可以定义小根堆。本文以大根堆为例。
由堆性质，树根存的是最大值（getmax 操作就解决了）。
过程
插入操作
插入操作是指向二叉堆中插入一个元素，要保证插入后也是一棵完全二叉树。
最简单的方法就是，最下一层最右边的叶子之后插入。
如果最下一层已满，就新增一层。
插入之后可能会不满足堆性质？
向上调整：如果这个结点的权值大于它父亲的权值，就交换，重复此过程直到不满足或者到根。
可以证明，插入之后向上调整后，没有其他结点会不满足堆性质。
向上调整的时间复杂度是 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)的。
删除操作
删除操作指删除堆中最大的元素，即删除根结点。
但是如果直接删除，则变成了两个堆，难以处理。
所以不妨考虑插入操作的逆过程，设法将根结点移到最后一个结点，然后直接删掉。
然而实际上不好做，我们通常采用的方法是，把根结点和最后一个结点直接交换。
于是直接删掉（在最后一个结点处的）根结点，但是新的根结点可能不满足堆性质......
向下调整：
在该结点的儿子中，找一个最大的，与该结点交换，重复此过程直到底层。
可以证明，删除并向下调整后，没有其他结点不满足堆性质。
时间复杂度 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)。
增加某个点的权值
很显然，直接修改后，向上调整一次即可，时间复杂度为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)。
实现
我们发现，上面介绍的几种操作主要依赖于两个核心：向上调整和向下调整。
考虑使用一个序列 h h h 来表示堆。 h i h_i hi 的两个儿子分别是 h 2 h_2 h2 i _i i 和 h 2 h_2 h2 i _i i + _+ + 1 _1 1， 1 1 1 是根结点：
参考代码：
cpp
void up(int x) {
while (x > 1 && h[x] > h[x / 2]) {
swap(h[x], h[x / 2]);
x /= 2;
}
}
void down(int x) {
while (x * 2 <= n) {
t = x * 2;
if (t + 1 <= n && h[t + 1] > h[t]) t++;
if (h[t] <= h[x]) break;
std::swap(h[x], h[t]);
x = t;
}
}建堆
考虑这么一个问题，从一个空的堆开始，插入 n 个元素，不在乎顺序。
直接一个一个插入需要 O ( n l o g n ) O(n log n) O(nlogn) 的时间，有没有更好的方法？
方法一：使用 decreasekey（即，向上调整）
从根开始，按 BFS 序进行。
cpp
void build_heap_1() {
for (i = 1; i <= n; i++) up(i);
}为啥这么做：对于第 k 层的结点，向上调整的复杂度为 O ( k ) O(k) O(k) 而不是 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)。
总复杂度： l o g 1 log 1 log1 + l o g 2 log 2 log2 + ... + l o g n log n logn = O ( n l o g n ) O(n log n) O(nlogn)。
（在「基于比较的排序」中证明过）
方法二：使用向下调整
这时换一种思路，从叶子开始，逐个向下调整
cpp
void build_heap_2() {
for (i = n; i >= 1; i--) down(i);
}换一种理解方法，每次「合并」两个已经调整好的堆，这说明了正确性。
注意到向下调整的复杂度，为 O ( l o g n − k ) O(log n - k) O(logn−k)，另外注意到叶节点无需调整，因此可从序列约 n/2 的位置开始调整，可减少部分常数但不影响复杂度。
之所以能 O ( n ) O(n) O(n) 建堆，是因为堆性质很弱 ，二叉堆并不是唯一的。
要是像排序那样的强条件就难说了。
应用
对顶堆
这个问题可以被进一步抽象成：动态维护一个序列上第 k k k 大的数， k k k 值可能会发生变化。
对于此类问题，我们可以使用对顶堆 这一技巧予以解决（可以避免写权值线段树或 B S T BST BST带来的繁琐）。
对顶堆由一个大根堆与一个小根堆组成，小根堆维护大值即前 k k k 大的值（包含第 k k k 个），大根堆维护小值即比第 k k k 大数小的其他数。
这两个堆构成的数据结构支持以下操作：
1.维护 ：当小根堆的大小小于 k k k 时，不断将大根堆堆顶元素取出并插入小根堆，直到小根堆的大小等于 k k k；当小根堆的大小大于 k k k 时，不断将小根堆堆顶元素取出并插入大根堆，直到小根堆的大小等于 k k k；
2.插入元素：若插入的元素大于等于小根堆堆顶元素，则将其插入小根堆，否则将其插入大根堆，然后维护对顶堆；
3.查询第 k 大元素：小根堆堆顶元素即为所求；
4.删除第 k 大元素：删除小根堆堆顶元素，然后维护对顶堆；
显然，查询第 k k k 大元素的时间复杂度是 O ( 1 ) O(1) O(1) 的。由于插入、删除或调整 k k k 值后，小根堆的大小与期望的 k k k 值最多相差 1 1 1，故每次维护最多只需对大根堆与小根堆中的元素进行一次调整，因此，这些操作的时间复杂度都是 O ( l o g n ) O(log n) O(logn) 的。
其他：
配对堆:
详见：链接: 数据结构------配对堆
左偏树:
详见后文。