第 2 章 算法分析
2.8 时间复杂度（4）
1. 一个较复杂的问题
例题 2.8.1 估算以下算法的时间复杂度：
c
void fun(int n){
int x = 0;
for(int i = 0, j = 0; i < n; i += j, j++)
x++;
}在循环语句中，i, j 都是从 0 开始，j 的步长是 1，但 i 的步长是 j 。通过下表，观察在迭代过程中两个变量的变化（注意，先执行 i += j ）。
| 循环次序 | i(i+=j) |
j(j++) |
|---|---|---|
| 1 | 0+0 | 1 |
| 2 | 0+0+1 | 2 |
| 3 | 0+0+1+2 | 3 |
| 4 | 0+0+1+2+3 | 4 |
| <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ⋮ \vdots </math>⋮ | <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ⋮ \vdots </math>⋮ | <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ⋮ \vdots </math>⋮ |
| r | <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 + 0 + 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( r − 1 ) 0+0+1+2+3+\cdots+(r-1) </math>0+0+1+2+3+⋯+(r−1) | r |
因为 i < n ，所以： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 + 0 + 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( r − 1 ) < n 0+0+1+2+3+\cdots+(r-1)\lt n </math>0+0+1+2+3+⋯+(r−1)<n ，即：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> r ( r − 1 ) 2 < n r 2 − r − 2 n < 0 1 − 1 + 8 n 2 < r < 1 + 1 + 8 n 2 ∵ r > 0 ∴ 0 < r < 1 + 1 + 8 n 2 \begin{split} &\frac{r(r-1)}{2}\lt n \\&r^2-r-2n\lt0 \\&\frac{1-\sqrt{1+8n}}{2}\lt r\lt\frac{1+\sqrt{1+8n}}{2} \\&\because~r\gt0 \\&\therefore~0\lt r\lt\frac{1+\sqrt{1+8n}}{2} \end{split} </math>2r(r−1)<nr2−r−2n<021−1+8n <r<21+1+8n ∵ r>0∴ 0<r<21+1+8n
所以，时间复杂度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(\sqrt{n}) </math>O(n ) 。
2. 多项式时间复杂度
至此，已经学习过的时间复杂度包括： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( 1 ) , O ( log n ) , O ( n ) , O ( n ) , O ( n log n ) , O ( n 2 ) , O ( n 3 ) O(1),O(\log{n}),O(\sqrt{n}),O(n),O(n\log{n}),O(n^2),O(n^3) </math>O(1),O(logn),O(n ),O(n),O(nlogn),O(n2),O(n3) ，在 013 节的练习题中还有 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( log log n ) O(\log\log{n}) </math>O(loglogn) 。这些时间复杂度之间，存在如下定性的大小关系：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> O ( 1 ) < O ( log log n ) < O ( log n ) < O ( n ) < O ( n ) < O ( n log n ) < O ( n 2 ) < O ( n 3 ) O(1)\lt O(\log\log{n})\lt O(\log{n})\lt O(\sqrt{n})\lt O(n)\lt O(n\log{n})\lt O(n^2)\lt O(n^3) </math>O(1)<O(loglogn)<O(logn)<O(n )<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)
其中， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( log log n ) , O ( log n ) , O ( n ) , O ( n ) , O ( n log n ) , O ( n 2 ) , O ( n 3 ) O(\log\log{n}), O(\log{n}), O(\sqrt{n}), O(n), O(n\log{n}), O(n^2), O(n^3) </math>O(loglogn),O(logn),O(n ),O(n),O(nlogn),O(n2),O(n3) 等称为多项式时间复杂度 （polynomial time complexity），可以统一表示为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( f ( n ) ) O(f(n)) </math>O(f(n)) ，且 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ( n ) f(n) </math>f(n) 为多项式。
在算法复杂度理论中，多项式级的运行时间成本，往往被认为是可接受的，或者是可忍受的。某问题若可以用多项式复杂度的算法求解，则称该问题是可有效求解的，或者易解的。这样的问题也称为 P 问题。
除了 P 问题之外，也就是解决问题的算法的复杂度是多项式复杂度，除此之外，还有另外一类问题，只能用指数时间复杂度的算法求解，称为 NP 问题，或者称为难解问题。
3. 指数时间复杂度 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( 2 n ) O(2^n) </math>O(2n)
指数时间复杂度不是本课程重点，但是，考虑到学习本课的同学，将来的学习、工作或者研究过程中，一定不会仅仅局限于教材或者所谓考研大纲的知识范围，那么，也对此做个简单介绍。
例题 2.8.3 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 是非负整数，计算 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 2 n 2^n </math>2n ，其算法如下（注意，这里的算法是此计算的一种，蛮力迭代，并不是最好的算法，此处仅仅是以此为例说明指数时间复杂度）。
c
int power(int n){
int pow = 1;
while(0 < n--){
pow <<= 1; // pow = pow * 2
}
return pow;
}很显然，第 4 行是基本语句，语句频度是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n ，所以此算法的时间复杂度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(n) </math>O(n) 。
如果将输入指数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 用二进制位数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r = 1 + ⌊ log n ⌋ r = 1+\lfloor\log{n}\rfloor </math>r=1+⌊logn⌋ 作为输入规模，则时间复杂度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( 2 r ) O(2^r) </math>O(2r) 。
把时间复杂度可以表示为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> T ( n ) = O ( a n ) , ( a > 1 ) T(n)=O(a^n),(a\gt1) </math>T(n)=O(an),(a>1) 的，均是指数时间复杂度（exponential time complexity）。
一般认为，指数时间复杂度的算法无法真正应用于实际问题中，这类算法不是有效的算法。
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