解决0-1背包问题（方案一）:二维dp数组

>>确定dp数组以及下标的含义

dp $i$ $j$ 表示从下标为 $0-i$ 的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

（1）不放物品i

例如：当背包的容量是1kg，此时物品1和物品2都是无法放进去的 。而物品0是可以放进背包的。

那么此种情况下：

物品0，产生的最大的价值为15

物品1 ，产生的最大的价值和前面相同，也就是15

物品2 ，产生的最大的价值和前面相同，也就是15

观察二维表格，以及分析，我们可以这样表示：dp $i-1$ $j$

思考：**dp $i-1$ $j$ **表示什么意思呢？

看表格的j=0 ，这一列，正是上文所述的这种情况。也就是背包的容量为 j 的时候，可以放入物品i 或者不能放入物品i 的所能产生的最大的价值!

思考：不能放入物品i时，如何计算其产生的最大价值呢？

只要和前面的值相同即可。相当于 copy 下来。

例如物品1（3kg）放不进容量小于3kg的背包。也就是背包容量为1kg,2kg时，无法放入物品1，那么此时这种情况如何计算最大价值呢？很简单，就是和前面的值相同即可。也就是和物品0产生的最大价值相同。

同理，物品2（4kg）放不进容量小于4kg的背包。也就是背包容量为1kg,2kg,3kg时，无法放入物品2，那么此时和物品1产生的最大价值相同即可。

思考：若能放入物品i呢？

分成两种方案：

【方案一】：放入物品i 能产生的最大价值

【方案二】：不放入物品i能产生的最大价值

选取最大价值即可~

例如：当背包的容量是4kg,可以只放入物品2（4kg），但是产生的价值未必是最大的。此时我们思考一下如果不放入物品2，而是放入其他的物品，计算其重量之和为4kg所能产生的价值。

若不放入物品2，可以有如下思路：

① 只放入物品0（1kg），产生价值15

② 只放入物品1（3kg），产生价值20

③ 先放入物品1（3kg），剩余的1kg的容量，用来放入物品0（1kg），总该产生价值35

那么我们如何实现③这种方案呢？

显然，4kg的容量是可以放入物品1（3kg）并可知其产生的价值为20,那么此时可以计算出剩余容量（1kg）,接着在表格中找出1kg能产生的最大价值为15，然后求其价值总和为35。

观察二维表格，以及分析，我们可以这样表示：

dp $i-1$ $j-weight\[i$ ] + value $i$

（2）放入物品i

例如：当背包的容量是4kg,只放入物品2（4kg），产生价值为30

我们可以发现，应该取 max(不放物品i的最大价值，所剩容量能产生的最大价值 + 放物品i的价值)

上文提及不放物品2，而是放入其他物品时，产生的最大价值为35（也就是放入物品0和物品1所产生的最大价值）。35>30。此时我们便可更新背包的容量是4kg时所能产生的最大价值为35。

最大价值：dp $i$ $j$ = max(dp $i-1$ $j$ ,dp $i-1$ $j-weight\[i$ ] + value $i$ )

（3）动规五部曲：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp $i$ $j$ 表示从下标为 $0-i$ 的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

2.确定递推公式

由dp $i-1$ $j$ 推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp $i$ $j$ 就是dp $i-1$ $j$

由dp $i-1$ $j-weight\[i$ ]推出，dp $i-1$ $j-weight\[i$ ]为背包容量为j-weight $i$ 的时候不放物品i的最大价值 ，那么dp $i-1$ $j-weight\[i$ ] + value $i$ （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

递归公式：dp $i$ $j$ = max(dp $i-1$ $j$ ,dp $i-1$ $j-weight\[i$ ] + value $i$ );

3.dp数组如何初始化

【注意】关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候会乱掉。

从定义出发，若背包容量j为0的话，即dp $i$ $0$ ，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

状态转移方程dp $i$ $j$ = max(dp $i-1$ $j$ ,dp $i-1$ $j-weight\[i$ ] + value $i$ );可以看出i是由i-1推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp $0$ $j$ ，即i为0，存放编号为0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值很明显，当j<weight $0$ 的时候，dp $0$ $j$ 应该是0，因为背包容量比编号0的物品重量小。当j>=weight $0$ 时，dp $0$ $j$ 应该是value $0$ ，因为背包容量足够放编号0物品。

dp $0$ $j$ 和 dp $i$ $0$ 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化为多少呢？

其实从递归公式：dp $i$ $j$ = max(dp $i-1$ $j$ ,dp $i-1$ $j-weight\[i$ ] + value $i$ );可以看出dp $i$ $j$ 是由左上方数值推导出来，那么其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖

初始-1，初始-2，初始100，都可以！

但一开始统一把dp数组统一初始化为0，更方便一些。

dp $i$ $j$ 表示从下标为 $0-i$ 的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

4.确定遍历顺序

有两个遍历的维度：物品与背包重量

思考🤔：请问是先遍历物品还是先遍历背包重量呢？

其实都可以！！！但是先遍历物品更加容易理解！！！

cpp 复制代码

// weight数组的大小，就是物品的个数
for(int i=1;i<weight.size();i++) { // 遍历物品
    for(int j=0;j<=bagWeight;j++)  {
        if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
    }
}

5.举例推导dp数组

完整代码：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void test_1_wei_bag_problem() {
	vector<int> weight = { 1,3,4 };
	vector<int> value = { 15,20,30 };
	int bagWeight = 4;

	// 初始化
	vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
	print(dp,bagWeight);
	for (int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
		for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
		}
	}
	cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
	test_1_wei_bag_problem();
}

思考

cpp 复制代码

// 遍历过程
for(int i=1;i<weight.size();i++) { // 遍历物品
    for(int j=0;j<=bagWeight;j++) {
        if(j-weight[i] >= 0) {
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
        }
    }
}

其实就是省去了背包容量无法放下物品i的情况时候，和前面值一样的"copy"