海明校验码

二进制数据在 传送、存取等环节，可能会发生 误码 (1变成0或0变成1). 如何发现并纠正 误码 ? 解决此类问题的思路是在原始数据(数码位)基础上增加几位校验位。常使用的检验码有三种. 分别是 奇偶校验码、海明校验码和循环冗余校验码(CRC)

其中 奇偶校验码 只能查是否有错误而无法纠错，且要求只能有一位出现错误。

为了能找到发生错误的位置，而有了 海明校验码

实际上本质来说, 海明码是升级款的奇偶校验码,其采用了一种非常巧妙的方式,把这串数字(即要传输的内容)分了组,通过分组校验来确定哪一位出现了错误

类似KMP算法,描述起来很麻烦,实际上使用起来却很简单

"海明"也被译为"汉明"

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实例

数据位为8的数据 $D\; 7\; D\; 6\; D\; 5\; D\; 4\; D\; 3\; D\; 2\; D\; 1\; D\; 0\; =\; 01101001\; D\_7D\_6D\_5D\_4D\_3D\_2D\_1D\_0=01101001$D7D6D5D4D3D2D1D0=01101001,求海明码

1.计算校验位的个数

设数据位为n位，校验位P为k位，则n和k必须满足以下关系：

$2\; k\; -\; 1\; \ge \; n\; +\; k\; 2^k\; -\; 1\; \ge \; n\; +\; k$2k−1≥n+k

此例中有 $2\; k\; -\; 1\; \ge \; 8\; +\; k\; 2^k\; -\; 1\; \ge \; 8\; +\; k$2k−1≥8+k，可得k最小应为4，即 16 - 1 ≥ 8 + 4。

(奇偶校验称为 Parity Check,Parity Bit即奇偶校验位,故用P表示校验位)

2.计算校验位的位置

2.1 海明码的总位数

设校验位为P,数据位为D,海明码为H,则海明码H的位数为数据的位数 和校验码的位数相加,

在此即为 8+4 = 12 位

2.2 校验码的位置

校验位P 在海明码的第 $2\; i\; -\; 1\; 2^\{i-1\}$2i−1 位，即 $H\; j\; =\; P\; i\; ，\; j\; =\; 2\; i\; -\; 1\; H\_j\; =\; P\_i，j=2^\{i-1\}$Hj=Pi，j=2i−1，i从1开始计数。

无论是海明码、校验位还是数据位，均从右向左排列，即从低位向高位排列。

可先填入校验码的位置，再将数据位依次从低位到高位填入

如此例,i即为 1,2,3,4, 故有:

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3.确定每个数据位 都由哪些校验码进行校验

根据 $2\; i\; -\; 1\; 2^\{i-1\}$2i−1 的公式,可知 $P\; 4\; 、\; P\; 3\; 、\; P\; 2\; 、\; P\; 1\; P\_4、P\_3、P\_2、P\_1$P4、P3、P2、P1 的下标分别为8、4、2、1

确定 $D\; 0\; -\; D\; 7\; D\_0-D\_7$D0−D7 每个数据位都是由哪些校验码(P)进行校验的

数据位D的下标,等于其校验位的下标之和

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4.计算校验码的值

校验码的值 为有参与校验的数据依次从低到高异或的值。

(异或:相同为0,相异为1)

因为 $D\; 7\; D\; 6\; D\; 5\; D\; 4\; D\; 3\; D\; 2\; D\; 1\; D\; 0\; =\; 01101001\; D\_7D\_6D\_5D\_4D\_3D\_2D\_1D\_0=01101001$D7D6D5D4D3D2D1D0=01101001

$P\; 1\; P\_1$P1 参与了 $D\; 0\; 、\; D\; 1\; 、\; D\; 3\; 、\; D\; 4\; 、\; D\; 6\; D\_0、D\_1、D\_3、D\_4、D\_6$D0、D1、D3、D4、D6 等数据位的校验。
$P\; 2\; P\_2$P2 参与了 $D\; 0\; 、\; D\; 2\; 、\; D\; 3\; 、\; D\; 5\; 、\; D\; 6\; D\_0、D\_2、D\_3、D\_5、D\_6$D0、D2、D3、D5、D6 等数据位的校验。
$P\; 3\; P\_3$P3 参与了 $D\; 1\; 、\; D\; 2\; 、\; D\; 3\; 、\; D\; 7\; D\_1、D\_2、D\_3、D\_7$D1、D2、D3、D7 等数据位的校验。
$P\; 4\; P\_4$P4 参与了 $D\; 4\; 、\; D\; 5\; 、\; D\; 6\; 、\; D\; 7\; D\_4、D\_5、D\_6、D\_7$D4、D5、D6、D7 等数据位的校验。

所以：（ $D\; 7\; D\; 6\; D\; 5\; D\; 4\; D\; 3\; D\; 2\; D\; 1\; D\; 0\; =\; 01101001\; D\_7D\_6D\_5D\_4D\_3D\_2D\_1D\_0=01101001$D7D6D5D4D3D2D1D0=01101001）
$P\; 1\; =\; D\; 0\; \oplus \; D\; 1\; \oplus \; D\; 3\; \oplus \; D\; 4\; \oplus \; D\; 6\; =\; 1\; \oplus \; 0\; \oplus \; 1\; \oplus \; 0\; \oplus \; 1\; =\; 1\; P\_1\; =\; D\_0\oplus D\_1\oplus D\_3\oplus D\_4\oplus D\_6\; =\; 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\; =\; 1$P1=D0⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6=1⊕0⊕1⊕0⊕1=1
$P\; 2\; =\; D\; 0\; \oplus \; D\; 2\; \oplus \; D\; 3\; \oplus \; D\; 5\; \oplus \; D\; 6\; =\; 1\; \oplus \; 0\; \oplus \; 1\; \oplus \; 1\; \oplus \; 1\; =\; 0\; P\_2\; =\; D\_0\oplus D\_2\oplus D\_3\oplus D\_5\oplus D\_6\; =\; 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1\; =\; 0$P2=D0⊕D2⊕D3⊕D5⊕D6=1⊕0⊕1⊕1⊕1=0
$P\; 3\; =\; D\; 1\; \oplus \; D\; 2\; \oplus \; D\; 3\; \oplus \; D\; 7\; =\; 0\; \oplus \; 0\; \oplus \; 1\; \oplus \; 0\; =\; 1\; P\_3\; =\; D\_1\oplus D\_2\oplus D\_3\oplus D\_7\; =\; 0\oplus 0\oplus 1\oplus 0\; =\; 1$P3=D1⊕D2⊕D3⊕D7=0⊕0⊕1⊕0=1
$P\; 4\; =\; D\; 4\; \oplus \; D\; 5\; \oplus \; D\; 6\; \oplus \; D\; 7\; =\; 0\; \oplus \; 1\; \oplus \; 1\; \oplus \; 0\; =\; 0\; P\_4\; =\; D\_4\oplus D\_5\oplus D\_6\oplus D\_7\; =\; 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0\; =\; 0$P4=D4⊕D5⊕D6⊕D7=0⊕1⊕1⊕0=0

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5.错误校验

确定错误校验 $G\; 4\; G\; 3\; G\; 2\; G\; 1\; G\_4G\_3G\_2G\_1$G4G3G2G1，校验码有几位，错误校验就有几位。

如果采用偶校验 则结果全为0时没有错误，如果采用奇校验 则结果全为1时没有错误
$G\; 1\; =\; P\; 1\; D\; 0\; \oplus \; D\; 1\; \oplus \; D\; 3\; \oplus \; D\; 4\; \oplus \; D\; 6\; =\; 1\; \oplus \; 1\; \oplus \; 0\; \oplus \; 1\; \oplus \; 0\; \oplus \; 1\; =\; 0\; G\_1\; =\; P\_1D\_0\oplus D\_1\oplus D\_3\oplus D\_4\oplus D\_6\; =\; 1\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\; =\; 0$G1=P1D0⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6=1⊕1⊕0⊕1⊕0⊕1=0
$G\; 2\; =\; P\; 2\; D\; 0\; 、\; D\; 2\; 、\; D\; 3\; 、\; D\; 5\; 、\; D\; 6\; =\; 0\; \oplus \; 1\; \oplus \; 0\; \oplus \; 1\; \oplus \; 1\; \oplus \; 1\; =\; 0\; G\_2\; =\; P\_2D\_0、D\_2、D\_3、D\_5、D\_6\; =\; 0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1\; =\; 0$G2=P2D0、D2、D3、D5、D6=0⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1=0
$G\; 3\; =\; P\; 3\; D\; 1\; 、\; D\; 2\; 、\; D\; 3\; 、\; D\; 7\; =\; 1\; \oplus \; 0\; \oplus \; 0\; \oplus \; 1\; \oplus \; 0\; =\; 0\; G\_3\; =\; P\_3D\_1、D\_2、D\_3、D\_7\; =\; 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 0\; =\; 0$G3=P3D1、D2、D3、D7=1⊕0⊕0⊕1⊕0=0
$G\; 4\; =\; P\; 4\; D\; 4\; 、\; D\; 5\; 、\; D\; 6\; 、\; D\; 7\; =\; 0\; \oplus \; 0\; \oplus \; 1\; \oplus \; 1\; \oplus \; 0\; =\; 0\; G\_4\; =\; P\_4D\_4、D\_5、D\_6、D\_7\; =\; 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0\; =\; 0$G4=P4D4、D5、D6、D7=0⊕0⊕1⊕1⊕0=0

则 $G\; 4\; G\; 3\; G\; 2\; G\; 1\; =\; 00004\; G\_4G\_3G\_2G\_1\; =\; 00004$G4G3G2G1=00004，表示没有异常。假如结果为0100则转为十进制为8，表示第八位存在异常。

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海明码是一种纠错码，其方法是为需要校验的数据位增加若干校验位，使得校验位的值决定于某些被校位的数据，当被校数据出错时，可根据校验位的值的变化找到出错位，从而纠正错误。对于32位的数据，至少需要增加（ ）个校验位才能构成海明码。

以10位数据为例，其海明码表示为 D（0≤i≤9）表示数据位，P （1 ≤j≤4）表示校验位，数据位D由（ ）进行校验。

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参考:

软考笔记--海明码

简单理解海明校验码

hamming code通俗易懂的解释

软考-计算机系统知识之海明码

白话------海明校验码及编码过程

理解海明校验法

【软考】校验码之详细总结

软考-海明码-单位错-冗余位数