第 2 章 算法分析
2.9 递归(1)
1. 递归
递归(英语:Recursion),又译为递回,在数学与计算机科学中,是指在函数的定义中使用函数自身的方法。
例题 2.9.1 阶乘: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n ! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × n n!=1\times2\times3\times\cdots\times n </math>n!=1×2×3×⋯×n ,并规定 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 ! = 1 0!=1 </math>0!=1 。用递归的方式表示:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> f ( n ) = { 1 i f n = 0 n ⋅ f ( n − 1 ) i f n > 0 \begin{split} f(n)=\begin{cases}1&\quad if~n=0\\n\cdot f(n-1)&\quad if ~n\gt0\end{cases} \end{split} </math>f(n)={1n⋅f(n−1)if n=0if n>0
【算法描述】
c
long factorial(int n){
if(n == 0){
return 1;
} else {
return n * factorial(n - 1);
}
}
在此算法描述中,即使用了递归。
但,使用递归实现阶乘,并不是最优的选择,因为上述所谓递归,可以用循环语句轻易实现。
c
long factorial(int n) {
long fact = 1;
if(n == 0) return 1;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
fact *= i;
}
return fact;
}
如果程序中出现了条件语句,其时间复杂度的判断应以运行时间长的分支为准,例如在上述任何算法中,显然 if(n == 0)
分支的时间复杂度是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( 1 ) O(1) </math>O(1) ,而另外一个分支,时间复杂度是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(n) </math>O(n) ,故该算法的时间复杂度是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(n) </math>O(n) 。
例题 2.9.2 斐波那契数列
公元1150年印度数学家 Gopala 和金月在研究箱子包装对象长宽刚好为 1 和 2 的可行方法数目时,首先描述这个数列。在西方,最先研究这个数列的人是比萨的列奥那多(意大利人斐波那契 Leonardo Fibonacci, 1175-1250),他描述兔子生长的数目时用上了这数列:
- 第一个月初有一对刚诞生的兔子
- 第二个月之后(第三个月初)它们可以生育
- 每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子
- 兔子永不死去
假设在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 月有兔子总共 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a a </math>a 对, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n + 1 n + 1 </math>n+1 月总共有 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> b b </math>b 对。在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n + 2 n + 2 </math>n+2 月必定总共有 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a + b a + b </math>a+b 对:因为在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n + 2 n + 2 </math>n+2 月的时候,前一月( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n + 1 n + 1 </math>n+1 月)的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> b b </math>b 对兔子可以存留至第 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n + 2 n + 2 </math>n+2 月(在当月属于新诞生的兔子尚不能生育)。而新生育出的兔子对数等于所有在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 月就已存在的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a a </math>a 对。
斐波纳契数是帕斯卡三角形的每一条红色对角线上数字的和。
用递归方式定义斐波那契数列:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> f i b ( n ) = { 1 i f n = 1 f i b ( n − 1 ) + f i b ( n − 2 ) o t h e r s fib(n)=\begin{cases} 1&\quad if ~n=1 \\fib(n-1)+fib(n-2)&\quad~others \end{cases} </math>fib(n)={1fib(n−1)+fib(n−2)if n=1 others
【算法描述】
c
long fib(long n){
if(n == 1 || n == 2) return 1;
else return fib(n-1) + fib(n-2);
}
对斐波那契数列算法的时间复杂度分析,后面会单独介绍。
上面两个例子中显示,用递归实现算法,必须要确保有穷性,这也是算法的特性之一(参考 006 节),为此,必须有递归终止的条件,例如斐波那契数列的算法描述中的第 2 行。终止条件处的结果应该是直接算出来,而不依靠递归的。这是递归的基本法则之一。
递归的基本法则:
- 基准情形(base case):必须要有某些基准的情形,不用递归就能求解,也就是递归的终止条件。
- 不断推进(making progress):对于那些需要递归求解的情形,递归调用必须总能朝着产生基准情形的方向推进。
- 设计法则:假设所有的递归调用都能运行。
- 合成效益法则(compound interest rule):在求解一个问题的同一实例时,切勿在不同的递归调用中做重复性的工作
对于斐波那契数列的递归算法描述,就违背了第 4 点,后续专门进行时间复杂度分析的时候会详解。
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