5.Vectors Transformation Rules

在上节,有个问题:向量分量的转换方式 与 新旧基底的转换方式相反

用例子来感受一下,

空间中一向量V,即该空间的一个基底:e1、e2

v = e1 + e2

现把基底 e1 、 e2 放大两倍。变成

基向量放大了两倍, 但对于向量v ,其向量组件缩小了两倍。

它们两个 做了相反的事, 基向量放大, 某向量的向量组件缩小。 但V是不变的。

当使用新的基向量测量V时,V看起来更小,因为基向量变大了两倍

另一个例子:

旧基底:e1 、 e2 ; 新基底:

向量V

V 由大约相等的部分 e1 、e2组成, 且V与e1、e2的夹角大致相等。 意味着每个方向上的组件大致相同;

现顺时针选择这对基底, 使得V与的夹角 大于 V与的夹角。 V不变

但V现在与相比,V更接近 , 这时,组件做了相反的事,V = x +y

x肯定是 < y 的

回到上节最后那部分的内容,

当向量分量的行为方式 与 基向量的行为 相反 时,当基变大时,这是 完全有意义的。

意义:当基变大时,分量会缩小; 当基底向一个方向旋转时,组件 会向另一个方向旋转。

无论基底做什么,组件都会做 相反 的事。

通过这两个例子, 就能对2D中会发生这种相反的行为有了一定直觉。

那是否是在任何维度都如此呢?

证明 :(当然也是针对向量,旧基、新基的行为,组件的行为)

利用这个,以及之前的前向变换和后向变换。

代入,化简

以上就证明了,为从 旧组件 转移到 新组件, 我们实际上是 使用了 后向转换(Backward)

类似的,从新组件 转移到旧组件, 使用 向前转换(Forward)

现在因为向量分量的行为 与 基向量相反,

我们说 向量分量 是 Contra-variant

(向量是 逆变张量 vectors are contravariant tensors)

规定:

上述形式,改为:

这里向量V 已经被我们用 新基的线性组合或者旧基的线性组合写出,

但这些向量组件,因为它们是 CONTRA-variant。

我们将在编写方式上做点 改变,

把组件()的索引i写到字母v右上方

通过写在右上角,提醒 我们 组件是逆变的。

注意哦,把系数的i放到右上角, 其仍然是索引值,表示第 i 个,而不是 指数

基向量的索引是在右下角, 向量组件的索引在右上角,在某种程度上提醒了它们的行为方式相反

相关推荐
白熊18814 分钟前
【计算机视觉】CV实战项目 - 基于YOLOv5的人脸检测与关键点定位系统深度解析
人工智能·yolo·计算机视觉
nenchoumi311917 分钟前
VLA 论文精读(十六)FP3: A 3D Foundation Policy for Robotic Manipulation
论文阅读·人工智能·笔记·学习·vln
后端小肥肠27 分钟前
文案号搞钱潜规则:日入四位数的Coze工作流我跑通了
人工智能·coze
LCHub低代码社区28 分钟前
钧瓷产业原始创新的许昌共识:技术破壁·产业再造·生态重构(一)
大数据·人工智能·维格云·ai智能体·ai自动化·大禹智库·钧瓷码
-曾牛28 分钟前
Spring AI 快速入门:从环境搭建到核心组件集成
java·人工智能·spring·ai·大模型·spring ai·开发环境搭建
阿川201532 分钟前
云智融合普惠大模型AI,政务服务重构数智化路径
人工智能·华为云·政务·deepseek
自由鬼1 小时前
开源AI开发工具:OpenAI Codex CLI
人工智能·ai·开源·软件构建·开源软件·个人开发
生信碱移1 小时前
大语言模型时代,单细胞注释也需要集思广益(mLLMCelltype)
人工智能·经验分享·深度学习·语言模型·自然语言处理·数据挖掘·数据可视化
一个数据大开发1 小时前
解读《数据资产质量评估实施规则》:企业数据资产认证落地的关键指南
大数据·数据库·人工智能
云卓SKYDROID2 小时前
无人机环境适应性与稳定性技术要点!
人工智能·无人机·科普·高科技·云卓科技