《数据结构》详解精炼：时间复杂度（3）

第 2 章 算法分析

2.8 时间复杂度（4）

1. 一个较复杂的问题

例题 2.8.1 估算以下算法的时间复杂度：

void fun(int n){
    int x = 0;
    for(int i = 0, j = 0; i < n; i += j, j++)
        x++;
}

在循环语句中，i, j 都是从 0 开始，j 的步长是 1，但 i 的步长是 j 。通过下表，观察在迭代过程中两个变量的变化（注意，先执行 i += j ）。

循环次序	i(i+=j)	j(j++)
1	0+0	1
2	0+0+1	2
3	0+0+1+2	3
4	0+0+1+2+3	4
$⋮\; \backslash vdots$⋮	$⋮\; \backslash vdots$⋮	$⋮\; \backslash vdots$⋮
r	$0\; +\; 0\; +\; 1\; +\; 2\; +\; 3\; +\; \cdots \; +\; (\; r\; -\; 1\; )\; 0+0+1+2+3+\backslash cdots+(r-1)$0+0+1+2+3+⋯+(r−1)	r

因为 i < n ，所以： 0+0+1+2+3+⋯+(r−1)<n ，即：
2r(r−1)<nr2−r−2n<021−1+8n <r<21+1+8n ∵ r>0∴ 0<r<21+1+8n

所以，时间复杂度为 $O\; (\; n\; )\; O(\backslash sqrt\{n\})$O(n ) 。

2. 多项式时间复杂度

至此，已经学习过的时间复杂度包括： $O\; (\; 1\; )\; ,\; O\; (\; log\; \; n\; )\; ,\; O\; (\; n\; )\; ,\; O\; (\; n\; )\; ,\; O\; (\; n\; log\; \; n\; )\; ,\; O\; (\; n\; 2\; )\; ,\; O\; (\; n\; 3\; )\; O(1),O(\backslash log\{n\}),O(\backslash sqrt\{n\}),O(n),O(n\backslash log\{n\}),O(n^2),O(n^3)$O(1),O(logn),O(n ),O(n),O(nlogn),O(n2),O(n3) ，在 013 节的练习题中还有 $O\; (\; log\; \; log\; \; n\; )\; O(\backslash log\backslash log\{n\})$O(loglogn) 。这些时间复杂度之间，存在如下定性的大小关系：
O(1)<O(loglogn)<O(logn)<O(n )<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)

其中， $O\; (\; log\; \; log\; \; n\; )\; ,\; O\; (\; log\; \; n\; )\; ,\; O\; (\; n\; )\; ,\; O\; (\; n\; )\; ,\; O\; (\; n\; log\; \; n\; )\; ,\; O\; (\; n\; 2\; )\; ,\; O\; (\; n\; 3\; )\; O(\backslash log\backslash log\{n\}),\; O(\backslash log\{n\}),\; O(\backslash sqrt\{n\}),\; O(n),\; O(n\backslash log\{n\}),\; O(n^2),\; O(n^3)$O(loglogn),O(logn),O(n ),O(n),O(nlogn),O(n2),O(n3) 等称为多项式时间复杂度 （polynomial time complexity），可以统一表示为 $O\; (\; f\; (\; n\; )\; )\; O(f(n))$O(f(n)) ，且 $f\; (\; n\; )\; f(n)$f(n) 为多项式。

在算法复杂度理论中，多项式级的运行时间成本，往往被认为是可接受的，或者是可忍受的。某问题若可以用多项式复杂度的算法求解，则称该问题是可有效求解的，或者易解的。这样的问题也称为 P 问题。

除了 P 问题之外，也就是解决问题的算法的复杂度是多项式复杂度，除此之外，还有另外一类问题，只能用指数时间复杂度的算法求解，称为 NP 问题，或者称为难解问题。

3. 指数时间复杂度 $O\; (\; 2\; n\; )\; O(2^n)$O(2n)

指数时间复杂度不是本课程重点，但是，考虑到学习本课的同学，将来的学习、工作或者研究过程中，一定不会仅仅局限于教材或者所谓考研大纲的知识范围，那么，也对此做个简单介绍。

例题 2.8.3 $n\; n$n 是非负整数，计算 $2\; n\; 2^n$2n ，其算法如下（注意，这里的算法是此计算的一种，蛮力迭代，并不是最好的算法，此处仅仅是以此为例说明指数时间复杂度）。

int power(int n){
    int pow = 1;
    while(0 < n--){
        pow <<= 1;  // pow = pow * 2
    }
    return  pow;
}

很显然，第 4 行是基本语句，语句频度是 $n\; n$n ，所以此算法的时间复杂度为 $O\; (\; n\; )\; O(n)$O(n) 。

如果将输入指数 $n\; n$n 用二进制位数 $r\; =\; 1\; +\; \lfloor \; log\; \; n\; \rfloor \; r\; =\; 1+\backslash lfloor\backslash log\{n\}\backslash rfloor$r=1+⌊logn⌋ 作为输入规模，则时间复杂度为 $O\; (\; 2\; r\; )\; O(2^r)$O(2r) 。

把时间复杂度可以表示为 $T\; (\; n\; )\; =\; O\; (\; a\; n\; )\; ,\; (\; a\; >\; 1\; )\; T(n)=O(a^n),(a\backslash gt1)$T(n)=O(an),(a>1) 的，均是指数时间复杂度（exponential time complexity）。

一般认为，指数时间复杂度的算法无法真正应用于实际问题中，这类算法不是有效的算法。

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