43 矩阵
4.1 矩阵
4 整理网上总结一些 关于直击线性代数本质的 观点
矩阵的本质是旋转和缩放
- 矩阵里的数字0
- 矩阵里的数字1，表示不进行缩放
- 矩阵里的数字2等，表示缩放
- 矩阵里的数字-3 表示缩放-3倍，并且反向
- 矩阵里的数字的位置
- 矩阵拆分为列向量
比如下面这个矩阵，单位矩阵如果放左边，就是表示对矩阵的第1行元素*1，对第2行元素*1，其实就是什么都不做。
1 0
0 1
矩阵是列向量的一种简化书写
- 矩阵是把多个列向量写在一起的简化形式
- 也就是说
- 以下是等价的：
- 矩阵相加，等于多个列向量分别相加
- 矩阵相乘，等于多个列向量分别相乘
4.2 矩阵的维数
- （a1,a2）是2维的
- （a1,a2,a3）是3维的
- （a1,a2,a3... ... an）是n维的
矩阵的列向量
- 矩阵的每一列向量
- 都代表这个方向的基底ei 走到了对应列向量的位置。
- 比如
矩阵的平直概念
即矩阵需要时线性增长的意思把
比如矩阵10，10个矩阵不能缩小为90，而必须是100
3 矩阵的初等变换（矩阵等价概念的引出）
- 如果两个矩阵，经过有限次的初等变化可以相等，那么这2个矩阵是等价的
- 矩阵的初等行变换与初等列变换合称为矩阵的初等变换。
- 矩阵的初等行变换
- 交换矩阵的两行
- 以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素
- 把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素
- 矩阵的初等列变换
- 交换矩阵的两列
- 以一个非零数k乘矩阵的某一列所有元素
- 把矩阵的某一列所有元素乘以一个数k后加到另一列对应的元素
矩阵的乘法的映射图
矩阵的秩
矩阵的乘法具有不可交换性
- A*B != B*A
- A左乘*B != A右乘*B
- 假设A!=0, B!=0, 但是可能存在 A*B=0
- 假设A!=0, 但是可能存在 A*A=0
- 如果已知 A*B=C，那么 B= A-*C ,但是B != C*A-
线性代数，矩阵，属于代数学，不属于几何学，
想理解矩阵乘法的几何意义有点难
矩阵的模
3.2 方阵
方阵有很多特殊的属性
可逆
行列式也是方程的一种特殊计算方法
3.3 基
4.2 矩阵的 基 / 基底
- （a1,a2）是2维的，对应2个基底e1,e2
- （a1,a2,a3）是3维的，对应3个基底e1,e2
- （a1,a2,a3... ... an）是n维的, 对应n个基底e1,e2.....en
- 比如一个向量(3,2,5) 就可以认为是分别在3个基上的长度/伸缩度
- 第1个基，(1,0,0) 上的长度/伸缩度是3，
- 第2个基，(0,1,0) 上的长度/伸缩度是2，
- 第3个基，(0,0,1) 上的长度/伸缩度是5，
4.2 矩阵的 基 / 基底 是可以改变的
3.4 向量的变换，两种方法
基不变，会改变坐标（同时形状也可能改变）
基便哈/替代了，坐标不变（同时形状也不能改变）