第 2 章算法分析

2.9 递归（1）

1. 递归

递归（英语：Recursion），又译为递回，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。

例题 2.9.1 阶乘： $n ! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × n n!=1\times2\times3\times\cdots\times n$ n!=1×2×3×⋯×n ，并规定 $0 ! = 1 0!=1$ 0!=1 。用递归的方式表示：
$f ( n ) = { 1 i f n = 0 n ⋅ f ( n − 1 ) i f n > 0 \begin{split} f(n)=\begin{cases}1&\quad if~n=0\\n\cdot f(n-1)&\quad if ~n\gt0\end{cases} \end{split}$ f(n)={1n⋅f(n−1)if n=0if n>0

【算法描述】

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long factorial(int n){
    if(n == 0){
        return 1;
    } else {
        return n * factorial(n - 1);
    }
}

在此算法描述中，即使用了递归。

但，使用递归实现阶乘，并不是最优的选择，因为上述所谓递归，可以用循环语句轻易实现。

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long factorial(int n) {
    long fact = 1;
    if(n == 0) return 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        fact *= i;
    }
    return fact;
}

如果程序中出现了条件语句，其时间复杂度的判断应以运行时间长的分支为准，例如在上述任何算法中，显然 if(n == 0) 分支的时间复杂度是 $O ( 1 ) O(1)$ O(1) ，而另外一个分支，时间复杂度是 $O ( n ) O(n)$ O(n) ，故该算法的时间复杂度是 $O ( n ) O(n)$ O(n) 。

例题 2.9.2 斐波那契数列

公元1150年印度数学家 Gopala 和金月在研究箱子包装对象长宽刚好为 1 和 2 的可行方法数目时，首先描述这个数列。在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥那多（意大利人斐波那契 Leonardo Fibonacci, 1175－1250），他描述兔子生长的数目时用上了这数列：

第一个月初有一对刚诞生的兔子

第二个月之后（第三个月初）它们可以生育

每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子

兔子永不死去

假设在 $n n$ n 月有兔子总共 $a a$ a 对， $n + 1 n + 1$ n+1 月总共有 $b b$ b 对。在 $n + 2 n + 2$ n+2 月必定总共有 $a + b a + b$ a+b 对：因为在 $n + 2 n + 2$ n+2 月的时候，前一月（ $n + 1 n + 1$ n+1 月）的 $b b$ b 对兔子可以存留至第 $n + 2 n + 2$ n+2 月（在当月属于新诞生的兔子尚不能生育）。而新生育出的兔子对数等于所有在 $n n$ n 月就已存在的 $a a$ a 对。

斐波纳契数是帕斯卡三角形的每一条红色对角线上数字的和。

用递归方式定义斐波那契数列：
$f i b ( n ) = { 1 i f n = 1 f i b ( n − 1 ) + f i b ( n − 2 ) o t h e r s fib(n)=\begin{cases} 1&\quad if ~n=1 \\fib(n-1)+fib(n-2)&\quad~others \end{cases}$ fib(n)={1fib(n−1)+fib(n−2)if n=1 others

【算法描述】

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long fib(long n){
    if(n == 1 || n == 2) return 1;
    else return fib(n-1) + fib(n-2);
}

对斐波那契数列算法的时间复杂度分析，后面会单独介绍。

上面两个例子中显示，用递归实现算法，必须要确保有穷性，这也是算法的特性之一（参考 006 节），为此，必须有递归终止的条件，例如斐波那契数列的算法描述中的第 2 行。终止条件处的结果应该是直接算出来，而不依靠递归的。这是递归的基本法则之一。

递归的基本法则：

基准情形（base case）：必须要有某些基准的情形，不用递归就能求解，也就是递归的终止条件。
不断推进（making progress）：对于那些需要递归求解的情形，递归调用必须总能朝着产生基准情形的方向推进。
设计法则：假设所有的递归调用都能运行。
合成效益法则（compound interest rule）：在求解一个问题的同一实例时，切勿在不同的递归调用中做重复性的工作

对于斐波那契数列的递归算法描述，就违背了第 4 点，后续专门进行时间复杂度分析的时候会详解。

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《数据结构》详解精炼：递归（1）

第 2 章 算法分析

2.9 递归（1）

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