算法练习6-大数乘法（高精度乘法）

1. 题目描述

以字符串的形式读入两个数字，编写一个函数计算它们的乘积，以字符串形式返回。

数据范围：读入的数字大小满足 0≤n≤1010000≤n≤101000

要求：空间复杂度 O(m)O(m)，时间复杂度 O(m2)O(m2)（假设m是n的长度）

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示例：
输入: "11", "99"
输出: "1089"

输入: "1", "0"
输出: "0"

2. 解题思路

根据列竖式运算的过程模拟即可。具体步骤如下：

反转字符串：将输入的两个字符串反转，以便从低位到高位进行逐位相乘。
无进位相乘相加：创建一个数组 tmp 来存储每一位相乘的结果。对于每个字符，将其转换为对应的整数值，并进行相乘操作，结果存入 tmp 数组中对应的位置。
处理进位：遍历 tmp 数组，处理每一位的进位，确保每一位的值在 0 到 9 之间。
构建结果字符串：将处理后的 tmp 数组中的值依次添加到 StringBuilder 中，形成最终的结果字符串。
删除前导零：检查并删除结果字符串中的前导零，如果结果为空，则返回 "0"。

3. 代码实现

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import java.util.*;

public class Solution {
    public String solve(String ss, String tt) {
        // 将输入字符串 ss 和 tt 反转，并转换为字符数组 sArray 和 tArray。
        // 这样做的目的是为了方便从低位到高位进行逐位相乘。
        char[] sArray = new StringBuilder(ss).reverse().toString().toCharArray();
        char[] tArray = new StringBuilder(tt).reverse().toString().toCharArray();

        // m 和 n 分别是两个输入字符串的长度。
        int m = sArray.length, n = tArray.length;
        
        // tmp 数组用于存储每一位相乘的结果。它的大小是 m + n，
        // 因为两个数相乘的最大长度不会超过它们各自长度之和。
        int[] tmp = new int[m + n];

        // 1. 无进位相乘相加：
        // 对于 sArray 中的每一个字符和 tArray 中的每一个字符，
        // 计算它们对应的数字（通过减去 '0' 的ASCII值），并将它们的乘积累加到 tmp 数组中的相应位置。
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                tmp[i + j] += (sArray[i] - '0') * (tArray[j] - '0');
            }
        }

        // 2. 处理进位：
        // 遍历 tmp 数组，处理每一位的进位问题。
        // sum 表示当前位的值加上前一位的进位值，然后更新当前位的值为 sum % 10，
        // 并将新的进位值 c 更新为 sum / 10。
        int c = 0;
        for (int i = 0; i < tmp.length; i++) {
            int sum = tmp[i] + c;
            tmp[i] = sum % 10;
            c = sum / 10;
        }

        // 将结果添加到 StringBuilder 中：
        // 创建一个 StringBuilder 对象 ret，用于构建最终的结果字符串。
        // 注意这里避免了添加不必要的前导零。
        StringBuilder ret = new StringBuilder();
        for (int x : tmp) {
            if (!(ret.length() == 0 && x == 0)) { // 避免添加前导零
                ret.append(x);
            }
        }

        // 如果在上一步之后仍有未处理的进位，则继续添加到结果中。
        while (c > 0) { // 处理最后的进位
            ret.append(c % 10);
            c /= 10;
        }

        // 3. 处理前导零：
        // 删除结果字符串中的前导零。如果删除后结果为空，则返回 "0"。
        while (ret.length() > 0 && ret.charAt(0) == '0') {
            ret.deleteCharAt(0);
        }

        // 返回反转后的结果字符串。因为我们在开始时反转了输入字符串，
        // 所以现在需要再次反转来获得正确的顺序。
        return ret.length() == 0 ? "0" : ret.reverse().toString();
    }
}

4. 复杂度分析

时间复杂度：O(m^2)，其中 m 是较长字符串的长度。这是因为在最坏情况下，我们需要对每个字符进行两层嵌套循环的相乘操作。

空间复杂度：O(m)，用于存储中间结果和最终结果字符串。

5. 总结

通过模拟竖式乘法的过程，我们可以有效地解决大数乘法问题。关键在于正确处理每一位的相乘、进位以及最终结果的构建。使用 StringBuilder 可以方便地进行字符串的拼接和反转操作，从而简化代码实现。此外，注意处理特殊情况，如前导零和空字符串的情况，以确保算法的健壮性。