力计算
我们将假设一个由 N N N 个点粒子组成的系统，索引为 i = 1 , ... , N i=1, \ldots, N i=1,...,N。每个粒子都有一个：
-
质量 m i m_i mi
-
位置 r i = x i , y i , z i r_{\boldsymbol{i}}=\leftx_i, y_i, z_i\\right ri=xi,yi,zi
-
速度 v i = v x i , v y i , v z i \mathbf{v}_{\boldsymbol{i}}=\left\\mathrm{vx}_i, \\mathrm{v} y_i, \\mathrm{v} z_i\\right vi=vxi,vyi,vzi
根据牛顿万有引力定律（著名的"平方反比定律"），每个粒子都会感受到所有其他粒子的引力。也就是说，每个粒子都会感受到加速度：
a i = G ∑ j ≠ i m j r j − r i ∣ r j − r i ∣ 3 \mathbf{a}i=G \sum{j \neq i} m_j \frac{\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i}{\left|\mathbf{r}_j-\mathbf{r}_i\right|^3} ai=Gj=i∑mj∣rj−ri∣3rj−ri
Python计算矩阵
时间积分
位置和速度使用蛙跳方案进行更新。对于每个时间步 Δt，每个粒子都会受到半步"跳"：
v i = v i + Δ t 2 × a i \mathbf{v}_i=\mathbf{v}_i+\frac{\Delta t}{2} \times \mathbf{a}_i vi=vi+2Δt×ai
Python加速度函数
上述代码的性能在Python中实际上可以通过向量化来提高。 也就是说，用向量和矩阵运算来表述问题。 它通常可以带来 100 倍的加速，还使代码更具可读性。 缺点是在矩阵内存储中间计算会占用大量内存。 这是计算所有粒子加速度的函数的矢量化版本：
Python矢量加速度计算
Python动能和势能
我们的代码计算这些量并跟踪总能量，以确保通过数值方法近似守恒。