《算法竞赛·快冲300题》每日一题：“彩虹数”

《算法竞赛·快冲300题 》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。

所有题目放在自建的OJ New Online Judge。

用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。

文章目录

• 题目描述
• 题解
• C++代码
• Java代码
• Python代码

" 彩虹数 " ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1840

题目描述

【题目描述】 彩虹数：一个无前导0的10进制整数，相邻的两个数字不相同。

给定下界和上界，计算它们之间的彩虹数数量。
【输入格式】 输入第一行为正整数L，表示下界。第二行为正整数R，表示上界。

1≤L≤R≤10^(100000)。注意，此处的数字长度可能会达到100000。
【输出格式】 输出一个数字表示答案，由于答案过大，需要对998244353求余。
【输入样例】

样例1：
1
10

样例2：
12345
65432

【输出样例】

样例1：
10

样例2：
35882

---

题解

由于区间[L, R]的范围极大，直接暴力验证每个数字是否为彩虹数会超时。另外，由于数字太大，直接按数字进行计算不方便，可以用高精度处理大数，用数组num[]来存这个大数，num[i]是大数的第i位。

本题与数位统计有关，是一道比较直接的数位统计DP题。代码使用了《算法竞赛》"5.3.2 数位统计DP的记忆化搜索实现"的dfs()模板[ 数位统计DP的原理和两种编码方法见《算法竞赛》，清华大学出版社，罗勇军、郭卫斌著，333~338页。本题代码套用了书上的模板。]，在dfs()中统计数字时，排除掉彩虹数即可。

定义dp[]为有前导零、无数位限制时的彩虹数的数量，例如：

dp[1]，01~09内彩虹数的数量，有dp[1] = 9。

dp[2]，001~099内彩虹数的数量，有dp[2] = 81。排除彩虹数001、002、...、009、011、022、...099，共排除18个，得dp[2] = 99-18 = 81。

dp[3]，0001~0999内彩虹数的数量，对应dp[3] = 729，排除彩虹数0001、0002、0099、0100、...0111、0112、...、0999。

代码的步骤：

（1）读L，R。第28行按字符串读入L和R。

（2）solve(s)计算[1, s]范围内的彩虹数，[L, R]内的彩虹数是solve®-solve(L-1)。由于L是字符串形式表示的数字，第29~32行提前计算得到L-1的字符串形式。

（3）在solve(s)中，先把字符串s表示的大数转为数组num[]，大数存在num[1]~num[len]中。例如输入s ="65432"，得num[1]~num[5] =2、3、4、5、6。

（4）dfs()统计[1, s]内的彩虹数的数量，s是用num[1]~num[len]表示的大数。第13行累加无前导0时的数字的数量，第14行去除彩虹数。

下面说明复杂度。dfs()的主要任务是计算dp[]，即求dp[1] ~ dp[len]，计算量极小，约为10×len。
【重点】 数位统计DP。

C++代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int num[100005];        //存输入的数字
ll dp[100005];
ll MOD = 998244353;
ll dfs(int pos,int last,bool lead,bool limit){             //last: 上一位
    ll ans = 0;
    if(pos==0)   return 1;                                 //递归到0位数，结束返回
    if(!lead && !limit && dp[pos]!=-1)  return dp[pos];    //记忆化搜索
    int up=(limit ? num[pos] : 9);                         //这一位的最大值
    for(int i=0;i<=up;i++){
        if(i==0 && lead)   ans += dfs(pos-1,i,true, limit&&(i==up)); //lead=true，无前导0
        else if(last != i) ans += dfs(pos-1,i,false,limit&&(i==up)); //与上一位不同，排除彩虹数
        ans %= MOD;
    }
    if(!lead && !limit)    dp[pos] = ans;    //状态记录：有前导0，无数位限制
    return ans;
}
ll solve(string s){
    int len=0;
    for(int i=s.length()-1;i>=0;i--)   //把字符串转成数字，存入num[1]~num[len]
        num[++len]=(s[i]-'0');         //例如输入"65432"，得num[1:5]=2 3 4 5 6
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    return dfs(len,-1,true,true);
}
int main(){
    string L,R;   cin>>L>>R;
    for(int i=L.length()-1;i>=0;i--){    //求L-1，例如L=12345，L-1=12344
        if(L[i]!='0') { L[i]--; break;}  //这一位不是0，减1即可
        else   L[i]='9';                 //这一位是0，减1得9
    }
    cout<<((solve(R)-solve(L))%MOD + MOD) % MOD;
    return 0;
}

Java代码

import java.util.*;
public class Main {
    static long[] dp = new long[100005];
    static int[] num = new int[100005];
    static long MOD = 998244353;
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        String L = scanner.next();
        String R = scanner.next();
        StringBuilder resultL = new StringBuilder(L);
        for (int i = L.length() - 1; i >= 0; i--) {
            if (resultL.charAt(i) != '0') {
                resultL.setCharAt(i, (char)(resultL.charAt(i) - 1));
                break;
            } else {
                resultL.setCharAt(i, '9');
            }
        }
        System.out.println((solve(R) - solve(resultL.toString()) + MOD) % MOD);
    }
    public static long dfs(int pos, int last, boolean lead, boolean limit) {
        long ans = 0;
        if (pos == 0) return 1;
        if (!lead && !limit && dp[pos] != -1) return dp[pos];
        int up = (limit ? num[pos] : 9);
        for (int i = 0; i <= up; i++) {
            if (i == 0 && lead) ans += dfs(pos - 1, i, true, limit && (i == up));
            else if (last != i) ans += dfs(pos - 1, i, false, limit && (i == up));
            ans %= MOD;
        }
        if (!lead && !limit) dp[pos] = ans;
        return ans;
    }

    public static long solve(String s) {
        int len = 0;
        num = new int[100005];
        for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) 
            num[++len] = s.charAt(i) - '0';
        Arrays.fill(dp, -1);
        return dfs(len, -1, true, true);
    }
}

Python代码

在solve(s)中，先把字符串s表示的大数转为数组num[]，大数存在num[0]~num[len-1]中。例如输入s ="65432"，得num[0]~num[4] =2、3、4、5、6。

import sys
sys.setrecursionlimit(100000)
 
MOD = 998244353
dp = [-1] * 100005
num = []
def dfs(pos, last, lead, limit):
    if pos == -1:   return 1     
    global dp
    global num 
    if not lead and not limit and dp[pos] != -1:   return dp[pos]     
    up = num[pos] if limit else 9
    ans = 0     
    for i in range(up + 1):
        if i == 0 and lead:  ans += dfs(pos - 1, i, True,  limit and (i == up))
        elif last != i:      ans += dfs(pos - 1, i, False, limit and (i == up))         
        ans %= MOD     
    if not lead and not limit:    dp[pos] = ans         
    return ans
 
def solve(s):
    global dp
    global num
    num = [int(c) for c in s[::-1]]  #把字符串转成数字，存入num[0]~num[len-1]
    dp = [-1] * 100005
    return dfs(len(num) - 1, -1, True, True)
 
L = input()
R = input()
L_minus_one = str(int(L) - 1)
result = (solve(R) - solve(L_minus_one) + MOD) % MOD
print(result)