题目描述
题目分析
对于这一我们需要有前缀知识完全背包
完全背包的朴素写法：
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, v[N], w[N], f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++)cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 0; j <= m; j ++)
{
for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++)
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
}
}
}
cout << f[n][m] << '\n';
return 0;
}经行优化：
fij = fi - 1j - v\[i * k] + wi * k
fij = max(fi - 1j, fi - 1j - v + w, fi - 1j - 2v + 2w, fi - 1j - 3v + 3w, ...)
fij - v = max( fi - 1j - v, fi - 1j - 2v + w, fi - 1j - 3v + 2w, ...)
fij = max(fi - 1j, fij - v + w)
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m, v[N], w[N], f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++)cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
for(int j = 0; j <= m; j ++)
{
for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if(j >= v[i])f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
}
}
}
cout << f[n][m] << '\n';
return 0;
}首先由题意知我们左右括号的数量必须相等，对于任意前缀的左括号的数量必须大于等于有括号的数量（如果小于则此处必定需要添加括号）
我们可以分为两种方案使其独立存在，一种是只添加左括号，一种是只添加右括号，这两种方案各进行一次，将方案数相乘则为总方案数，对于左右进行的操作只需用同一代码即可，我们可以只写对左括号进行操作，对于右括号操作我们只需要将字符串翻转即可实现操作
使用动态规划来记录方案数
fij ：只考虑前i部分，左括号比右括号多j 个的所有方案的集合（不同数量的左括号的方案数）
1.若si == '(' fij = fi - 1j - 1（考虑前i - 1部分时，左括号数量比右括号数量多j - 1个，那么第i部分左括号就比右括号多j个）
2.若si == ')' fij = fi - 1j + 1 + fi - 1j + ... + fi - 10（考虑前i - 1部分左括号数量最多比右括号数量多j + 1个，才能在第i部分通过添加或者不加左括号使左括号的数量比右括号的数量多j个）注：这里类似于完全背包的优化：fij = fi - 1j + 1 + fij - 1，考虑越界问题，fi0特判(j == 0,j - 1 = -1越界）fi0可以考虑前i - 1部分左括号数和右括号数相等 和 左括号数比右括号数多一个的和
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5010, mod = 1e9 + 7;
char s[N];
int n;
ll f[N][N];
ll work()
{
memset(f, 0, sizeof f);
f[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
if(s[i] == '(')
{
for(int j = 1; j <= n; j ++)f[i][j] = f[i - 1][j - 1];
}
else
{
f[i][0] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][1]) % mod;
for(int j = 1; j <= n; j ++)f[i][j] = (f[i - 1][j + 1] + f[i][j - 1]) % mod;
}
}
for(int i = 0; i <= n; i ++)
{
if(f[n][i])return f[n][i];
}
return -1;
}
int main()
{
cin >> s + 1;
n = strlen(s + 1);
ll l = work();
reverse(s + 1, s + n + 1);
for(int i = 1; i <= n; i ++)
{
if(s[i] == '(')s[i] = ')';
else s[i] = '(';
}
ll r = work();
cout << l * r % mod;
return 0;
}