问题：级数敛散性和积分敛散性的区别联系是什么？
- 部分和
s = ∑ i = 1 n u i s = \sum_{i=1}^{n} u _{i} s=i=1∑nui
注意：部分和不是数列的一部分之和，而是一个极限的概念，此处的n是一个极限值， n 趋于正无穷！ \color{red}n趋于正无穷！ n趋于正无穷！一定要注意。
- 调和级数
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + . . . + 1 n − 2 + 1 n − 1 + 1 n (1.2) 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} +... + \frac{1}{n-2} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \tag{1.2} 1+21+31+41+51+...+n−21+n−11+n1(1.2)
调和级数可以化为如下积分式：
∫ 1 + ∞ 1 x d x = ln x ∣ 1 + ∞ = ∞ ( 此处是错误的 ) \color{red}\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}dx = \ln x |_{1}^{+\infty} = \infty \tag{\color{red}此处是错误的} ∫1+∞x1dx=lnx∣1+∞=∞(此处是错误的)
可见调和级数发散。
调和级数可以华为如下积分形式：
1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n − 1 + 1 n = 1 n ( 1 1 n + 1 2 n + 1 3 n + . . . + 1 n − 1 n + 1 n n ) = 1 n ( 1 n n + 1 n − 1 n + . . . + 1 3 n + 1 2 n + 1 1 n ) = ∫ 0 1 1 x d x = ln x ∣ 0 1 = ∞ ( 此处是正确的 ) \color{red}1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} =\\ \frac{1}{n}(\frac{1}{\frac{1}{n}} + \frac{1}{\frac{2}{n}} + \frac{1}{\frac{3}{n}} +...+\frac{1}{\frac{n-1}{n}} + \frac{1}{\frac{n}{n}} ) =\\ \frac{1}{n}(\frac{1}{\frac{n}{n}} +\frac{1}{\frac{n-1}{n}} + ...+\frac{1}{\frac{3}{n}} +\frac{1}{\frac{2}{n}} + \frac{1}{\frac{1}{n}} ) =\\ \int_{0}^{1} \frac{1}{x}dx = \ln x |_{0}^{1} = \infty \tag{\color{red}此处是正确的} 1+21+31+...+n−11+n1=n1(n11+n21+n31+...+nn−11+nn1)=n1(nn1+nn−11+...+n31+n21+n11)=∫01x1dx=lnx∣01=∞(此处是正确的)
调和级数是一个重要级数，是判断其他级数收敛的参考。若一个级数大于调和级数，则必定发散，若一个级数是调和级数的无穷小，则一定收敛。
- 级数收敛的必要非充分条件
若级数 ∑ i = 1 + ∞ u i \sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} ∑i=1+∞ui收敛，则一般项 u i u_{i} ui的极限为0。
此条件是级数收敛的必要条件而非充分条件。比如调和级数的一般项为0但是并不收敛。
- 达朗贝尔判别法
正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim i → + ∞ u i + 1 u i > 1 则级数发散 若 lim i → + ∞ u i + 1 u i < 1 则级数收敛 若 lim i → + ∞ u i + 1 u i = 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} > 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} < 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =1则无法判别敛散性 正向级数i=1∑+∞ui若i→+∞limuiui+1>1则级数发散若i→+∞limuiui+1<1则级数收敛若i→+∞limuiui+1=1则无法判别敛散性
证明：
（1）若 lim i → + ∞ u i + 1 u i = ρ > 1 , 即 u i + 1 > u i , 即 u i + 1 = k u i , k > 1 \lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =\rho >1, 即u_{i+1} >u_{i}, 即u_{i+1} = ku_{i},k> 1 limi→+∞uiui+1=ρ>1,即ui+1>ui,即ui+1=kui,k>1
（2）若 lim i → + ∞ u i + 1 u i = ρ < 1 , 即 u i + 1 < u i , 即 u i + 1 = k u i , k < 1 \lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =\rho <1, 即u_{i+1} <u_{i}, 即u_{i+1} = ku_{i},k < 1 limi→+∞uiui+1=ρ<1,即ui+1<ui,即ui+1=kui,k<1
通过考察等比数列（几何级数）的求和公式： a 1 1 − q n 1 − q a_{1}\frac{1-q^{n}}{1- q} a11−q1−qn
当公比q大于1时，几何级数发散，当q小于1时几何级数收敛于 a 1 1 1 − q a_{1} \frac{1}{1-q} a11−q1。
故达朗贝尔判别法得证。
- 柯西判别法
正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim i → + ∞ n n > 1 则级数发散 若 lim i → + ∞ n n < 1 则级数收敛 若 lim i → + ∞ n n = 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} \sqrt n n> 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty}\sqrt n n < 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to +\infty} \sqrt n n =1则无法判别敛散性 正向级数i=1∑+∞ui若i→+∞limnn >1则级数发散若i→+∞limnn <1则级数收敛若i→+∞limnn =1则无法判别敛散性
证明方式也参考达朗贝尔判别法。
5. 极限审敛法
正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim i → + ∞ n u i = l > 0 则级数发散 若 lim i → + ∞ n p u i = l > = 0 ( p > 1 ) 则级数收敛 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} n u_{i} = l > 0则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty} n^p u_{i} = l >= 0(p > 1)则级数收敛 正向级数i=1∑+∞ui若i→+∞limnui=l>0则级数发散若i→+∞limnpui=l>=0(p>1)则级数收敛
- 例题
讨论p级数的敛散性：
1 + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + . . . + 1 ( n − 1 ) p + 1 n p (1.6) 1 + \frac{1}{2^p}+ \frac{1}{3^p}+ \frac{1}{4^p}+ ... + \frac{1}{(n-1)^p}+ \frac{1}{n^p} \tag{1.6} 1+2p1+3p1+4p1+...+(n−1)p1+np1(1.6)
证明：
假设 0<p<1，那么此级数发散。
假设p>1, 若k > x，此时有如下数学逻辑：
1 k p < 1 x p \frac{1}{k^p} < \frac{1}{x^p} kp1<xp1
1 k p = ∫ k − 1 k 1 k p d x < ∫ k − 1 k 1 x p d x \frac{1}{k^p} = \int_{k-1}^{k} \frac{1}{k^p}dx < \int_{k-1}^{k} \frac{1}{x^p}dx kp1=∫k−1kkp1dx<∫k−1kxp1dx
(1.6)式可化为：
1 + ∑ k = 2 n 1 k p = 1 + ∫ 1 2 1 2 p d x + ∫ 2 3 1 3 p d x + ∫ 3 4 1 4 p d x + . . . + ∫ n − 1 n 1 n p d x < 1 + ∫ 1 2 1 x p d x + ∫ 2 3 1 x p d x + ∫ 3 4 1 x p d x + . . . + ∫ n − 1 n 1 x p d x = 1 + ∫ 1 n 1 x p d x = 1 + 1 1 − p 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^p} =\\ 1 +\int_{1}^{2} \frac{1}{2^p}dx + \int_{2}^{3} \frac{1}{3^p}dx + \int_{3}^{4} \frac{1}{4^p}dx + ... + \int_{n-1}^{n} \frac{1}{n^p}dx <\\ 1 +\int_{1}^{2} \frac{1}{x^p}dx + \int_{2}^{3} \frac{1}{x^p}dx + \int_{3}^{4} \frac{1}{x^p}dx + ... + \int_{n-1}^{n} \frac{1}{x^p}dx = 1 + \int_{1}^{n} \frac{1}{x^p}dx = \\ 1 + \frac{1}{1-p} 1+k=2∑nkp1=1+∫122p1dx+∫233p1dx+∫344p1dx+...+∫n−1nnp1dx<1+∫12xp1dx+∫23xp1dx+∫34xp1dx+...+∫n−1nxp1dx=1+∫1nxp1dx=1+1−p1
因此当p>1时，级数收敛。