3D成像 3D图映射

概述

参考资料：《Learning OpenCV》，Stanford University CS 131 Computer Vision Foundations and Applications 2016 - lecture10

相机成像是将3D信息映射到2D
如何从2D图像重建3D信息？
- 阴影、纹理、聚焦等
- 这里主要关注运动作为线索，使用两幅图像进行三维重建，与动物的双眼立体视觉一致
立体成像/三维重建的步骤：
- 双目立体标定：确定左右相机的参数和两者之间的相对几何位置
- 畸变矫正：输出无畸变的左右相机图像
- 立体校正：调整摄像机间的角度和距离，输出行对准的校正图像
- 立体匹配：匹配左右摄像机间视场中的相同特征，计算匹配特征在左右图像上的列坐标的差值，输出视差图
- 重投影：将视差图通过三角测量的方法转换成距离，输出深度图

三角测量

假设两个相机：

无畸变
图像平面共面
光轴平行
主距f相同
图像行对准

这样的相机布置称为frontal parallel，这样的假设实际在物理上很难达到，而校正的过程则是在数学上实现上述假设。

基于上述假设，利用三角形相似：

�−(��−��)�−�=��⇒�=��(��−��)−(��−��)=��−��−(��−��)

�=��−��或�=��−��−(��−��)称为视差

同理，可得：

�=��−��−(��−��)(��−��)�=��−��−(��−��)(��−��)

当��=��时，有：

�=��−��

此时，无穷远处的视差为0，也就是说两个相机的光轴平行且在无限远处相交；否则，有限远处的视差为0，等价于两个相机的光轴在有限远处相交，也就是说这种情况下，两个相机坐标系没有共面，即相机处于横向汇聚模式，不能用上述公式求解距离。也就是说，对于两个相机坐标系共面的情况或者立体校正过程中，必然要求��=��

当x采用像素坐标时，f应该也是像素坐标的��,��=�/��；��,��是在左相机图像坐标系下，��,��是在右相机图像坐标系下；

由公式可知距离与视差成反比，当视差大小的范围固定时，减小f,T，能对更近的物体进行测量，增大测距范围。

对上述公式求微分，有：

Δ�=�2��Δ�

视差计算的分辨率对测量分辨率的影响:

��/��=1/Δ�1/Δ�=Δ�Δ�=��2

当视差计算分辨率固定时，测量分辨率与距离的平方成反比，与f,T成正比

单位视差计算误差对测量误差的影响：

Δ�Δ�=�2��

该公式反映了视差计算的误差造成的测量误差与距离平方成正比，与f, T成反比，即与测量分辨率相反

对极几何

好像这部分的原理在实际立体视觉应用过程中没有用到

应该是由于进行了立体校正，不需要用到基础矩阵去求解物体位置

立体标定

根据单目标定，可以得到左右相机的外参��,��,��,��，令P为物体坐标，则其对应的左右相机坐标��,��为：

��=��+��=��+��

联立并消去P可得：

�=��−1(��−��)��=��−1(��−��)+��=��−��+��=��+�

其中，�=��−1,�=��−��，代表从右相机到左相机坐标系的几何关系

实际求解过程中，对于多对棋盘图像，先用单目标定算法标定左右相机的外参，再根据上面的公式计算左右相机间的R，T，然后以多对棋盘图像计算到的R、T的中值为初始值，使用Levenberg-Marquardt 迭代算法求解使重投影误差（局部）最小的解，这个解包括左右相机的参数和两者之间的R、T，立体标定通常可以获得比单目标定更准确的相机参数。

立体校正

校正原理

立体校正是为了使得左右相机的图像坐标系行对准，主要分两个步骤：

根据立体标定得到的旋转矩阵R对两个坐标系进行旋转使两者共面。
注意，此时两个图像坐标系共面但不一定行对准，即两者的x坐标轴并不共线，因为两个坐标系之间还存在偏移。
利用立体标定得到的平移矩阵T对两个坐标系进行变换使两者行对准

Bouguet's算法实现立体校正：

可以使得重投影畸变（相对于校正前）最小化，同时使得公共视野最大化
将旋转矩阵R对半拆分为��,��，然后左右相机分别照此进行旋转，即左右相机各旋转一半角度，得到共面坐标系
利用平移矩阵T构造旋转矩阵��，然后左右相机均照此进行旋转，使得相机行对准
构造原理为是左右相机以x轴与T向量间的夹角绕z轴旋转，从而使x轴共线
令平移向量为：
�=[��0]则
��=[��′��′0−��′��′0001]其中，��′=��/||�||,��′=��/||�||
由于此时x轴与平移向量T平行，所以校正后两个相机的主距相等，同时，两个相机间的平移向量为[��00]

总体的立体校正为：

��=��=��

校正的实现

本质上是对图像进行了3维旋转，由于校正前后的内参矩阵已知，则对于归一化成像坐标系中的一点，可以由校正前后的内参矩阵得到校正前后的像素坐标。

完整的从原图得到校正图像的过程示意图如下，该图取自《Learning OpenCV》，图中的公式含义不清且可能有误，可以忽略；

Stereo rectification: for the left and right camera, the raw image (a) is undistorted (b) and rectified (c) and finally cropped (d) to focus on overlapping areas between the two cameras; the rectification computation actually works backward from (c) to (a)

校正过程如下：

对校正后图像像素坐标，用校正后的内参矩阵反向映射到归一化成像坐标系
在归一化成像坐标系恢复镜头畸变，并用校正前的内参矩阵正向映射得到原图图像坐标，从而建立校正前后像素坐标间的关系
在原图图像对像素进行插值，得到像素值作为校正后图像像素坐标

实际实现整个立体校正的时候，可以将undistort, rectify, crop合成一步，直接用一个map进行映射。

投影矩阵

令投影矩阵为P(也就是单应性矩阵），投影矩阵使齐次的3D世界坐标（或相机坐标）投影到2D图像坐标：

�[��1]=[��]

其中投影后的图像坐标为(�/�,�/�)

由于对图像坐标系进行了旋转，所以相机的主距和主点像素坐标都发生了变化，令左相机校正前的投影矩阵为��，则由

��[��1]=��[��]

可得，校正后的投影矩阵��=��

当3D点为左相机的相机坐标时，

��=��′��=��′

其中，��,��分别为左右相机校正后的相机矩阵，注意，这里的变量名与《Learning OpenCV》中不太一致

��′=[1000010000100000]��′=[100��010000100000]

反投影矩阵

2D点也能反投影到3D相机坐标

�[��1]=[��]

其中，反投影后的3D坐标为(�/�,�/�,�/�)

反投影矩阵Q为

�=[100−��010−��000�001/��(��−��′)/��]

其中的相机参数除��′为右相机参数外，其余均为左相机参数，另外，这里的f应该是fx，相应的，反投影方程中的x,y也是做相机中的坐标。注意，《Learning OpenCV》中，这里的1/Tx取了负号，感觉应该是书本出错了。

将矩阵乘法展开可得：

[��]=[�−��−��(�+��−��′)/��]

3D坐标为：

1/�[��]=��(�+��−��′)[�−��−��]

与 **三角测量**中一致

OpenCV提供了reprojectTo3DImage()和perspectiveTransform()，分别对视差图和离散的视差数据进行反投影。

匹配图像缩小时的反投影

如果为了减少立体匹配的计算量和计算时间，将图像缩小后再进行立体匹配得到视差图，反投影需要做调整；

假设匹配图像行列缩放因子为p，得到视差数据为[x' y' d']，其对应的原图匹配得到的视差数据为[x y d]，则有对应公式

[��]=1/�[�′�′�′]

则有两种方法进行反投影：

视差图按缩放因子1/� resize，并且每个像素的视差乘以1/� 后，使用reprojectTo3DImage()和Q反投影，得到与原图分辨率对应的重建结果
对视差图中的点，按照上述对应公式得到原图视差数据，使用reprojectTo3DImage()和Q反投影，得到与缩放后图像分辨率对应的重建结果

当然，也可以考虑在双目立体标定、立体校正、立体匹配和反投影全过程中使用缩放后的图像

OpenCV立体匹配

BM（block matching)算法
It works by using small "sum of absolute difference" (SAD) windows to find matching points between the left and right stereo-rectified images. This algorithm finds only strongly matching (high-texture) points between the two images. Thus, in a highly textured scene such as might occur outdoors in a forest, every pixel might have computed depth. In a very low-textured scene, such as an indoor hallway, very few points might register depth.
SGBM(semi-global block matching )算法
differs from BM primarily in two respects. The first is that matching is done at subpixel level using the Birchfield-Tomasi metric [Birch‐field99]. The second difference is that SGBM attempts to enforce a global smoothness constraint on the computed depth information that it approximates by considering many one-dimensional smoothness constraints through the region of interest.
对比
These two methods are complementary, in the sense that BM is quite a bit faster, but does not provide the reliability and accuracy of SGBM.

BM算法

步骤:

Prefiltering to normalize image brightness and enhance texture.
Correspondence search along horizontal epipolar lines using an SAD window.
Postfiltering to eliminate bad correspondence matches.

视差搜索范围：

从minDisparity到MaxDisparity范围内搜索，MaxDisparity=minDisparity+NumDisparities，均为像素坐标

视差搜索范围注意，实际搜索的过程中，是以亚像素精度的视差搜索的，精度为1/16像素

视差搜索范围形成了一个双目视界（horopter)，也就是确定了可能的测量范围，超过这个测量范围的物体，其深度是未知的，减小f,T，增大视差查找范围或增加像素宽度可扩大双目视界

顺序约束：点在左右视图中的顺序保持一致，计时有部分点确实（遮挡或噪声）

注意，OpenCV中，StereoMatcher::compute()函数计算得到的视差图要除以16，因为视差搜索使用亚像素精度，精度为1/16像素，而视差图输出为整形数据，所以对亚像素精度视差乘以16再取整保存为整形数据。

双目成像模式

参见《视觉测量技术基础》- 白福忠

双目横向汇聚模式（相机光轴在有限远处相交）应该是为了对远处物体有更大的重合视野，同时应该有利于减少视差计算误差造成的测量误差

《Learning OpenCV3》的Calibrated stereo rectification: Bouguet's algorithm部分指出，stereoRectify()的flags参数设置为0，即对应为汇聚模式，设置为CALIB_ZERO_DISPARITY，即对应平行模式，且指出，汇聚模式可以在接近汇聚点位置获得更好的深度分辨率，也就是能减小重建误差

《Learning OpenCV3》的Depth Maps from Three-Dimensional Reprojection部分指出，OpenCV的stereoRectify()得到的反投影矩阵Q，是可以应用于汇聚模式的，可以用reprojectImageTo3D()进行三维重建