AVL树
一.概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
二.插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
1.搜索二叉树
2.平衡因子
一颗树如何插入会影响节点的平衡因子呢？（平衡因子是右节点减去左节点）
如果我们插在6的左边，那么6的平衡因子减一，同理7的左子树高度加一，那么7的平衡因子减一，再继续向上5的右子树的最高高度并没有发生改变，所以5的平衡因子不发生改变。
同理，插在6的右边，6的平衡因子加一，7的平衡因子减一。
如果插在9的右边，那么8的平衡因子就会变为2，说明此树不平衡。
总结：
1.新镇在左，parent平衡因子减减。
2.新增在右，parent平衡因子加加。
3.如果更新后的parent平衡因子为0，说明parent所在的树的高度不变，不会再影响祖先，不用再继续更新了。
4如果更新后parent的平衡因子为1或者-1，那么就需要继续向上更新。
5.如果更新后，parent平衡因子为2或-2，说明该树不平衡，对parent所在的子树进行旋转。
三.旋转
1.更新平衡因子
由上面分析可以知道更新结束的条件是平衡因子为0或者更新到根节点。
首先在每个节点里加入平衡因子
接着在插入的同时更新平衡因子
2.旋转
旋转要保持的要求：
1.旋转后也是搜索二叉树。
2.变成平衡树并且降低树的高度。
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
1.左单旋
通过观察我们可以发现，我们其实只需要移动蓝色的节点就可以实现左旋。我们将这三个节点分别记录，然后修改它们的内部属性即可。
2.右单旋
3.先右旋再左旋
这里的旋转并不难，直接复用就可以.
困难的部分是如何调控平衡因子，插入的位置不同，平衡因子也不同分三种情况讨论。
4.先左旋再右旋
同理，左右旋与上文一样，需要分三种情况来讨论。
四.完整代码
测试
cpp
#include"KVL.h"
#include<vector>
int main()
{
AVLTree<int,int> t;
srand(time(0));
vector<int>a;
for (int i = 0; i < 100; i++)
a.push_back(rand());
for (auto x : a)
t.Insert(make_pair(x,x));
t.Print();
}树
cpp
#include<iostream>
#include<assert.h>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct KVLTreeNode
{
pair<K, V>_kv;
KVLTreeNode<K, V>* _left;
KVLTreeNode<K, V>* _right;
KVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf;//平衡因子
KVLTreeNode(const pair<K,V>&kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
{}
};
template<class K,class V>
class AVLTree
{
public:
typedef KVLTreeNode<K,V> Node;
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = _root;
while (cur)
{
if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
return false;
}
cur = new Node(kv);
if (kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
//控制平衡
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else // if (cur == parent->_right)
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
// 更新结束
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
// 继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 子树不平衡了，需要左旋转
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
//右旋转
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
//先左单旋再右旋转
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
//先右单选再左单旋
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
Node* ppnode = parent->_parent;//记录父节点的父节点
//父节点的右孩子变成curleft
parent->_right = curleft;
if(curleft)//细节注意curleft为空时不能操作
curleft->_parent = parent;
//父节点变为cur的左孩子
cur->_left = parent;
parent->_parent = cur;
//如果原来父节点是根节点
if (parent == _root)
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
else//如果不是根节点判断它应该是左儿子还是右儿子
{
if (ppnode->_left == parent)
{
ppnode->_left = cur;
}
else
{
ppnode->_right = cur;
}
cur->_parent = ppnode;
}
parent->_bf = cur->_bf = 0;
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curright = cur->_right;
Node* pphead = parent->_parent;
//父节点到cur右边
cur->_right=parent;
parent->_parent = cur;
//父节点的左孩子变成curright
parent->_left = curright;
if (curright)
curright->_parent = parent;
//cur的父节点变为原来父节点的父节点
if (pphead)//如果不是根节点
{
if (pphead->_left == parent)
pphead->_left = cur;
else
pphead->_right = cur;
cur->_parent = pphead;
}
else
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
parent->_bf = cur->_bf = 0;
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
int bf = curleft->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
//第一种情况
if (bf == 0)
{
parent->_bf = cur->_bf = 0;
}
//第二种情况
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1, cur->_bf = 0, curleft->_bf = 0;
}
//第三种情况
else if(bf==-1)
{
cur->_bf = 1, curleft->_bf = 0, parent->_bf = 0;
}
//其他情况错误
else
{
assert(false);
}
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curright = cur->_right;
int bf = curright->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = cur->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = curright->_bf = 0, cur->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1, cur->_bf = curright->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void Print()
{
Print(_root);
}
void Print(Node* root)
{
if (root == nullptr) return;
Print(root->_left);
cout << root->_kv.second << ' ';
Print(root->_right);
}
private:
Node* _root=nullptr;
};