算法通关村十三关 | 辗转相除法、素数和丑数

1. 辗转相除法

辗转相除法又称欧几里得算法，求两个数的最大公因数，希腊数学家喜欢用图形来处理问题，于是将要求最大公约数问题转化为，以两个数字构成矩形，寻找可以铺满整个矩形的最大正方形的边长问题。

题目

例如8和12的最大公因数是4，记作gcd(8，12)=4，辗转相除法的规则是，若r是a%b的余数，则gcd（a，b）= gcd（b，r）。

计算gcd（546，429）

思路

希腊数学家是这样处理的，在我们预先构造的矩形中，我们先以矩形的短边构造正方形，然后再去计算这样的正方形可以在大矩形中「最多」放置多少个，这个计算过程可以用取余的方式进行计算。接下来，我们再用长边余下的长度构建正方形，在去试图铺满剩下未被覆盖的部分，然后计算这个正方形最多可以放置几个，直到我们找到这样一个正方形，这个正方形可以完全铺满整个大矩形。那么这个正方形就是我们最终要找的答案，自然而然的，这个正方形的边长也就是我们要找的两数的最大公约数。

代码

    /**
     * 辗转相除法
     */
    public int gcd(int a, int b){
        int k = 0;
        do {
            k = a % b;//得到余数
            a = b;  //根据辗转相除法，把被除数赋给除数
            b = k;  // 余数赋给被除数
        }while (k != 0);
        return a; //返回被除数
    }

2.素数和合数

题目

素数又称质数，大于等于2的数，只能被1和自己整除的数是素数，其余的都是合数，

要求：给定一个正整数n（n<10^9），判断是否是素数。

思路

从2开始对n进行取余测试，看是否出现n%i==0，如果出现就不是，理论上一直测试到n-1，但我们只需要测试到n^(1/2)，至于为什么，大家可以思考一下，如果大于n^(1/2)中的一个数可以被n整数，其结构必定小于n^(1/2)，这个数会被提前找到。

代码

    /**
     * 素数和合数
     */
    public boolean isPrime(int num){
        int max = (int) Math.sqrt(num);
        for (int i = 2; i < max; i++) {
            if (num % i == 0){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

拓展

Leetcode中的204题，用埃氏筛的方法来找素数，找到一个数，就把这个数的整数倍的数全部排除，排除完之后白色方块中剩余的就是素数，下面只是例子，并没有排除完，

选中2是素数，将2的倍数的数都排除（代码中将数组的位置标记为0）

选中3是素数，将3的倍数的数都排除

选中5是素数，将5的倍数的数都排除

代码2

    /**
     * 埃氏筛
     */
    public int countPrimes(int n){
        int[] isPrime = new int[n];
        Arrays.fill(isPrime,1);
        int ans = 0;
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (isPrime[i] == 1){
                ans += 1;
                if ((long) i * i < n){
                    for (int j = i * i; j < n; j++) {
                        isPrime[j] = 0;
                    }
                }
            }
        }
        return ans;
    }

4. 丑数问题

题目

把质因子2、3和5的数称为丑数，按照从小到大的顺序输出第n个丑数

思路

若n是丑数，n可以写成n=2^a + 3^b + 5^c的形式，n反复除以2，3，5，若最后是1，则证明是丑数

代码

    /**
     * 丑数问题
     */
    public boolean isUgly(int n){
        if (n <= 0){
            return false;
        }
        int[] factors = {2,3,5};
        for (int factor:factors
             ) {
            while (n % factor == 0){
                n /= factor;
            }
        }
        return n == 1;
    }